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高中数学必修5第三章不等式练习题含答案解析


人教版高中数学必修 5 第三章不等式单元测试题及答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 x2≥2x 的解集是( ) A.{x|x≥2} B.{x|x≤2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0 或 x≥2} 2.下列说法正确的是( ) 2 2 A.a>b?ac >bc B.a>b?a2>b2 C.a>b?a3>b3 D.a2>b2?a>b 3.直线 3x+2y+5=0 把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域的是( ) A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(0,-3) D.(-3,2) x -1 4.不等式 >1 的解集是( ) x +2 A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<1} D.{x|x∈R} 5.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2x-y+2≥0, ? ? 6.不等式组?x+y-2≤0, ? ?y≥0 A.三角形 表示的平面区域的形状为( )

C.梯形 D.正方形 ? ?x+y-3≥0, 7.设 z=x-y,式中变量 x 和 y 满足条件? 则 z 的最小值为( ) ?x-2y≥0, ? A.1 B.-1 C.3 D.-3 2 m 8.若关于 x 的函数 y=x+ x 在(0,+∞)的值恒大于 4,则( ) A.m>2 B.m<-2 或 m>2 C.-2<m<2 D.m<-2 9.已知定义域在实数集 R 上的函数 y=f(x)不恒为零,同时满足 f(x+y)=f(x)· f(y),且当 x>0 时,f(x)>1,那么 当 x<0 时,一定有( ) A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1 x +2 10.若 <0,化简 y= 25-30x+9x2- ?x+2?2-3 的结果为( ) 3x-5 A.y=-4x B.y=2-x C.y=3x-4 D.y=5-x 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1 11.对于 x∈R,式子 恒有意义,则常数 k 的取值范围是_________. 2 kx +kx+1 1 1 12.不等式 log2(x2-2x-15)>log2(x+13)的解集是_________. x -2 13.函数 f(x)= +lg 4-x的定义域是__________. x-3 14.x≥0,y≥0,x+y≤4 所围成的平面区域的周长是________. 15.某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元.预测六月份销售额为 500 万元,七月份 销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相 等.若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) e e 16.(12 分)已知 a>b>0,c<d<0,e<0,比较 与 的大小. a-c b-d

B.平行四边形

17.(12 分)解下列不等式: 2 (1)-x2+2x-3>0;

(2)9x2-6x+1≥0.

18.(12 分)已知 m∈R 且 m<-2,试解关于 x 的不等式:(m+3)x2-(2m+3)x+m>0.

? ?2x+y-4≤0, 19.(12 分)已知非负实数 x,y 满足? ?x+y-3≤0. ?

(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; (2)求 z=x+3y 的最大值.

20.(13 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函 1 数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20-2|t-10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 21.(14 分)某工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126 m2 的厂 a 房,工程条件是:(1)建 1 m 新墙的费用为 a 元;(2)修 1 m 旧墙的费用为4元; a (3)拆去 1 m 的旧墙,用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为2元. 经讨论有两种方案: ①利用旧墙 x m(0<x<14)为矩形一边;②矩形厂房利用旧墙的一面长 x≥14. 试比较①②两种方案哪个更好.

必修 5 第三章《不等式》单元测试题
1.解析:原不等式化为 x -2x≥0,则 x≤0 或 x≥2. 答案:D 2.解析:A 中,当 c=0 时,ac2=bc2,所以 A 不正确;B 中,当 a=0>b=-1 时,a2=0<b2=1,所以 B 不正确;D 中,当(-2)2>(-1)2 时,-2<-1,所以 D 不正确.很明显 C 正确. 答案:C 3.解析:当 x=y=0 时,3x+2y+5=5>0,所以原点一侧的平面区域对应的不等式是 3x+2y+5>0,可 以验证,仅有点(-3,4)的坐标满足 3x+2y+5>0. 答案:A x-1 x-1 -3 4.解析: >1? -1>0? >0?x+2<0?x<-2. x+2 x+2 x+2 答案:A 5.解析:M-N=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0, 所以 M≥N. 答案:B 6.解析:在平面直角坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如下图中的阴影部分.
2

则平面区域是△ABC. 答案:A
?x+y-3=0, ? 7.解析:画出可行域如下图中的阴影部分所示.解方程组? 得 A(2,1).由图知,当直线 y ? ?x-2y=0. =x-z 过 A 时,-z 最大,即 z 最小,则 z 的最小值为 2-1=1.

答案:A

m2 8.解析:∵x+ x ≥2|m|,∴2|m|>4.

∴m>2 或 m<-2. 答案:B 9.解析:令 x=y=0 得 f(0)=f2(0), 若 f(0)=0,则 f(x)=0· f(x)=0 与题设矛盾. ∴f(0)=1.又令 y=-x,∴f(0)=f(x)· f(-x), 1 故 f(x)= . f?-x? ∵x>0 时,f(x)>1,∴x<0 时,0<f(x)<1,故选 D. 答案:D x+2 5 10.解析:∵ <0,∴-2<x<3.而 y= 25-30x+9x2- ?x+2?2-3=|3x-5|-|x+2|-3=5-3x-x- 3x-5 2-3=-4x.∴选 A. 答案:A 二、填空题(填空题的答案与试题不符) 11.对于 x∈R,式子 解析:式子
2

1 恒有意义,则常数 k 的取值范围是__________. kx +kx+1
2

1 恒有意义,即 kx2+kx+1>0 恒成立.当 k≠0 时,k>0 且 Δ=k2-4k<0,∴0<k<4; kx +kx+1 2 而 k=0 时,kx +kx+1=1>0 恒成立,故 0≤k<4,选 C. 答案:C? x- 2 12.函数 f(x)= +lg 4-x的定义域是__________. x- 3 解析:求原函数定义域等价于解不等式组 x-2≥0, ? ? ?x-3≠0, ? ?4-x>0, 解得 2≤x<3 或 3<x<4.

∴定义域为[2,3)∪(3,4). 答案:[2,3)∪(3,4) 13.x≥0,y≥0,x+y≤4 所围成的平面区域的周长是________. 解析:如下图中阴影部分所示,围成的平面区域是 Rt△OAB.

可求得 A(4,0),B(0,4),则 OA=OB=4, AB=4 2,所以 Rt△OAB 的周长是 4+4+4 2=8+4 2. 答案:8+4 2 14 . 已 知 函 数 f(x) = x2 - 2x , 则 满 足 条 件 的面积为__________. 解析:化简原不等式组 2 2 ? ??x-1? +?y-1? ≤2,
? ??x-y??x+y-2?≥0, ? ?f?x?+f?y?≤0, ? ? 的点(x,y)所形成区域 ?f?x?-f?y?≥0 ?

所表示的区域如右图所示,阴影部分面积为半圆面积. 答案:π 15.(2010· 浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元.预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额 相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是________. 解析:由已知条件可得,七月份销售额为 500×(1+x%),八月份销售额为 500×(1+x%)2,一月份至十 月份的销售总额为 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],可列出不等式为 4360+1000[(1+x%)+(1+ ? 11?? 6? 66 11 x%)2]≥7000.令 1+x%=t,则 t2+t-25≥0,即?t+ 5 ??t-5?≥0.又∵t+ 5 ≥0, ? ?? ? 6 6 ∴t≥5,∴1+x%≥5, ∴x%≥0.2,∴x≥20.故 x 的最小值是 20. 答案:20

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) e e 16.(12 分)已知 a>b>0,c<d<0,e<0,比较 与 的大小. a-c b-d e?b-d?-e?a-c? ?b-a?+?c-d? e e 解: - = = e. a-c b-d ?a-c??b-d? ?a-c??b-d? ∵a>b>0,c<d<0, ∴a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0. e e e e 又 e<0,∴ - >0.∴ > . a-c b-d a-c b-d 17.(12 分)解下列不等式: 2 (1)-x2+2x-3>0; (2)9x2-6x+1≥0. 2 2 解:(1)-x2+2x-3>0?x2-2x+3<0?3x2-6x+2<0. 3 3 Δ=12>0,且方程 3x2-6x+2=0 的两根为 x1=1- 3 ,x2=1+ 3 , 3 3 ∴原不等式解集为{x|1- 3 <x<1+ 3 }. (2)9x2-6x+1≥0?(3x-1)2≥0. ∴x∈R.∴不等式解集为 R. 18.(12 分)已知 m∈R 且 m<-2,试解关于 x 的不等式:(m+3)x2-(2m+3)x+m>0. 解:当 m=-3 时,不等式变成 3x-3>0,得 x>1; 当-3<m<-2 时,不等式变成(x-1)[(m+3)x m -m]>0,得 x>1 或 x< ; m+3 m 当 m<-3 时,得 1<x< . m+3 综上,当 m=-3 时,原不等式的解集为(1,+∞);当 ? m ? ? m ? -3<m<-2 时, 原不等式的解集为?-∞,m+3?∪(1, +∞); 当 m<-3 时, 原不等式的解集为?1,m+3?. ? ? ? ?
? ?2x+y-4≤0, 19.(12 分)已知非负实数 x,y 满足? ? ?x+y-3≤0.

(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; (2)求 z=x+3y 的最大值.

解:(1)由 x,y 取非负实数,根据线性约束条件作出可行域,如下图所示阴影部分.

(2)作出直线 l:x+3y=0,将直线 l 向上平移至 l1 与 y 轴的交点 M 位置时,此时可行域内 M 点与直线 l 的距离最大,而直线 x+y-3=0 与 y 轴交于点 M(0,3). ∴zmax=0+3×3=9. 20.(13 分)(2009· 江苏苏州调研)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价 1 格(元)均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20-2|t-10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解:(1)y=g(t)· f(t) 1 =(80-2t)· (20-2|t-10|) =(40-t)(40-|t-10|)

? ??30+t??40-t?, 0≤t<10, =? ??40-t??50-t?, 10≤t≤20. ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 21.(14 分)某工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126 m2 的厂房,工程条件是: (1)建 1 m 新墙的费用为 a 元; a (2)修 1 m 旧墙的费用为4元; a (3)拆去 1 m 的旧墙,用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为2元. 经讨论有两种方案: ①利用旧墙 x m(0<x<14)为矩形一边; ②矩形厂房利用旧墙的一面长 x≥14. 试比较①②两种方案哪个更好. ax 解:方案①:修旧墙费用为 4 (元), a 拆旧墙造新墙费用为(14-x)2(元), 2×126 其余新墙费用为(2x+ x -14)a(元), 2×126 ax a x 36 则总费用为 y= 4 +(14-x)2+(2x+ x -14)a=7a(4+ x -1)(0<x<14), x 36 x 36 ∵4+ x ≥2 4· x =6, x 36 ∴当且仅当4= x 即 x=12 时,ymin=35a, 方案②: a 7a 利用旧墙费用为 14×4= 2 (元), 252 建新墙费用为(2x+ x -14)a(元), 7a 252 126 21 则总费用为 y= 2 +(2x+ x -14)a=2a(x+ x )- 2 a(x≥14), 126 可以证明函数 x+ x 在[14,+∞)上为增函数, ∴当 x=14 时,ymin=35.5a. ∴采用方案①更好些.


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