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2014年人教A版选修4-1课件 2.圆内接四边形的性质与判定定理


第二讲 直线与圆的位置关系 一、圆周角定理 二、圆内接四边形的性质与判定定理 A O C E 三、圆的切线的性质及判定定理 四、弦切角的性质 五、与圆有关的比例线段 B 1. 圆内接四边形式有什么性质? 2. 什么样的四边形有外接圆? 3. 判定四点共圆有什么意义? 问题1. 任意四边形都有外接圆吗? 为什么? 图一, 图三的四边形有外接圆, E H 图二的四边形没有外接圆. 图 如图三, ∠A 所对的弧与∠C 所 一 对的弧的关系是: 两段弧之和恰是一个圆. F G ∠B 所对的弧与∠D 所对的弧 图 的关系是: 两段弧之和恰是一个圆. 二 于是得∠A 与∠C 的关系是: ∠A +∠C =180?. ∠B 与∠D 的关系是: ∠B +∠D =180?. 问: 图一也有这些关系吗? 图A 三 B D C 定理1 圆的内接四边形的对角互补. 问题2. 由定理 1, 你能得到圆内 A 接四边形的一个外角与哪个角相等? 如图, ∠A+∠BCD=180?, ∠BCD +∠DCE =180?, ∴∠DCE =∠A. 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内对角. B D C E 问题3. 定理 1, 定理 2 是圆内接四边形的性质. 请问, 定理 1, 定理 2 的逆命题成立吗? 为什么? 即: 在四边形 ABCD 中, ∠B+∠D=180?, 四 边形ABCD 有外接圆吗? A 证明: ∵ABCD 是四边形, ∴A、B、C 三点不共线, 则 A、B、C 三点可确定一个圆. B C (1) 假设点 D 在圆外 (如图), 设 AD 交圆于 E, 连接 CE, 则∠AEC+∠B=180?, ∵∠D+∠B=180?, ∴∠AEC=∠D, 这与 “三角形的外角大于任一不相邻的内角” 矛盾, ∴点 D 在圆外不成立. E D 即: 在四边形 ABCD 中, ∠B+∠D=180?, 四 边形ABCD 有外接圆吗? D E A 证明: ∵ABCD 是四边形, ∴A、B、C 三点不共线, 则 A、B、C 三点可确定一个圆. B C (2) 假设点 D 在圆内 (如图), 延长 AD 交圆于 E, 连接 CE, 则∠AEC+∠B=180?, ∵∠D+∠B=180?, ∴∠AEC=∠D, 这也与 “三角形的外角大于任一不相邻的内角” 矛盾, ∴点 D 在圆内也不成立. 即: 在四边形 ABCD 中, ∠B+∠D=180?, 四 边形ABCD 有外接圆吗? D E A 证明: ∵ABCD 是四边形, ∴A、B、C 三点不共线, 则 A、B、C 三点可确定一个圆. B C (2) 假设点 D 在圆内 (如图), 延长 AD 交圆于 E, 连接 CE, 则∠AEC+∠B=180?, ∵∠D+∠B=180?, 由 (1)(2) 可知 , D点 ∴∠ AEC =∠ , D 只有在圆上, ∴ 当∠B +∠D=180? 时, 四边形 ABCD 有外接圆. 这也与 “三角形的外角大于任一不相邻的内角” 矛盾同理 , , 当∠A+∠C=180? 时也如此. ∴点 D 在圆内也不成立. 圆内接四边形判定定理: 如果一个四边形的对角互补, 那么这个四边形 的四个顶点共圆. 问题4. 如果一个四边形的外角等于它的内对角, 那么这个四边形的四个顶点共圆吗? 为什么? 如果外角等于它的内对角, 那么必然内角与它 的对角之和为180?. 所以四个顶点必然共圆. 推论: 如果四边形的一个外角等于它的内角 的对角, 那么这个四边形的四个顶点共圆. 例1. 如图

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