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课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习阶段知能检测2


阶段知能检测(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( 1 A.y=log x 2 1 C.y=x2-2 D.y=-x3 ) B.y=2x-1 )

2.函数 f(x)=3+x· x 的单调递增区间是( ln 1 A.(0, e) B.(e,+∞) 1 1 C.(e,+∞) D.( e,e)

3.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)

)

C.(0,1) D.(1,2) 4.(2012· 佛山调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x +b(b 为常数),则 f(-1)=( A.3 ) D.-3

B.1 C.-1

5.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中 一定在 x 轴上的是( A.(a,b) )

B.(a,c)

C.(b,c) D.(a+b,c) 6.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,汽车离 开 A 地的距离 x(千米)与时间 t(小时)之间的函数表达式是( A.x=60t B.x=60t+50t )

?60t,0≤t≤2.5 C.x=? ?150-5t,x>3.5

?60t,0≤t≤2.5 D.x=?150,2.5<t≤3.5, ?150-50?t-3.5?,3.5<t≤6.5
1 1 7.(2012· 阳江质检)设 2a=5b=m,且a+b=2,则 m 等于( A. 10 B.10 C.20 D.100 )

8.定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),那 么称 M 为 f(x)的下界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界.现给出下列函数, 其中有下确界的函数是( )
x

①f(x)=cos x;②f(x)=log2 x;③f(x)=3



?-1;x>0 ④f(x)=?0;x=0 ?1;x<0
A.① B.④ C.②③④

.

D.①③④

1 9.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=4x+ x,在其定义域的子区间(k-1,k+ 1)上函数不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( 3 A.k>2 1 B.k<-2 3 D.1≤k<2 )

1 3 C.-2<k<2

10.(2012· 惠州模拟)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0} 等于( ) B.{x|x<0 或 x>4}

A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}

D.{x|x<-2 或 x>2} 第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上) 11.(2011· 湖南高考)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)

=________. 1 π 12.函数 f(x)=2ex(sin x+cos x)在区间[0,2]上的最小值是________. 13.曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________. 2 14. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R=3(lg E-11.4).2011 年 3 月,日本东海岸发生了 9.0 级特大地震,而 1989 年旧金山海湾区域地震的震级 为 6.0 级,那么 2011 年地震的能量是 1989 年地震能量的________倍. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 1 1 15. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=3x3+2ax2+bx+1(x∈R, b 为实数) a, 有极值,且在 x=-1 处的切线与直线 x-y+1=0 平行,求实数 a 的取值范围. 16. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5, f(x)的导数为 f′(x). 记 2 (1)若曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x=3时 y=f(x)有极值,求 函数 f(x)的解析式. (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值. 17.(本小题满分 13 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足对任意 x,y 均有 f(x +y)=f(x)+f(y),且 f(1)=1. (1)求 f(0)的值,并判断 f(x)的奇偶性; (2)解关于 a 的不等式 f(a2+a-4)<2. 18.(本小题满分 14 分)(2012· 广州六校联考)已知函数 f(x)=x2ln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 1 (2)若 b∈[-2,2]时,函数 h(x)=3x3ln x-9x3-(2a+b)x,在(1,2)上为单调递 减函数,求实数 a 的范围. 19.(本小题满分 14 分)工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的 1 ?6-x,0<x≤c ? 关系为 p=? 2 ?3,x>c ?

,(c 为常数,且 0<c<6).

已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,每出现 1 件次品亏损 1.5 元.

(1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= ×100%). 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=xe-x(x∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 证明当 x>1 时,f(x)>g(x). 次品数 产品总数

答案及解析
1. 【解析】 1 1 y=log2x 与 y=-x3 是单调减函数;y=x2-2在(-1,1)内先减 后增;y=2x-1 单调递增,且有零点 x=0. 【答案】 2. 【解析】 【答案】 3. 【解析】 C ∵f(0)=e0+0-2=-1<0, B 1 f′(x)=ln x+1,由 f′(x)>0,得 x> e.

f(1)=e1+1-2=e-1>0, ∴f(0)· f(1)<0, ∴f(x)的零点所在的一个区间是(0,1). 【答案】 4. 【解析】 C ∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,

∴f(0)=0,即 20+2×0+b=0, 解得 b=-1, ∴当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1, ∴f(-1)=-f(1)=-3. 【答案】 5. 【解析】 D f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知 1,-1 是方程 3ax2+2bx+c

2b =0 的两根,1-1=-3a,b=0. 【答案】 6. 【解析】 A 150 到达 B 地需要 60 =2.5 小时,

所以当 0≤t≤2.5 时,x=60t; 当 2.5<t≤3.5 时,x=150; 当 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5). 【答案】 7. 【解析】 1 1 又a+b=2. lg 2+lg 5 1 1 1 ∴log m+log m= lg m =lg m=2,∴m= 10.
2 5

D 由 2a=5b=m,得 a=log2m,b=log5m,

【答案】

A

8. 【解析】 ①中,cos x≥-1,∴f(x)=cos x 的下确界为-1,③中 f(x)≥1, 且下确界为 1, 又④中,f(x)≥-1,且下确界为-1. 排除 A、B、C,选 D. 【答案】 9. 【解析】 D 1 1 f′(x)=4-x2,由 f′(x)=0,得 x=2.

1 由题意得2∈(k-1,k+1), 1 3 所以-2<k<2, 又 k-1≥0,即 k≥1, 3 所以 1≤k<2. 【答案】 D 由 f(x)是偶函数,且 f(2)=0,

10. 【解析】

又当 x≥0 时,f(x)=2x-4 是增函数. 由 f(x-2)>0,得 f(|x-2|)>f(2),因此|x-2|>2.

∴x>4 或 x<0. 【答案】 B 依题意,得 g(-2)=f(-2)+9=-f(2)+9=3,解得 f(2)=6.

11. 【解析】 【答案】 6

12. 【解析】 =excos x,

1 1 f′(x)=2ex(cos x-sin x)+2ex(sin x+cos x)

π ∵0≤x≤2,∴f′(x)≥0,且 f′(x)不恒为 0, π 因此 f(x)在[0,2]上是增函数. 1 ∴f(x)最小值为 f(0)=2. 【答案】 1 2 y′=cos x+ex,

13. 【解析】

∴在 x=0 处的切线斜率 k=y′|x=0=e0+cos 0=2. 又切点坐标为(0,3), ∴切线方程为 y=2x+3. 【答案】 y=2x+3 2 由题意可知 9=3(lg E1-11.4)

14. 【解析】

2 又 6=3(lg E2-11.4) 2 2 E1 ∴9-6=3(lg E1-lg E2)=3lg E , 2 E1 9 E1 则 lg E =2?E =10000 10, 2 2 ∴2011 年地震的能量是 1989 年的 10000 10倍. 【答案】 15. 【解】 10000 10 f′(x)=x2+ax+b,

由题意得,f′(-1)=1-a+b=1,∴a=b. 令 f′(x)=0,即 x2+ax+a=0, 当 Δ=a2-4a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,y=f(x)没有极值;

当 Δ=a2-4a>0 时, a<0 或 a>4 时, 即 f′(x)=0 有两个不相等的实数根, y=f(x)有极值. 综上可知,a 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). 16. 【解】 (1)f′(x)=3x2+2ax+b.

2 依题意 f′(1)=3,f′(3)=0, ?3+2a+b=3, ? ∴? 2 2 4 ? ?3·3? +3a+b=0, ? ?a=2, 解之得? ?b=-4.

所以 f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)由(1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2). 2 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 3 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 函数值 -11 -4 (-4,-2) + ? -2 0 极大值 13 2 (-2,3) - ? 2 3 0 极小值 95 27 2 (3,1) + ? 4 1

∴f(x)在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11. 17. 【解】 ∴f(0)=0, 令 y=-x,则有 f(0)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0. 故对?x∈R,有 f(-x)=-f(x)成立. 因此 f(x)为奇函数. (2)由 f(x)在 R 上单调,且 f(0)=0,f(1)=1, 知 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 又 f(1)=1,∴f(2)=f(1)+f(1)=2. ∵f(a2+a-4)<2?f(a2+a-4)<f(2), ∴a2+a-4<2,解之得-3<a<2, (1)令 x=y=0,则由题意可得 f(0)=f(0)+f(0),

故 f(a2+a-4)<2 的解集为(-3,2). 18. 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=2xln x+x,

1 令 f′(x)=0 解得 x=e-2 1 x∈(0,e-2)时,f′(x)<0,此时函数单调递减. 1 x∈(e-2,+∞)时,f′(x)>0,此时函数单调递增. (2)h′(x)=x2ln x-(2a+b) 由题意可知,x∈(1,2)时,h′(x)≤0 恒成立. 即 2a+b≥x2ln x, 由(1)可知,2a+b≥f(2)=4ln 2 由 b∈[-2,2]可得 2a≥4ln 2+2 所以 a≥2ln 2+1. 19. 【解】 2 (1)当 x>c 时,p=3,

2 2 3 ∴y=(1-3)· 3-3· 2=0; x· x· 当 0<x≤c 时,p= ∴y=(1- 1 , 6-x

2 1 1 3 3?9x-2x ? )· 3- x· · 2= x· . 6-x 6-x 2?6-x?

∴日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为

?3?9x-2x ? y=? 2?6-x? ?0 x>c
2

0<x≤c

.

(2)由(1)知,当 x>c 时,日盈利额为 0. 当 0<x≤c 时, ∵y= 3?9x-2x2? , 2?6-x?

2 3 ?9-4x??6-x?+?9x-2x ? ∴y′=2· 2 ?6-x?



3?x-3??x-9? , ?6-x?2

令 y′=0,得 x=3 或 x=9(舍去). ∴①当 0<c<3 时,∵y′>0,

∴y 在区间(0,c]上单调递增, ∴y 最大值=f(c)= 3?9c-2c2? , 2?6-c?

②当 3≤c<6 时,在(0,3)上,y′>0;在(3,c)上 y′<0. ∴y 在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减. 9 ∴y 最大值=f(3)=2. 综上,若 0<c<3,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大; 若 3≤c<6,则当日产量为 3 万件时,日盈利额最大. 20. 【解】 (1)f′(x)=(1-x)e-x.

令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,1) + ? 1 0 极大值 (1,+∞) - ?

所以 f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. 1 故函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1),且 f(1)= e. (2)证明 由题意可知 g(x)=f(2-x),

得 g(x)=(2-x)ex-2. 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F(x)=xe-x+(x-2)ex-2. 于是 F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x. 当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x-2-1>0. 又 e-x>0, 所以 F′(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+∞)上是增函数. 又 F(1)=e-1-e-1=0, 所以 x>1 时,有 F(x)>F(1)=0, 因此,当 x>1 时,f(x)>g(x).


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