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高三数学函数专题含答案


一、概念与性质参考答案

1.解析:(4)中元素 c 没有象,不符合映射定义中的“集 A 中的任意一个元 素在集 B 中都有元素与之对应”;(5)中,与元素 a 对应的元素有两个,不符合 映射定义中的“对于集 A 中的任意一个元素,在集 B 中都有唯一确定的元素与 之对应”;而(1)(2)(3)中的对应都符合映射定义.故本题正确答案为 A. 答案:A 2.解析:A、C、D 中的对应法则都是“一对多”,故它们不是函数的图象, 正确答案为 B. 答案:B 3.B 4.解析:因为 x+y=1,所以 2x· 2y=2x+y=2.这就是说,集合 N 中的元素, 其横坐标与其纵坐标之积为常数 2,又显然集合 N 中横、纵坐标都是正数,故本 题正确答案为 D. 答案:D 5.解析:(1)的对应中,对于集 A 中值 0,在集合 B 中,没有元素与之对应, 故(1)的对应不是从 A 到 B 的映射;(2)的对应中,对于集 A 中的任意一个非零 x 的值,在集合 B 中,都有两个元素与之对应(不满足唯一性),故(2)的对应不是从 A 到 B 的映射;(3)、(4)的对应都满足映射的定义,故(3)、(4)的对应都是从 A 到 B 的映射.故选 B. 答案:B 6.-1 ?3k=6 7.解析:依题意,(3,1)→(6,2),则? ,∴k=2,b=1. ?1+b=2 答案:k=2,b=1 8.9 8

9.解析:∵f(ab)=f(a)+f(b), ∴f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=f(4×2)+f(3×3)= f(4)+f(2)+2f(3)=f(2×2)+f(2)+2f(3)

=3f(2)+2f(3)=3p+2q. 10.解析:∵f(a)∈N,f(b)∈N,f(c)∈N,且 f(a)+f(b)+f(c)=0, ∴有 0+0+0=0+1+(-1)=0.当 f(a)=f(b)=f(c)=0 时, 只有一个映射; 当
1 2 f(a)、 f(b)、 f(c)中恰有一个为 0, 而另两个分别为 1, -1 时, 有 C3 · A2=6 个映射. 因

此所求的映射的个数为 1+6=7.

二、解析式与定义域参考答案

?1-x>0 1 1.解析:由? ?-3<x<1,故选 B. ?3x+1>0 答案:B 1-x 1-t 2.解析:令 =t,则 x= , 1+x 1+t 2t 2x ∴f(t)= 2 ,∴f(x)= 2 . t +1 x +1 答案:C 3.A 4.A ?x<0 1 ? 5.解析:(1)由|f(x)|≥3???1? 1 ? ?≥ ? ?? x ? 3 ?x≥0 1 ? (2)由|f(x)|≥3????1?x? 1 ?? ? ?≥ ? ???3? ? 3 0≤x≤1. 1 ∴不等式|f(x)|≥3的解集为{x|-3≤x≤1}. 答案:D 6.解析:∵2?A,∴4-4a+a2-1<0,即 a2-4a+3<0, 解得 1<a<3.

?-3≤x<0.

x≥0 ? ? ???1?x 1 ? ?≥ ? ??3? 3

?

答案:1<a<3 7.解析:设 f(x)=kx+b,则 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 由于该函数与 y=2x-1 是同一个函数, ∴k2=2 且 kb+b=-1,∴k=± 2. 当 k= 2时,b=1- 2; 当 k=- 2时,b=1+ 2. 答案: 2x+1- 2或- 2x+1+ 2 8.4 9.解析:(1)这个函数的定义域为(0,12), 1 当 0<x≤4 时,S=f(x)=2· 4· x=2x; 当 4<x≤8 时,S=f(x)=8; 1 当 8<x<12 时,S=f(x)=2· 4· (12-x)=24-2x.

∴这个函数的解析式为

?2x, f(x)=?8, ?24-2x,
[f(x)]max=8.

x∈?0,4], x∈?4,8], x∈?8,12?.

(2)其图形如右,由图知,

10.解析:(1)∵不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3), ∴x=1 和 x=3 是方程 ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根,

b+2 ? ? a =-4 ∴? c ? ?a=3

,∴b=-4a-2,c=3a,

又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根. ∴Δ=b2-4a(c+6a)=0,∴4(2a+1)2-4a×9a=0. 1 ∴(5a+1)(1-a)=0,∴a=-5或 a=1(舍). 1 6 3 ∴a=- ,b=- ,c=- , 5 5 5 1 6 3 ∴f(x)=-5x2-5x-5. (2)由(1)知 f(x)=ax2-2(2a+1)x+3a
2 ? 2a+1?2 ?2a+1? ?- =a?x- +3a a a ? ? 2 ? 2a+1?2 -a -4a-1 ? ? =a x- + a a ? ?

∵a<0, ∴f(x)的最大值为 -a2-4a-1 , a

∵f(x)的最大值为正数. a<0 ? ? 2 ∴?-a -4a-1 >0 ? a ? ?a<0 ∴? 2 ?a +4a+1>0 解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).
三、值域与最值参考答案

1.A 2.D 3.解析:要 f(μ)的值域是[0,+∞),则 μ 可取(-∞,-1]∪[0,+∞).又 g(x)是二次函数,定义域连续,故 g(x)不可能同时取(-∞,-1]和[0,+∞).结 合选项只能选 C.

答案:C 4.解析:按 a>b,a<b 两种情形分类讨论. 答案:D 5.C 6.2 7.2009 1 8.解析:由|x+1|≥|x-2|?(x+1)2≥(x-2)2?x≥2, 1? x+1|? x ≥ | ? ? ? 2? ? ? 故 f(x)=? ? 1? x< ? ? ?|x-2|? ? 2?

,其图象如下,

?1? ?1 ? 3 则 fmin(x)=f?2?=?2+1?=2. ? ? ? ? 3 答案:2 1 1 9.解析:∵y=f(x)=2(x2-4x+8)=2(x-2)2+2, ∴其图象的对称轴是 x=2. 因此 y=f(x)在[2,2b]上是递增函数,且 2b>2,即 b>1. 1 又函数 y=f(x)=2x2-2x+4 的定义域、 值域都是闭区间[2,2b], 所以有 f(2b) 1 =2b,即2(2b)2-2×2b+4=2b, ∴b2-3b+2=0,∴b=1(舍去),b=2. 10.解析:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成 本 C(x)之差,由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以 1 2 ? ?5x-2x -?0.5+0.25x??0≤x≤5? y=? 1 ? 2? 5 × 5 - ? -?0.5+0.25x??x>5? ? ?? 2×5 ? ?

1 ? ?4.75x- x2-0.5?0≤x≤5? 2 =? . ? ?x>5? ?12-0.25x 1 (2)在 0≤x≤5 时,y=-2x2+4.75x-0.5, b 当 x=-2a=4.75(百台)时,ymax=10.78125(万元); 当 x>5(百台)时,y<12-0.25×5=10.75(万元), 所以当生产 475 台时,利润最大. (3)要使企业不亏本,即要求 0≤x≤5 ? ? ? 1 2 - x +4.75x-0.5≥0 ? ? 2 ?x>5 或? , ?12-0.25x≥0

解得 5≥x≥4.75- 21.5625≈0.1(百台)或 5<x<48(百台)时, 即企业年产量 在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本.


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