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嘉定区2015年高三数学理科一模试卷


2014 学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷
考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1.设 i 是虚数单位,则 i ?
3

2i ? __________. 1? i

2.函数 y ? lg( x ? 1) ?

1 的定义域是________________. 2? x
?

3.已知直线 l 垂直于直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则直线 l 的一个法向量 n ? ___________. 4.已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ____________.
a

5.为了解 300 名学生的视力情况,采用系统抽样的方法从中抽取容量为 20 的样本,则分段 的间隔为______________. 6.若椭圆 mx ? y ? 1的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,则 m ? __________.
2 2 2

7.若圆锥的侧面积是底面积的 4 倍,则其母线与轴所成角的大小是____________(结果用 反三角函数值表示) . 8.将函数 f ( x) ?

3 cos 2 x 1 sin 2 x

的图像向左平移 m ( m ? 0 )个单位,所得图像对应的函数

为偶函数,则 m 的最小值为______________. 9.设无穷等比数列 {an } 的公比为 q .若 lim ( a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? a1 ,则 q ? ________.
n ??

10.△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 3a cos C ? 2c cos A ,

tan A ?

1 ,则 B ? ___________. 3

11.甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率是___________. 12.设正数 a 、 b 满足 2a ? 3b ? ab ,则 a ? b 的最小值是____________. 13. 若函数 f ( x) 满足: ①在定义域 D 内是单调函数; ②存在 [a , b] ? D( a ? b ) , 使 f ( x) 在 [a , b] 上的值域为 [?b , ? a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数.现有 f ( x) ? 1 ? x ? k 是对 称函数,则实数 k 的取值范围是_______________.
1

14.设数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为 S n ,且对任
* * 意 n ? N ,总存在 m ? N ,使得 S n ? am .则 d ? _________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “0 ? x ? 1” 是 “l 的??????????????????? ( og 2 ( x ? 1) ? 1 ” A.充分非必要条件 C.充分必要条件
2



B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

16 .设 a 、 b 是关于 t 的方程 t cos? ? t sin ? ? 0 的两个不相等实根,则过 A(a , a 2 ) 、

B(b , b 2 ) 两点的直线与双曲线
A. 3 B. 2

x2 y2 ? ? 1 的公共点个数是???????( cos2 ? sin 2 ?
C. 1 D. 0



17 .定义在区间 [1 , ? ?) 上的函数 f ( x) 满足:① f (2 x) ? 2 f ( x) ;②当 2 ? x ? 4 时,

f ( x) ? 1? | x ? 3 | , 则集合 S ? {x f ( x) ? f (34)}中的最小元素是???????? (
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8



18.如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线, O 垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则

P M A

y = f ( x) 在 [0 , ? ] 上的图像大致为????????????????????? (
y 1 O y 1 y 1 y 1



π x A.

O

π x B.

O

π x C.

O

π x D.

2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分满分 7 分. 已知 x ? R ,向量 a ? (sin 2 x , cos x) , b ? (1 , 2 cosx) , f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ? 值.

?

?

? ?

?? ?? ? 4 2 ? cos?? ? ? cos2? ? 1 ,求 cos ? ? sin ? 的 ?? 5 4? ?2? ?

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA 1 ? 2 ,点 E 、 F 分别为棱 AC 与 A1 B1 的中点. (1)求三棱锥 A1 ? EFC1 的体积; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小. A B C F B1 A1

C1

E

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知点 A(0 , ? 2) ,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴长为 4 , F 是椭圆的右 a 2 b2

焦点,直线 AF 的一个方向向量为 d ? ( 3 , 2) , O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与椭圆 E 相交于 P 、 Q 两点,当△ OPQ 的面积 S 最大时, 求 l 的方程.

?

3

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x ( x ? R ) . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 k ? 0 ,问函数 f ( x) 的图像是否关于某直线 x ? m 成轴对称图形,如果是,求 出 m 的值;如果不是,请说明理由; (可利用真命题: “函数 g ( x) 的图像关于某直线 x ? m 成轴对称图形”的充要条件为“函数 g (m ? x) 是偶函数” )
x 1? x (3)设 k ? ?1 ,函数 h( x) ? a ? 2 ? 2 ?

4 a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有 3

一个公共点,求实数 a 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 、 {bn } 的各项均为正数,且对任意 n ? N ,都有 an , bn , an ?1 成等差
*

数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15. (1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (3) 设 Sn ?

b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? S n ? 2 ? n 恒成立, a1 a2 an an

求实数 a 的取值范围.

4

2014 学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷参考答案与评分标准
一.填空题(每题 4 分,满分 56 分) 1. ? 1 5. 15 9. 2. (1 , 2) 6. 3. (3 , 2) 7. arcsin 10. 4. 10

1 2

1 4

8.

? 3

3 3? 11. 4 4 5 ? ? 12. 5 ? 2 6 13. ?1 , ? 14. ? 1 ? 4? n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d ,因为对任意 n ? N* ,存在 m ? N* , 第 14 题详解: S n ? na1 ? 2 2 n(n ? 1) 1 d ? 1 ? (m ? 1)d , 使得 S n ? am , 即n? 取n ? 2, 得 1 ? d ? (m ? 1)d ,m ? 2 ? , d 2 因为 d ? 0 ,所以 m ? 2 ,故 m ? 1 , d ? ?1 .

5 ?1 2

二.选择题(每题 5 分,满分 20 分) 15.A 16.D 17.C 18.B 三.解答题(本大题满分 74 分) 注:解答题评分标准所给的是各步骤的累加分,与参考答案不同的解法可酌情给分. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分满分 7 分. (1) f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ?
2

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

?? ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 ,??(2 分) 4? ?

(k ?Z ) , ????(4 分)

得 f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ? (2)由已知得, 2 sin?? ?

? ?

3? ?? . ????(5 分) , k? ? ? ( k ? Z ) 8 8?

4 2 ?? ? cos?? ? ? cos2? ? 1,????(2 分) ? ?1 ? 4? 5 4? ? ?? 4 ? ?? ? 即 sin? ? ? ? ? cos?? ? ? cos2? , ??????(3 分) 4? 5 ? 4? ? 4 所以, sin ? ? cos ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ,???(4 分) 5 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 tan ? ? ?1 ,所以 cos? ? sin ? ? ? 2 ;?????(5 分) 4 5 2 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 (cos ? ? sin ? ) ? 1 , cos? ? sin ? ? ? .????(6 分) 5 2 5 综上, cos ? ? sin ? 的值为 ? 2 或 ? . ????(7 分) 2 ? ?
(分类得到 2 个答案,不写最后一步可不扣分)
5

??

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. (1) VA1 ? EFC1 ? VE ? A1 FC1 ?

1 1 1 2 S ?A1 FC1 ? AA1 ? ? ? A1C1 ? A1F ? AA1 ? . ??(5 分) 3 3 2 3
???(1 分)

(参考答案只给出最后结果,如果结果错误,可视中间步骤适当给分) (2)取 AA 1 中点 G ,联结 EG , FG ,则 EG ∥ A 1C , 在△ EFG 中, EG ? FG ? 所以, cos?FEG ?
2

所以, ?FEG 是异面直线 A1C 与 EF 所成的角(或其补角) , ????(2 分)

2 , EF ? 6 ,
2 2

?????????(4 分)

? EG ? EF ? FG 3 ,故 ?FEG ? . ??(6 分) ? 6 2 ? EF ? EG 2 ? 所以,异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小为 . ?????????(7 分) 6
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)设 F (c , 0) ,直线 AF 的点方向式方程为 令 y ? 0 ,得 x ?

x y?2 ? , ??????(2 分) 2 3

???????????????(3 分) 3 ,即 c ? 3 , 2 2 2 由已知, a ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 1 . ???????????????(5 分) x2 ? y2 ? 1. 所以椭圆 E 的方程为 ???????????????(6 分) 4 (2)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (4k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 , ????(1 分) 将 y ? kx ? 2 代入 4 3 2 2 当△ ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ? 时,直线 l 与椭圆 E 相交, ?????(2 分) 4 16 k 12 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , ???(3 分) 2 4k ? 1 4k 2 ? 1
所以 | PQ |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

?? 16k ?2 48 ? 4 k 2 ? 1 ? (k 2 ? 1) ? ?? 2 ? ? 4k 2 ? 3 , ? ?? 2 2 4k ? 1 ? ?? 4k ? 1 ? 4k ? 1? ?
1 4 4k 2 ? 3 又点 O 到直线 l 的距离 d ? ,所以△ OPQ 的面积 S ? | PQ | ?d ? . 2 4k 2 ? 1 k2 ?1 4t 4 设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ? 2 , ??????(5 分) ? t ?4 t? 4 t 4 7 因为 t ? ? 4 ,所以 S ? 1 ,当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ? 时, S 取最大值1 .??(7 分) t 2 7 x ? 2 . ?????(8 分) 所以,当△ OPQ 的面积 S 最大时,直线 l 的方程为 y ? ? 2
2
(直线方程用其他形式也可以)

6

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. (1) f (? x) ? 2? x ? k ? 2x , 若 f ( x) 是偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ,即 2
?x

? k ? 2 x ? 2 x ? k ? 2? x , ????(1 分)
???????(2 分)

所以 (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? 1 ; 若 f ( x) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,即 2
?x

? k ? 2x ? ?2x ? k ? 2? x ,???(3 分)

所以 (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? ?1 。 ???????(4 分) 综上,当 k ? 1 时, f ( x) 是偶函数;当 k ? ?1 时, f ( x) 是奇函数;当 k ? ?1 时, f ( x) 既 不是奇函数也不是偶函数。 ????????????????????(5 分)

( 2 )当 k ? 0 时,若函数 f ( x) 的图像是轴对称图形,且对称轴是直线 x ? m ,则函数

f (m ? x) 是偶函数,即对任意实数 x , f (m ? x) ? f (m ? x) , ??????(1 分)
故2
m? x

? k ? 2 ?( m? x ) ? 2 m? x ? k ? 2 ?( m? x ) ,化简得 (2 x ? 2 ? x )(2 m ? k ? 2 ?m ) ? 0 , ?(3 分)
m ?m

1 log 2 k . ??????(4 分) 2 1 所以,函数 f ( x) 的图像是轴对称图形,其对称轴是直线 x ? log 2 k . ????(5 分) 2 4 x ?x (3)由 f ( x) ? h( x) 得, (a ? 1) ? 2 ? 2 ? a ? 0 , 3 4 2x x 即 (a ? 1) ? 2 ? a ? 2 ? 1 ? 0 , ????????????????????(2 分) 3
因为上式对任意 x ? R 成立,所以 2 ? k ? 2

? 0 ,m ?

此方程有且只有一个实数解.
2 x 令 t ? 2 ,则 t ? 0 ,问题转化为:方程 (a ? 1)t ?

4 at ? 1 ? 0 有且只有一个正数根. (3 分) 3

①当 a ? 1 时, t ? ? ②当 a ? 1 时,

3 ,不合题意. 4

???????????????????(4 分)

(i) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 合题意.

3 3 1 ,若 a ? ?3 ,则 t ? ,符合题意;若 a ? ,则 t ? ?2 ,不 4 4 2
??????????????(6 分)

(ii) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 a ? 得 a ? 1.

3 ?1 ? 0 ,解 ,由题意,方程有一个正根和一个负根,即 4 a ?1
??????????????(7 分) ??????????????(8 分)

综上,实数 a 的取值范围是 { ? 3 } ? (1 , ? ?) .

7

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得 an ?1 ? bnbn ?1 ③
*

2 ①, an ?1 ? bnbn ?1

②,

????????(1 分) ????????(2 分)

n?N , 将③代入①, 得对任意 n ? 2 , 有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即 2 bn ? bn ?1 ? bn ,
所以, { bn } 是等差数列. ?????????(4 分)

(2)设数列 { bn } 的公差为 d ,由 a1 ? 10 , a2 ? 15,得 b1 ? 所以, b1 ?

25 , b2 ? 18 ,??(1 分) 2

5 2 2 , b2 ? 3 2 , d ? b2 ? b1 ? , ?????????(2 分) 2 2 (n ? 4) 2 5 2 2 2 所以 bn ? b1 ? (n ? 1) ? d ? .?(4 分) ? (n ? 1) ? (n ? 4) , bn ? 2 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) 由已知,当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? ,而 a1 ? 10 也满足此式.??(5 分) 2 (n ? 3)( n ? 4) (n ? 4) 2 所以数列 {an } 、{bn } 的通项公式为: an ? , bn ? . ???(6 分) 2 2 1 2 1 ? ? 1 (3)由(2) ,得 ????????(1 分) ? ? 2? ? ?, an (n ? 3)(n ? 4) ? n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 则 Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? , ????(2 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ???????(3 分) ?? 2? an n?3 ?4 n? 4?
(以下有两种解法) 解法一:不等式化为 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 ,
2

???????????(4 分)
*

设 f (n) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意 n ? N 恒成立. ???(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件. 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件. 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,函数 f ( n) 图像的对称轴为直线 x ? ? 递减,只需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,解得 a ? 综上可得, a 的取值范围是 (?? , 1] . 解法二:不等式化为 a ?

3(a ? 2) ? 0 , f (n) 关于 n 2(a ? 1)

15 ,故 a ? 1 . 4

????????(8 分)

3n ? 8 n 2 ? 6n ? 8 * 对任意 n ? N 恒成立,即 a ? 1 ? 2 ,?(5 分) 2 n ? 3n n ? 3n 3n ? 8 3n ? 8 3n ? 8 * 设 f ( n) ? 2 , 任取 n1 、n2 ? N , 且 n1 ? n2 , 则 f (n1 ) ? f (n2 ) ? 2 1 ? 22 n ? 3n n1 ? 3n1 n2 ? 3n2 (n ? n )[3n n ? 8(n1 ? n2 ) ? 24] 故 f ( n) 关于 n 递减. ???????? (6 分) ? 2 1 2 1 2 ?0, 2 (n1 ? 3n1 )(n2 ? 3n2 ) 3n ? 8 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 a ? 1 . 又 f (n) ? 0 且 lim f ( n ) ? 0 ,所以 1 ? 2 n?? n ? 3n 因此,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ?????????(8 分)
8


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