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高一数学必修5


二元一次不等式(组)
请看下面的不等式
二 元 一 次 不 等 式



x+y>700, 10x+12y<0, x>0, y>0,

含有两个未知数,且未知数的最高次数为1的 不等式叫做 二元一次不等式

第一节 二元一次不等式表示平面区域

二元一次方程Ax+By+C=0( A,B不全为0) 的图象是 一条直线 二元一次不等式(组)的一般形式为 Ax+By+C>0或Ax+By+C<0

其解集的集合意义?
已知直线 l : Ax+By+C=0 ,它把坐标平面分为两部分, 每个部分叫做半开平面,半开平面与l 的并集叫做闭半 平面。以不等式解( x,y)为坐标的所有点构成的集合, 叫做不等式的区域或不等式的图象

问题1:在平面直坐标系中,

x+y=0
表示的点的集合表示什么图形?

x+y>0 呢? x-y+1>0 呢?

y

o

x

x+y=0

y

(x。,y。)

x+y>0
o
x
(x , y)
0

x+y<0

x+y=0

点 的集合{(x,y)|x-y+1=0}表示 什么图形?

想 一 想 ?在平面直角坐标系中,

y

左上方 x-y+1<0
1

x-y+1=0

-1 (x,y)

o

x
(x。,y。) x0>x,y=y0 x0-y0+1> x-y+1

右下方 x-y+1>0

问题:一般地,如何画不等式 AX+BY+C>0表示的平面区域?

(1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 所有点组成的平面区域。

(2)由于对直线同一侧的所有点(x,y),把 它代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

例1:画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。 解:
将直线2X+y-6=0画成虚线

y
6

o
2x+y-6<0

3

x

将(0,0)代入2X+y-6

得0+0-6=-6<0
原点所在一侧为 2x+y-6<0表示平面区域

2x+y-6=0

平面区域的确定常采 用“直线定界,特殊 点定域”的方法。

练习1:
画出下列不等式表示的平面区域:
(1)2x+3y-6>0 (2)4x-3y≤12
Y Y

2
O

3

X

O

3 -4

X

(1)

(2)

例2:画出不等式组

表示的平面区域

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

Y

x+y=0
5

解:

0-0+5>0

-5 O

X

1+0>0

x-y+5=0

x=3

注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
Y

(1)

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

2 o
-2

4
x

?x ? 3 ?2 y ? x ? (2) ? ?3 x ? 2 y ? 6 ? ?3 y ? x ? 9

Y

3 2

O

3

X

小结:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。 确定步骤: 直线定界,特殊点定域; 若C≠0,则直线定界,原点定域;

例3:根据所给图形,把图中的平面区域 y 用不等式表示出来:
(1)

1

?1

O

x

(2)

y

2

O

5

x

应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含0,则边界应画成虚线,

否则应画成实线。 2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2,求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。

解:此平面区域在x-y=0的右下方, x-y≥0
Y

x-y=0

它又在x+2y-4=0的左下方, x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方, y+2≥0

x+2y-4=0 o

2
4

则用不等式可表示为:
x

-2 y+2=0

?x ? y ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?

引例: 某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t 甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t, 产生的利润为2万元;生产乙种产品需要A 种原料1t、 B种原料9t,产生的利润为1万 元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t, 如何安排生产才能使利润最大?

在关数据列表如下: A种原料 B种原料 甲种产品 乙种产品 现有库存 4 1 10 12 9 60 利润 2 1

设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y

?4 x ? y ? 10 ?12x ? 9 y ? 60 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
利润 P ? 2 x ? y 何时达到最大?


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