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2008年高考数学(陕西卷)(文科)(word版+答案,中学数学信息网整理)


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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科数学(必修+选修Ⅰ)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分) . 1. sin 330? 等于( B ) A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.已知全集 U ? {1 2,4, ,集合 A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 ?U ( A ? B) ? ( D ) ,3,5} A. {3} B. {4,5} C. {3, 4,5} D. {1 2, 5} , 4,

3.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法 抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( C ) A.30 B.25 C.20 D.15 4.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( B ) A.64 B.100 C.110
2 2

D.120

5.直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( A ) A. 3 或 ? 3 B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3 D. ?3 3 或 3 3

6. a ? 1 ”是“对任意的正数 x , 2 x ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件 7 . 已 知 函 数 f ( x )? 2

a ≥ 1 ”的( A ) x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x ?3

, f

?1

( x) 是 f ( x) 的 反 函 数 , 若 mn ? 16 ( m,n ? R + ) 则 ,

f ?1 (m) ? f ?1 (n) 的值为( D
A.10 B.4 C.1

) D. ?2

8.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各顶点都在半径为 1 的球面上,其中 AB : AD : AA1 ? 2 :1: 3 ,则 两 A, B 点的球面距离为( C ) A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

x2 y2 ? 9.双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的直 a b
线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( B )

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A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3

10.如图,? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b , AB 与 ?,? 所 成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则( D A. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n A l a )

?
b B ? ,则

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x,y ? R ) f 1 2? , ) (

f (?2) 等于( A )
A.2 B.3 C.6 D.9 12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信

a 息 . 设 定 原 信 息 为 a0 a1a2,i ?{0, ( i ? 0,2 ), 传 输 信 息 为 h0 a0 a1a2 h1 , 其 中 1} 1,
h0 ? a0 ? a1,h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ?1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ?1 ? 0 ,例如
原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则 下列接收信息一定有误的是( C ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) . 13. △ABC 的内角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? ,

2,b ? 6,B ? 120? ,则 a ?

2



1 的系数为 84 .(用数字作答) x2 15.关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
14. (1 ? ) 的展开式中
7

2 x

①若 a? = a? ,则 b ? c .②若 a ? (1 k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 . , 6) b c ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

其中真命题的序号为 ② . (写出所有真命题的序号) 16.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手 只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共 有 96 种. (用数字作答) .

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 3 cos . 4 4 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

17.解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ?x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

?1 ? π ? π? x ?x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 3 ? 3? 2 ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g (? x) ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? g ( x) . 2 ? 2?

?函数 g ( x) 是偶函数.
18. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不 再放回. (Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率. 解: (Ⅰ)从袋中依次摸出 2 个球共有 A9 种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 A3 A4 种 结果,则所求概率
2 2 2

P? 1

2 A32 A4 1 3 4 1 ? (或P ? ? ? ) . 1 2 A9 6 9 8 6

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(Ⅱ)第一次摸出红球的概率为

1 A1 A1 A2 ,第二次摸出红球的概率为 7 2 2 ,第三次摸出红球的概率为 1 A9 A9

1 A72 A2 ,则摸球次数不超过 3 次的概率为 A93 1 1 1 1 A2 A7 A2 A72 A2 7 ? 2 ? 3 ? . 1 A9 A9 A9 12

P2 ?

19. (本小题满分 12 分) 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1 B1C1 , ?BAC ? 90 ,
?

A1 A ? 平面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? AC ? 2 A1C1 ? 2 , D 为 BC 中点.
(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小. B1 A B D C A1 C1

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20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 3

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 S n . an 2an a ?1 1 1 1 1 ? n ? ? ? , ,? an ?1 2an 2 2 an an ? 1

解: (Ⅰ)? an ?1 ?

?

1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , an ?1 2 an a1 2 3

?数列 {

1 1 1 ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. an 2 2
1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an ?1 2 2 2 an 2 an 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ??? n , 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2
设 Tn ?

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由① ? ②得

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ?n ? 2 2 2

?数列 {

2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? an 2 2 2 2

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x
2

轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.
2 2 2 解法一: (Ⅰ)如图,设 A( x1,x1 ) , B ( x2,x2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,
2 2

??? ??? ? ?

2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2

y M 2 B 1 O N 1 x A

? xN ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . 2 4 ?4 8 ?

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? mx ?
2

2

mk k 2 ? ? 0, 4 8

?直线 l 与抛物线 C 相切,
? mk k 2 ? ?? ? m 2 ? 8 ? ? ? ? m 2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k ) 2 ? 0 ,? m ? k . 4 8 ? ?
即 l ∥ AB . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又? M 是 AB 的中点,

??? ??? ? ?

? MN |? |

1 | AB | . 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2
? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2. 2? 2 ? 4

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? MN ? x 轴,?| MN |?| yM ? yN |?

k2 k 2 k 2 ? 16 . ?2? ? 4 8 8

2 2 2 | 又 | AB |? 1 ? k ? x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 . 2? 2 ?
2

2

k 2 ? 16 1 2 ? ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4
即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 .

??? ??? ? ?

2 2 解法二: (Ⅰ)如图,设 A( x1,x1 ),B( x2,x2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得
2 2

2

k 2 x2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2

? xN ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? .? y ? 2 x 2 ,? y? ? 4 x , 2 4 ?4 8 ?

?抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?
??? ??? ? ?

k ? k ,?l ∥ AB . 4

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 .

??? ? ? ? k k 2 ? ??? ? k k2 ? 2 2 2 NB 2 由(Ⅰ)知 NA ? ? x1 ? ,x1 ? ?, ? ? x2 ? ,x2 ? ? ,则 4 8 ? 4 8 ? ? ? ??? ??? ? ? ? k ?? k? ? k2 ?? 2 k2 ? NA?NB ? ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? ? 2 x12 ? ? ? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8 ? ? ? k ?? k? k2 ?? 2 k2 ? ? ? ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ? ? x2 ? ? 4 ?? 4? 16 ? ? 16 ? ? ?

k ?? k? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ???1 ? 4 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?
? k k2 ? ? k2 ? ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? ??1 ? 4 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? 4 16 ? ? 4? ? ? k k k2 ? ? k k2 ? ? ? ?1 ? ? ? ???1 ? 4 ? (?1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4? ?

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? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? k 2 ? 16 ? ? 4 ? ?

?0,
? ?1 ? k2 3 ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 . 16 4
??? ??? ? ?

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 22.本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g ( x) ? ax ? 2 x ? 1, 其中实数 a ? 0 .
3 2 2 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记 g ( x) 的最 小值为 h( a ) ,求 h( a ) 的值域; (Ⅲ)若 f ( x) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 3( x ? )( x ? a) ,又 a ? 0 ,
2 2

a 3

a a 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 3 3 a a ? f ( x) 在 (??, ?a) 和 ( , ??) 内是增函数,在 ( ? a, ) 内是减函数. 3 3

? 当 x ? ?a或x ?

(Ⅱ)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 ,
3 2 2 2

即 x[ x ? (a ? 2)] ? 0 恰有一根(含重根) ? a ? 2 ≤ 0 ,即 ? 2 ≤ a ≤ 2 , .
2 2

2

又 a ? 0 ,? a ? [? 2, 0) ? (0, 2] .
2 当 a ? 0 时, g ( x) 才存在最小值,? a ? (0, 2] .? g ( x) ? a( x ? ) ? a ?

1 a

1 , a

1 ? h(a) ? a ? , a ? (0, 2] . a

? h(a ) 的值域为 (??,1 ?
a 3

2 ]. 2

(Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ?a) 和 ( , ??) 内是增函数, g ( x) 在 ( , ??) 内是增函数.

1 a

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? ?a ? 0 ? a ? 由题意得 ?a ? ,解得 a ≥ 1 ; 3 ? 1 ? ?a ? a ?
当 a ? 0 时, f ( x) 在 ( ??, ) 和 (?a, ??) 内是增函数, g ( x) 在 ( ??, ) 内是增函数.

a 3

1 a

? ?a ? 0 ? ? 由题意得 ? a ? 2 ? ? ? ?a ? 2 ? ?

a ,解得 a ≤ ?3 ; 3 1 a

综上可知,实数 a 的取值范围为 (??, ?3] ? [1, ??) .

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