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2012全国数学高考题-极坐标与参数方程


16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? x ? t ? 1, π 建立极坐标系. 已知射线 ? ? 与曲线 ? (t 为参数) 2 4 ? y ? (t ? 1) 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 .
? x ? t ? 1, π 在直角坐标系下的一般方程为 y ? x( x ? R) ,将参数方程 ? (t 为参 2 4 ? y ? (t ? 1)

解析: ? ?

数)转化为直角坐标系下的一般方程为 y ? (t ? 1) 2 ? ( x ? 1 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 表示一条抛物 线,联立上面两个方程消去 y 有 x ? 5x ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点及其中点 P 的横坐标分别
2

为 x A、x B、x0 , 则有韦达定理 x 0 ? 的中点 P ( , ) .

x A ? xB 5 ? ,又由于点 P 点在直线 y ? x 上, 因此 AB 2 2

5 5 2 2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。 【答案及解析】

(16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一 点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 为______________。 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转 了 的坐标

2 ? 2 弧度,此时点 P 的坐标为 1

) ? 2 ? sin 2, 2 ? y P ? 1 ? sin(2 ? ) ? 1 ? cos 2, . 2 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos 2)

x P ? 2 ? cos(2 ?

?

C D

另解 1 :根据题意可知滚动制圆心为( 2,1 )时的圆的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos? ,且 ? y ? 1 ? sin ?

3? ? x ? 2 ? cos( ? 2) ? 2 ? sin 2 ? 3? 2 ?PCD ? 2, ? ? ?2 , 则 点 P 的 坐 标 为 ? ,即 3? 2 ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?

OP ? (2 ? s i n 2,1 ? c o 2 s) .
(2012 山东) C.(坐标系与参数方程选做题)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 .

(2012 陕西) 10 . 如 图 , 在 极 坐 标 系 中 , 过 点 M (2,0) 的 直 线 l 与 极 轴 的 夹 角 ? ?

?
6



若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ?



【 解 析 】 设 直 线 上 的 任 一 点 为

P ( ? ,? ) , 因 为 ?PAB ?

?
6

, 所 以

?O P ? A

?
6

?? ,

根据正弦定理得

OP OA ? ,即 sin OAP sin OPA

?
sin(? ?

?
6

? ) sin(

2

?
6
1

??)

,即 ? ?

2 sin

?
6 ? 1 sin( ? ? ) 6

sin( ? ? ) 6

?

?



【答案】 ? ?

sin(

?
6

??)
(2012 上海)

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,
2 2 2 2

?
3

)

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1)

(2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76] (lfxlby)
(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0
(2012 新课标) (23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程。 【答案与解析】

【点评】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一 般方程的转换、解方程组的知识,难度较小。本题要注意圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 的圆心为 (0,0) 半径为 r1 ? 2 , 圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的圆心为 ( 2,0) 半径为 r2 ? 2 , 从而写出它们的极坐 标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据 直线的参数形式写出。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲

1} 3 的解集为 {x | ?2剎 ? x ? ? 已知 f ( x) ?| ax ? 1| (a ? R) ,不等式 f ( x) ? ? 。
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 | f ( x ) ? 2 f ( ) |? ?k 恒成立,求 k 的取值范围。 【答案与解析】

x 2

【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨 论思想在解题中的灵活运用,第 (Ⅰ) 问,要真对 a 的取值情况进行讨论,第 (Ⅱ) 问要真对

x f ( x) ? 2 f ( ) 的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出 k 的取值范围。本题属于中 2
档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 (2012 辽宁文) 15.A (不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 解析:由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可,根据不等式的性质得

(x ? a ) ? ( x ? 1) ? 3,? a ? 1 ? 3, ?2 ? a ? 4.
答案: ?2 ? a ? 4. 点评:本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用. 15 C (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 解析:化极坐标为直角坐标得直线

3

1 3 x ? ,圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,由勾股定理可得相交弦长为2 ? = 3. 2 2
答案: 3. 点评:本题主要考察极坐标系与极坐标方程,先化为普通方程后求解. (2012 陕西文)


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