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高中数学北师大版必修5同步练习:1.4 第3课时《简单线性规划》


第三章

§4

第 3 课时

一、选择题 5x-11y≥-22 ? ? 1.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条件?2x+3y≥9 ? ?2x≤11 则 z=10x+10y 的最大值是( A.80 C.90 [答案] C 5x-11y≥-22 ? ? [解析] 画出不等式组?2x+3y≥9 ? ?2x≤11 ) B.85 D.95



,表示的平面区域,如图所示.

11 ? ?x= 2 11 9 由? ,解得 A( , ). 2 2 ?5x-11y=-22 ? z 而由题意知 x 和 y 必须是正整数,直线 y=-x+ 向下平移经过的第一个整点为(5,4). 10 z=10x+10y 取得最大值 90,故选 C. 2.(2013· 湖北文)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车 总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31200 元 C.36800 元 [答案] C [解析] 本题考查不等式的简单应用,线性规划中的最优解问题. 设需 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,则 B.36000 元 D.38400 元 )

y-x≤7 ? ?x+y≤21 ?36x+60y≥900 ? ?x y∈N
1


y-x≤7 ? ?x+y≤21 ?? 3x+5y≥75 ? ?x y∈N
1


2 z z 由目标函数 z=1600x+2400y,得 y=- x+ , 表示直线在 y 轴上的截距,要 z 3 2400 2400 最小,则直线在 y 轴上的截距最小,画了可行域(如图),

2 平移直 l:y=- x 到 l0 过点 A(5,12)时,zmin=5×1600+2400×2=36800.故选 C. 3 平移直线 l 时,不要找错最优解. 3.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力 限制数据列在下表中,那么,为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为( 货物 甲 乙 托运限制 A.4,1 C.1,4 [答案] A
?x+y-3≥0 ? 4.设 z=x-y,式中变量 x 和 y 满足条件? ,则 z 的最小值为( ?x-2y≥0 ?

)

体积每箱(m3) 5 4 24

重量每箱 50 kg 2 5 13 B.3,2 D.2,4

利润每箱(百元) 20 10

)

A.1 C.3 [答案] A

B.-1 D.-3

[解析] 作出可行域如图中阴影部分. 直线 z=x-y 即 y=x-z.经过点 A(2,1)时, 纵截距 最大,∴z 最小.zmin=1.

5.某学校用 800 元购买 A、B 两种教学用品,A 种用品每件 100 元,B 种用品每件 160 元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B 两种用品应各买的件数为( A.2 件,4 件 C.4 件,2 件 [答案] B [解析] 设买 A 种用品 x 件,B 种用品 y 件,剩下的钱为 z 元,则 x≥1 ? ? ?y≥1 ? ?100x+160y≤800 B.3 件,3 件 D.不确定 )



求 z=800-100x-160y 取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3). 6. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载 重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送 一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车 需配 1 名工人;运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可 得最大利润 z=( A.4650 元 C.4900 元 [答案] C [解析] 设当天派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意得 ) B.4700 元 D.5000 元

?x+y≤12 ?10x+6y≥72 ?0≤x≤8 ?0≤y≤7 ?x,y∈N
2x+y≤19

.

设每天的利润为 z 元,则 z=450x+350y. 画出可行域如图阴影部分所示.

由图可知 z=450x+350y=50(9x+7y),经过点 A 时取得最大值,又由?
? ?x=7 ? .即 A(7,5). ?y=5 ?

?x+y=12 ? ? ?2x+y=19



∴当 x=7,y=5 时,z 取到最大值,zmax=450×7+350×5=4900(元).故选 C. 二、填空题 x≥0 ? ? 7.(2013· 全国大纲理)记不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4 +1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是________. 1 [答案] [ ,4] 2 [解析] 本小题考查线性规划问题,直线过定点问题. 直线 y=a(x+1),过定点(-1,0) 可行域 D 如图

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x

A 点坐标为(0,4)
? ?x+3y=4 ? ?3x+y=4 ?

∴B 点坐标(1,1) 1-0 1 ∴kDA=4,kDB= = 1-?-1? 2

1 ∴a∈[ ,4]. 2 8.(2013· 陕西理)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的 最小值为________.

[答案] -4 [解析] 本题主要考查了线性规划中最优解问题. 作出曲线 y=|x-1|与 y=2 所表示的平面区域,令 2x-y=z,即 y=2x-z,作直线 y= 2x,在封闭区域内平行移动直线 y=2x,当经过点(-1,2)时,z 取到最小值,此时最小值为 -4. 三、解答题 y≥x, ? ? 9.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,求 m 的值.

[解析] 本题是线性规划问题.先画出可行域,再利用最大值为 4 求 m.
?y=mx ? 由 m>1 可画出可行域如图所示, 则当直线 z=x+5y 过点 A 时 z 有最大值. 由? ?x+y=1 ?

1 m 1 5m 得 A( , ),代入得 + =4,即解得 m=3. m+1 m+1 m+1 m+1

10.某人承包一项业务,需做文字标牌 4 个,绘画标牌 5 个,现有两种规格的原料,甲 种规格每张 3m2,可做文字标牌 1 个,绘画标牌 2 个,乙种规格每张 2m2,可做文字标牌 2 个,绘画标牌 1 个,求两种规格的原料各用多少张,才能使总的用料面积最小? [解析] 设需要甲种原料 x 张,乙种原料 y 张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x +y)个.

2x+y≥5 ? ?x+2y≥4 由题意可得:? x≥0 ? ?y≥0

所用原料的总面积为 z=3x+2y,作出可行域如图.

在一组平行直线 3x+2y=t 中,经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线 2x +y=5 和直线 x+2y=4 的交点(2,1), ∴最优解为:x=2,y=1 ∴使用甲种规格原料 2 张,乙种规格原料 1 张,可使总的用料面积最小.

一、选择题 1.设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 C.1,-2 [答案] B [解析] 本题主要考查线性规划问题. 不等式|x|+|y|≤1 表示的平面区域如图所示,当目标函数 z=x+2y 过点(0,-1),(0,1) 时,分别取最小和最大值,所以 x+2y 的最大值和最小值分别为 2,-2,故选 B. B.2,-2 D.2,-1 )

x+y-1≤0 ? ? 2.已知?x-y+1≥0, ? ?y≤1 3 2 A. 2 C. 2 2

z=x2+y 2-4x-4y+8,则 z 的最小值为(

)

9 B. 2 1 D. 2

[答案] B [解析] 画出可行域如图所示.

z=(x-2)2+(y-2)2 为可行域内的点到定点(2,2)的距离的平方, ∴zmin=?

?|2+2-1|?2 9 ?= . ? 12+12 ? 2
,且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=( )

x+3y-3≥0 ? ? 3.若实数 x、y 满足不等式?2x-y-3≤0 ? ?x-my+1≥0 A.-2 C.1 [答案] C [解析] 如图,作出可行域.

B.-1 D.2

? ?x-my+1=0 由? ,得 ? ?2x-y-3=0

? 1+3m , 5 ?, A? ? ?-1+2m -1+2m?
1+3m 5 平移 y=-x,当其经过点 A 时,x+y 取最大值,即 + =9. -1+2m -1+2m 解得 m=1. 4.为支援灾区人民,某单位要将捐献的 100 台电视机运往灾区,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装电视机 20 台;每辆乙型货车 运输费用 300 元,可装电视机 10 台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用 为( ) A.2 800 元 B.2 400 元

C.2 200 元 [答案] C

D.2 000 元

[解析] 设调用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,则 0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,即 2x+y≥10,设运输费用为 t,则 t=400x+300y. 0≤x≤4 ? ? 线性约束条件为?0≤y≤8 ? ?2x+y≥10



4 t 作出可行域如图,则当直线 y=- x+ 经过可行域内点 A(4,2)时,t 取最小值 2 200, 3 300 故选 C.

二、填空题 5.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送 180t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载 重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返的次 数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费用为 A 型卡车为 320 元,B 型卡车为 504 元.每天调配 A 型卡车________辆,B 型卡车________辆,可使公司所花的成 本费用最低. [答案] 5 2 [解析] 设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,

?y≤4 ?x+y≤10 依题意有? 4x· 6+3y· 10≥180 ?x≥0,y≥0 ?x,y∈N
x≤8

? ?0≤y≤4 ??x+y≤10 4x+5y≥30 ? ?x,y∈N
0≤x≤8

.

目标函数 z=320x+504y(其中 x,y∈N). 作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示,即可行域.

由图易知,直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(5,2)使 z=320x+504y 取得最小值, z 最小值=320· 5+504· 2=2608(元). 6. 购买 8 角和 2 元的邮票若干张, 并要求每种邮票至少有两张. 如果小明带有 10 元钱, 共有________种买法. [答案] 12 0.8x+2y≤10 ? ? [解析] 设购买 8 角和 2 元邮票分别为 x 张、y 张,则?x,y∈N ? ?x≥2,y≥2 2x+5y≤25 ? ?x≥2 即? y≥2 ? ?x,y∈N



.

∴2≤x≤12,2≤y≤5, 当 y=2 时,2x≤15,∴2≤x≤7,有 6 种; 当 y=3 时,2x≤10,∴2≤x≤5,有 4 种; 当 y=4 时,2x≤5,∴2≤x≤2,∴x=2 有一种; 当 y=5 时,由 2x≤0 及 x≥0 知 x=0,故有一种. 综上可知,不同买法有:6+4+1+1=12 种. 三、解答题 7.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g,乙种烟 花每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g.已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、 B 药品 400 g、C 药品 240 g.甲种烟花每枚可获利 2 元,乙种烟花每枚可获利 1 元,问每 天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大. [解析] 设每天生产甲种烟花 x 枚,乙种烟花 y 枚,获利为 z 元,则

? ?4x+11y≤400 x+6y≤240 ?4 x≥0 ? ?y≥0
3x+2y≤120

,作出可行域如图所示.

目标函数为:z=2x+y. 作直线 l:2x+y=0,将直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A 时纵截距 z 最大,即 z=2x+y 取最大值.
?4x+6y-240=0 ?x=24 ? ? 解方程组? 得? . ? ? ?3x+2y-120=0 ?y=24

故每天生产甲、乙两种烟花各 24 枚才能使获利最大. 8.某厂有一批长为 18m 的条形钢板,可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件.它们的加工费 分别为每个 1 元和 0.6 元.售价分别为 20 元和 15 元,总加工费要求不超过 8 元.问如何下 料能获得最大利润. [解析] 设割成的 1.8m 和 1.5m 长的零件分别为 x 个、y 个,利润为 z 元, 则 z=20x+15y-(x+0.6y)即 z=19x+14.4y 且 1.8x+1.5y≤18 ? ? ?x+0.6y≤8 ? ?x、y∈N



作出不等式组表示的平面区域如图,

? ?1.8x+1.5y=18 又由? , ?x+0.6y=8 ?

20 60 解出 x= ,y= , 7 7 20 60 ∴M( , ), 7 7 ∵x、y 为自然数,在可行区域内找出与 M 最近的点为(3,8),此时 z=19×3+14.4×8= 172.2(元). 又可行域的另一顶点是(0,12),过(0,12)的直线使 z=19×0+14.4×12=172.8(元); 过顶点(8,0)的直线使 z=19×8+14.4×0=152(元). 20 60 M( , )附近的点(1,10)、(2,9),直线 z=19x+14.4y 过点(1,10)时,z=163;过点(2,9) 7 7 时 z=167.6. ∴当 x=0,y=12 时,z=172.8 元为最大值. 答:只要截 1.5m 长的零件 12 个,就能获得最大利润.


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