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2.2.1 向量的加法运算及其几何意义


向量的加法运算及其几何意义
【知识链接】 一、情景设置: 1. 由于以前大陆和台湾没有直航,因此要从台湾去上海探亲,乘飞机要先从台 北(记作 A)到香港(记作 B) ,再从香港到上海(记作 C) ,这两次位移之和是 什么?如何用向量表示? 2.图 1 表示橡皮条在两个力的作用下沿 MO 伸长了 EO; 图 2 表示橡皮条在力 F 的作用下沿 MO 伸长了相同的长度 EO; F 与 F1 、F2 之间的关系如何? M 图2 [探究 1] 问题 1:向量的加法运算是如何定义的?叫做向量的加法. 问题 2:求向量和的方法有哪些? (1)向量加法的三角形法则: 如图 ,已知向量 a 、b 在平面内任取一点 A ,作 AB = a ,BC = b ,则向量 AC 叫 做与 a 与 b 的和,记作 a + b , 即 a + b ? AB ? BC ? AC , 规定: a ? 0 ? 0 ? a ? a E O M 图1 E O F2 F F1

C
a a?b b



(2)向量加法的平行四边形法则: ____________________________________________________________

A

a

_____________________________________________________________ 总结:1. 两相向量的和仍是___________________________________; 2. 向量加法的三角形法则(特点)________________________; 向量加法的平行四边形法则(特点)____________________________.

例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法 1(三角形法则) : a

b

作法 2(平行四边形法则) :

练习 1

如图,已知 a b

a , b 用向量的三角形法则做出 a ? b
a b

2、如图,已知

a , b 用向量的平行四边形法则做出 a ? b

a b

b

a

[探究 2] 当 a, b 是共线向量时, a ? b 又是如何作出来的?用哪一种法则? (1) 同向 (2)反向

a

a

b

b

思考: 考察下列各图, | a +b | 与 | a | -| b | 的大小关系如何?

| a+b | 与 | a | +| b |

的大小关系如何?

总结:1、当 a , b 共线同向时,有 a ? b ____ a ? b ; 2、 当 a , b 共线反向时, 有 a ? b ___ a ? b ( 或 b ? a ___ a ? b ) 3、当 a , b 不共线时,有 a ? b ______ a ? b 一般地, a ? b ______ a ? b

[探究 3] 向量加法的交换律和结合律 问题:数的运算律有哪些?类似的,向量的加法是否也有运算律呢? 数的运算律:____________________________________________; (向量加法运算律)猜想:___________________________________.

交换律

结合律

总结: 向量加法交换律____________________________ 向量加法结合律____________________________

例2

化简和计算

(1) CD ? BC ? AB

(2) AB ? DF ? CD ? BC ? FA

练习 2 (1)

AB ? BC ? CA

(2) AB ? MB ? BO ? OM
例 3 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如下图所示,一艘 船从长江南岸 A 点出发,以 5km/h 的速度向垂直对岸的方向行驶,同时江水的 速度为向东 2km/h. (1) 试用向量表示江水速度、 船速以及船实际航行的速度 (保留两个有效数字) ; (2) 求船实际航行速度的大小与方向 (用与江水速度间的夹角表示, 精确到度) .

?

?

[课堂小结] 1.向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连) 2. 向量加法的平行四边形法则(共起点,对角线) 3.向量的交换律和结合律 【课后练习】

(1) a ? b ? ( 2)c ? d ? (3) a ? b ? d ? ( 4)c ? d ? e ?
2、



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