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2014届高三数学(理)一轮复习课件:第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入(人教A版 广东)


新课标 ·理科数学(广东专用)

第五节
自 主 落 实 · 固 基 础

数系的扩充与复数的引入

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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自 主 落 实 · 固 基 础

1.复数的有关概念
(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 b=0 a,b分别是它的实部和虚部.若_________,则a+bi为实 b≠0 a=0且b≠0 数,若________,则a+bi为虚数,若_____________,则a +bi为纯虚数.

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a=c,b=d (2)复数相等:a+bi=c+di? _______________(a,b, c,d∈R). a=c,b=-d (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭? ______________(a, b,c,d∈R).
菜 单

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自 主 落 实 · 固 基 础

→ (4)复数的模:向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模,

a2+b2 即|z|=|a+bi|=____________. 2.复数的几何意义 Z(a,b) 复数z=a+bi与复平面内的点___________及平面向量
→ OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

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3.复数的运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R

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(2)几何意义:复数加减法可按向 量的平行四边形或三角形法则进行. 如图4-5-1给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法 → → → OZ1+OZ2 的几何意义,即 OZ =__________,
→ → OZ2-OZ1 Z→ 2=_____________. Z 1

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1.已知z1=a+bi,z2 =c+di(a,b,c,d∈R),若z1 > z2,则a>c说法正确吗? 【提示】 正确.因为z1 ,z2 至少有一个为虚数时是不 能比较大小的,故z1 ,z2 均为实数,即z1 =a,z2 =c,所以a

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>c.
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2.若|z-z1|=|z-z2|,则z对应的点与z1 、z2对应的点之 间的关系是什么? 【提示】 中垂线上.
菜 单

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复数z对应点位于复数z1、z2对应点连线段的

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1.(人教A版教材习题改编)在复平面内,复数6+5i,- 2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对 应的复数是( A.4+8i ) B.8+2i C.2+4i D.4+i

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【解析】

∵A(6,5),B(-2,3),
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∴线段AB的中点C(2,4),则点C对应的复数为z=2+ 4i. 【答案】
菜 单

C

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i 2.复数 (i是虚数单位)的实部是( 1+2i 2 2 1 1 A. B.- C. D.- 5 5 5 5

)

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i(1-2i) 2+i 2 1 i 【解析】 = = = + i, 5 5 5 1+2i (1+2i)(1-2i)
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故选A.
【答案】 A
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3.若 a, b∈R, i为 虚数单位 ,且 (a+i)i=b+ i,则

(

)
A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 【解析】 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

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(a+i)i=-1+ai=b+i,故应有a=1,b=

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-1. 【答案】 D
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(

5-6i 4.(2012· 广东高考)设i为虚数单位,则复数 = i ) A.6+5i B.6-5i C.-6+5i D.-6-5i

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5-6i (5-6i)i 【解析】 = =-(5i-6i2)=-(5i+6) i i2 =-6-5i,故选D.
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【答案】

D

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(1)(2012· 陕西高考)设a,b∈R,i是虚数单位,则 b “ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的( ) i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 (2)(2012· 课标全国卷)下面是关于复数z= 的四个 -1+i 命题: p1:|z|=2; p2:z2=2i;
菜 单

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p3:z的共轭复数为1+i;

p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 ) B.p1,p2 D.p3,p4 (1) 分 别 验 证 “ 充 分 性 ” 和 “ 必 要

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【思路点拨】 性”;

(2)把复数z化成m+ni(m,n∈R)的形式,然后根据复数

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的相关概念判断命题是否正确.
菜 单

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b 【尝试解答】 (1)若ab=0,则当a=1,b=0时,a+ i 是实数,不是纯虚数, b b 若a+ 是纯虚数,由a+ =a-bi知a=0,b≠0,∴ab i i =0, b 因此“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数的必要不充分条 i 件.” 2 (2)∵z= =-1-i, -1+i ∴|z|= (-1) 2+(-1) 2= 2,∴p1是假命题;
菜 单

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∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2是真命题;

∵z=-1+i,∴p3是假命题;
∵z的虚部为-1,∴p4是真命题. 其中的真命题共有2个:p2,p4. 【答案】 (1)B (2)C

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1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数

的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形
式,列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出

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复数z,然后利用复数模的定义求解.

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1-i a (1)(2013· 广州模拟)设a是实数,且 + 是实数, 2 1+i 则a=( ) 1 A. B.-1 C.1 D.2 2 (2)(2013· 东莞质检)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i, m∈R,z2=3-2i,则m=1是z1=z2的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

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1-i a(1-i) a 1 1 【解析】 (1) + = +( - i)= 2 1+i (1+i)(1-i) 2 2 a 1 a 1 ( + )-( + )i, 2 2 2 2 a 1 由题意知 + =0,∴a=-1. 2 2 (2)若m=1,则z1=3-2i,从而z1=z2. ?m2+m+1=3, ? 若z1=z2,则? 2 ?m +m-4=-2, ? ∴m=-2或m=1. 从而“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.

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【答案】
菜 单

(1)B

(2)A

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(1)(2012· 安徽高考)复数z满足(z-i)i=2+i,则z=( A.-1-i B.1-i C.-1+3i D.1-2i 1+i 2 011 (2) i为虚数单位,则( ) =( 1-i )

)

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A.-i C.i

B.-1 D.1

【思路点拨】

(1)先求z-i,再求z;

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1+i (2)先化简 ,再根据in的周期性求值. 1-i
菜 单

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【尝试解答】

2+i (2+i)(-i) (1)z-i= = =1- i i·(-i)

2i,z=i+1-2i=1-i. 1+i 2 011 2 011 3 (2)( ) =i =i =-i. 1-i
【答案】 (1)B (2)A

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1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运 算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要 把i的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度 1+i 1-i (1)(1± =± i) 2i;(2) =i;(3) =-i;(4)-b+ai= 1-i 1+i
2

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i(a+bi);(5)i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+ 3=- i(n∈N).

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(2013· 深圳模拟)复数z1=3+4i,z2=1+i,i为虚数单 位,若z2=z·1,则复数z等于( z ) 2 8 6 8 6 A.- + i B.- - i 25 25 25 25 8 6 8 6 C. + i D. - i 25 25 25 25
2 【解析】 由z2=z·1 z

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(1+i)2 2i(3-4i) 2i 得z= = = = z1 3+4i 3+4i (3+4i)(3-4i) z2 2 8+6i 8 6 = = + i. 25 25 25 【答案】 C
菜 单

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如图4-5-2,平行四边形 OABC,顶点O、A、C分别表示0, 3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO对应的复数,BC对应的复数; → (2)CA对应的复数.

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→ → → → 【思路点拨】 (1)AO=-OA,BC =AO,然后根据复 数的几何意义求解; → → → (2)根据复数减法的几何意义及CA=OA-OC求解.

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【尝试解答】

→ → (1)AO=-OA,

→ ∴AO对应的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC对应的复数为-3-2i. → → → (2)CA=OA-OC, → ∴CA对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

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→ 1.复数z=a+bi(a,b∈R)与点Z(a,b)及向量 OZ 一一 对应,相等向量表示同一复数. 2.复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三 角形法则进行.

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(2013· 韶关模拟)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3 → -4i,它们在复平面上对应的点分别为A、B、C,若 OC = → → λ OA+μOB,(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.

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【解析】 由题意知3-4i=λ(-1+2i)+μ(1-i), ∴3-4i=(μ-λ)+(2λ-μ)i, ?μ-λ=3, ?λ=-1, ? ? 由复数相等知? 解得? ?2λ-μ=-4, ?μ=2, ? ? ∴λ+μ=-1+2=1.
【答案】
菜 单

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1

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任意两个复数均为实数的充要条件是这两个复数能比较

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大小.

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应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互转

化.

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复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分
母同乘以分母的共轭复数.

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从近两年的高考试题来看,复数的有关概念、复数的几

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何意义、复数的运算(特别是除法运算)是高考命题的重点,
多以客观题形式呈现,属容易题,主要考查函数与方程、转
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化与化归的数学思想方法的应用.
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思想方法之十
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转化思想在复数中的应用

3+bi (2012· 湖北高考)若 =a+bi(a,b为实数,i为 1-i 虚数单位),则a+b=________.

【解析】

3+bi (3+bi)(1+i) 1 = = [(3-b)+(3+ 2 2 1-i

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3-b 3+b b)i]= + i. 2 2 ? ?a=3-b, ?a=0, ? ? 2 ∴? 解得? ∴a+b=3. ?b=3. ?3+b ? =b, ? 2 ? 【答案】 3
菜 单

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易错提示:(1)对i的幂化简错误. (2)不能用复数相等的定义转化为关于a,b的方程组求 解. 防 范 措 施 : (1)掌 握 复 数 的 有 关 概 念 是 正 确 解 答 的 基

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础,注意i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N+). (2)应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互

转化,应用复数相等的定义必须将复数化为标准形式.

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1.(2012·湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),
则|z|=________.
【解析】 法一 ∵z=(3+i)2,∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2 =10. 法二 ∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i, ∴|z|= 82+62=10.

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【答案】 10

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2.(2012·安徽高考)复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z= ( ) A.-2-2i B.-2+2i

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C.2-2i
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D.2+2i

5(2+i) 5 【解析】 因为z-i= = = 2-i (2-i)(2+i) 5(2+i) =2+i,所以z=2+i+i=2+2i. 5

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【答案】
菜 单

D

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课后作业(三十)

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