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北京市海淀区2015届高三二模数学(理)试题 Word版含答案


海淀区高三年级第二学期期末练习



学(理)

2015.5

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 (1)已知全集 U ? Z ,集合 A ? {1, 2} , A U B ? {1, 2,3, 4} ,那么 (CU A) I B =( (A) ?
3



(B) {x ? Z x ? 3}
0.3

(C) {3, 4} ) (C) a ? b ? c )

(D) {1, 2}

(2)设 a ? 0.2 , b ? log 2 0.3, c ? 2 (A) b ? c ? a

,则(

(B) c ? b ? a

(D) b ? a ? c

(3)在极坐标系中,过点 (2, ? ) 且平行于极轴的直线的方程是( (A) ? cos? ? 3 (B) ? cos? ? ? 3 (C) ? sin ? ? 1

π 6

(D)

? sin ? ? ?1
(4)已知命题 p , q ,那么“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(5)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ( ? 为常数)为奇函数,那么 cos ? ? ( (A) ?

2 2

(B) 0

(C)

2 2

(D) 1

(6)已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出 100 粒豆子,记下落入 阴影区域的豆子数 .通过 10 次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 33,由 此可估计

?

1

0

f ( x)dx 的值约为(



-1-

(A)

99 100

(B)

3 10

(C)

9 10

(D)

10 11

(7)已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 1)3 e x ?1 .那么函数 f ( x) 的 极值点的个数是( (A)5 ) (B)4 (C)3 (D)2

(8)若空间中有 n(n ? 5) 个点,满足任意四个点都不共面,且任意两点的连线都与其它任意 三点确定的平面垂直,则这样的 n 值( (A)不存在 (B)有无数个 ) (C)等于 5 (D)最大值为 8

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足 a2 a6 ? 64 , a3a4 ? 32 , 则 公 比 q ? _____ ;
2 a12 ? a2 ? 2 ? an ?



(10)如图,在 ?ACB 中,?ACB ? 120? , AC ? BC ? 3 ,点 O 在 BC 边上,且圆 O 与 AB 相切于点 D , BC 与圆 O 相交于点 E , C ,则 ? EDB = , BE = .

(11)右图表示的是求首项为 ?41 ,公差为 2 的等差数列 {an } 前 n 项和的最小值的程序框图. ①处可填写_____;②处可填写 .

(12)若双曲线 M 上存在四个点 A, B, C , D ,使得四边形 ABCD 是正方形,则双曲线 M 的 离心率的取值范围是 . (13)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色, 且涂成红色的方格数为偶数 ,则不同的涂色方案种数是 .(用数字作答) ..

-2-

( 14 ) 设 关 于 x , y 的 不 等 式 组 ?

?3x ? 4 ? 0, 表示的平面区域为 D ,已知点 ?( y ? 1)(3x ? y ? 6) ? 0
.

O(0, 0), A(1, 0) ,点 M 是 D 上的动点. OA ? OM ? ? OM ,则 ? 的取值范围是
三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , a ? (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求证: ? B ? 2? A .

3 6 cos A . 2

(16)(本小题满分 13 分) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行测 试,记录的数据如下:

已知该项目评分标准为:

注:满分 10 分,且得 9 分以上(含 9 分)定为“优秀”. (Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,随机抽取 2 名,求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列;

-3-

(Ⅲ) 根据以上样本数据和你所学的统计知识, 试估计该年级学生实心球项目的整体情况( . 写 出两个结论即可)

(17)(本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 ,

M 是棱 PB 上一点.

(Ⅰ)若 BM ? 2MP ,求证: PD / / 平面 MAC ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

2 PM ,求 的值. 3 PB

(18)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线 y ?

ln x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1. x

(19)(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4 , 以椭圆 C 的短轴 a b
为直径的圆 O 经过这两个焦点,点 A , B 分别是椭圆 C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆 O 和椭圆 C 的方程;

-4-

(Ⅱ)已知 P , Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点( P , Q 位于 y 轴两侧),且直线 PQ 与 x 轴平行,直线 AP , BP 分别与 y 轴交于点 M , N .求证:∠ MQN 为定值.

(20)(本小题满分 14 分) 对于数列 A : a1 , a2 ,L , an ,经过变换 T : 交换 A 中某相邻两段的位置(数列 A 中的一项或连续 的几项称为一段),得到数列 T ( A) .例如,数列 A :

a1 , ???, ai , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ? p ? q ?1 , L , an ( p ? 1 , q ? 1 ) 1444 42 4444 3 1444442 444443
M N

经交换 M , N 两段位置,变换为数列 T ( A) :

a1 , ???, ai , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ? q ?1 , L , an . 1444442 444443 1444 42 4444 3
N M

设 A0 是有穷数列,令 Ak ?1 ? T ( Ak )(k ? 0,1, 2,L ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 3, 2,1 ,且 A2 为 1, 2,3 . 写出数列 A1 ;(写出一个即可) (Ⅱ) 如果数列 A0 为 9,8,7,6,5, 4,3, 2,1,A1 为 5, 4,9,8,7,6,3, 2,1 ,A2 为 5,6,3, 4,9,8,7, 2,1 ,

A5 为 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .写出数列 A3 , A4 ;(写出一组即可)
(Ⅲ)如果数列 A0 为等差数列: 2015, 2014, L ,1, An 为等差数列: 1, 2,L , 2015 ,求 n 的 最小值.

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)D (7)C

2015.5

(4)A (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分)

4n ? 1 (9)2, 3

(10) 30 ? ,1

(11) a ? 0 , a ? a ? 2

-5-

(12) ( 2, ??) 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a ?

(13)14

(14) (

10 ,1] 10

3 6 3 6 b2 ? c 2 ? a 2 cos A ,所以 a ? ? . 2 2bc 2

2 因为 c ? 5 , b ? 2 6 ,所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

??????6 分 所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?

2 6 . ?3 ? 3 3 6

1 . 3

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,所以 cos B ? 所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a , 因为 B ? (0, ?) ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3
??????12 分

? 所以 A ? (0, ) . 3
所以 ? B ? 2? A . ???13 分

(16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10 . 所以中位数为 8,众数为 9. ??????3 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. ??????4 分

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C82 14 C12 C8 C12 33 48 ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ; ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

??????10 分 (Ⅲ)略. ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情 况进行合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况

-6-

对学生今后在该项目的训练提出合理建议. (17)(共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM .

因为 AB / / CD , AB ? 2CD , 所以 因为 所以 因为 所以

BO AB ? ? 2. DO CD BM BM BO BM ? 2 MP ,所以 ? 2 .所以 ? . PM PM DO OM / / PD . ??????2 分 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , PD / / 平面 MAC .

??????4 分

(Ⅱ)证明:因为 平面 PAD ? 平面 ABCD , AD ? AB ,平面 PAD

平面 ABCD ? AD , ?????? 6 分

AB ? 平面 ABCD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD ,所以 AB ? PA . 同理可证: AD ? PA . 因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD 所以 PA ? 平面 ABCD .

AB ? A ,
??????9 分

(Ⅲ)解:分别以边 AD, AB, AP 所在直线为 x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由

AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 得 A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (2,1, 0) , D(2,0,0) , P(0, 0, 2) ,
则 AC ? (2,1,0) , PB ? (0, 2, ?2) .

uuu r

uur

-7-

由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD .

所以 平面 ABCD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 设

r

??????10 分

uuu r uur uuur uu u r uur PM ? ? (0 ? ? ? 1) ,即 PM ? ? PB .所以 AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . PB u r 设平面 AMC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, 即? r uuur ?u ?m ? AM ? 0, ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0. ? u r 令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? .所以 m ? (? ?1, 2 ? 2?, ?2? ) .
因为 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

2 ,所以 3

| 2? | 9? ? 10? ? 5
2

?

1 2 ,解得 ? ? . 2 3

所以

1 PM 的值为 . 2 PB

??????14 分

(18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? e . 故 f ( x) 的零点为 e .

1 (? ) ? x 2 ? (1 ? ln x) ? 2 x 2 ln x ? 3 f '( x) ? x ? ( x ? 0 ). 2 2 (x ) x3
令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? e 2 . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
3

??????3 分

-8-

所以 f ( x) 的单调递减区间为 (0, e ) ,单调递增区间为 (e , ??) .

3 2

3 2

??????6 分

1 ? ln x ln x (Ⅱ)令 g ( x) ? .则 g '( x) ? x ??????7 分 ? ? f ( x) . 2 x x x2 1 1 因为 f ( ) ? 4 ? 4 ln 2 ? 4 ? 4 ? ? 6 , f (e) ? 0 ,且由(Ⅰ)得, f ( x) 在 (0, e) 2 2
内是减函数, 所以 存在唯 一的 x0 ? ( , e) ,使得 g '( x0 ) ? f ( x0 ) ? 6 . 当 x ? [e, ??) 时, f ( x) ? 0 . 所以 曲线 y ? 由 g '( x0 ) ?

1

? x ? 1? ln x

1 2

ln x 存在以 ( x0 , g ( x0 )) 为切点,斜率为 6 的切线. ??????10 分 x

1 ? ln x0 2 . ? 6 得: ln x0 ? 1 ? 6x0 2 x0

2 ln x0 1 ? 6 x0 1 所以 g ( x0 ) ? ? ? ? 6 x0 . x0 x0 x0

因为 x0 ?

1 , 2

所以

1 ? 2 , ?6 x0 ? ?3 . x0
??????13 分

所以 y0 ? g ( x0 ) ? ?1 .

(19)(共 14 分)

?2a ? 4, ? 解:(Ⅰ)依题意得 ?c ? b, 解得: a ? 2 , b ? c ? 2 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
所以圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,椭圆 C 的方程为
2 2

??????3 分

x2 y 2 ? ? 1 . ??????5 分 4 2

-9-

(Ⅱ)如图所示,设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ), Q( xQ , y0 ) ,则

2 2 ? x0 y0 2 2 ? 1, ? ? ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , 2 即? 2 ?4 2 xQ ? 2 ? y0 . ? x 2 ? y 2 ? 2, ? ? 0 ? Q

??????7 分

又由 AP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 M (0, ). x0 ? 2 x0 ? 2
y0 2 y0 ( x ? 2) 得 N (0, ? ). x0 ? 2 x0 ? 2

由 BP : y ?

所以 QM ? ( ? xQ ,

uuur

2 y0 x y ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2

uuu r 2 y0 xy QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) . x0 ? 2 x0 ? 2
2 所以 QM ? QN ? xQ ?

uuur uuu r

2 2 2 2 x0 y0 (4 ? 2 y0 ) y0 2 ? 2 ? y ? ? 0. 0 2 2 x0 ?4 ?2 y0

所以 QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? . (20)(共 13 分) 解:(Ⅰ) A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 . 分 (Ⅱ) A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1;

??????14 分

??????2

??????4 分 ??????6 分

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .

(Ⅲ) 考虑数列 A : a1 , a2 ,L , an , 满足 ai ? ai ?1 的数对 ai , ai ?1 的个数, 我们称之为 “顺序数” . 则

1, 2,L , 2015 的顺序数为 2014 . 等差数列 A0 :2015, 2004, L ,1的顺序数为 0 , 等差数列 An :
- 10 -

首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对数 列 L , p, a,L , b, c,L , d , q,L ,交换 其相邻两段 a, L , b 和 c, L , d 的位置,变换为数列

L , p, c,L , d , a,L , b, q,L .
显然至多有三个数对位置变化.假设三个数对的元素都改变顺序,使得相应的顺序数增 加,即由 p ? a, b ? c, d ? q 变为 p ? c, d ? a, b ? q . 分别将三个不等式相加得 p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾. 所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2. 其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
最后,说明可以按下列步骤,使得数列 A1008 为 1, 2,L , 2015 . 对数列 A0 : 2015, 2014, L ,1, 第 1 次交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 A1 :

??????10 分

1008,1007, 2015, 2014, L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1;
第 2 次交换 2,3,L ,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 A2 :

1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;
第 3 次交换 3, 4,L ,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 A3 :

1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014,L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1 ;
L L ,以此类推
第 1007 次交换 1007,1008,L , 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 A1007 :

1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ; L, 最 终 再 交 换 1, 2 1, 2,L , 2015 .
所以 n 的最小值为 1008. ??????13 分

, 1 0和 07 1008,1009,L , 2014 位 置 上 的 两 段 , 即 得 A1008 :

- 11 -


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