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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.5.1等比数列的前n项和双基限时练 新人教A版必修5


【名师一号】 (学习方略)2015-2016 学年高中数学 2.5.1 等比 数列的前 n 项和双基限时练 新人教 A 版必修 5
1.数列{2 }的前 n 项和 Sn 等于( A.2 -1 C.2
n+1 n n

) B.2 -2 D.2
n+1 n

-1
n

-2

2?2 -1? n+1 解析 Sn= =2 -2. 2-1 答案 D 2.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 C.35 解析 a1+a2+a3+a4+a5=1. B.33 D.37 )

a6+a7+a8+a9+a10
=q (a1+a2+a3+a4+a5) =q =2 =32. ∴S10=1+32 =33. 答案 B 3.等比数列 {an}的各项都是正数,若 a1=81 ,a5=16,则它的前 5 项和是( A.179 C.248 解析 ∵a5=a1q ,∴16=81·q . 2 又 an>0,∴q= . 3
4 4 5 5 5

)

B.211 D.275

? ?2?5? 81×?1-? ? ? a1?1-q ? ? ?3? ? ∴S5= = =211. 1-q 2 1- 3
5

答案 B 4.在等比数列{an}中,已知 a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值为( A.4 C.6 解析 由 an=a1q ∴q
n-1
5

)

B.5 D.7
n-1

,得 96=3 q

n-1

.

=32=2 .取 n=6,q=2,
6

3?2 -1? 这时 S6= =189.适合题意. 2-1
1

答案 C 5.等比数列{an}中,Tn 表示前 n 项的积,若 T5=1,则( A.a1=1 C.a4=1 解析 由等 比数列的性质,知 B.a3=1 D.a5=1 )

T5=a1·a2·a3·a4·a5=1,∴a3=1.
答案 B 1 6. 已知公比为 q(q≠1)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则数列{ }的前 n 项和为(

an

)

qn A. Sn
C. 1

B. D.

Sn qn Sn aq
2 n-1 1

Snq

n-1

1 1 解析 数列{ }仍为等比数列,且公比为 ,

an

q

?1? ? ?1-?q?n? ? ? ? a1?qn-1? a1?qn-1? Sn 所以前 n 项和 Sn′= = = 2 n-1 = 2 n-1. 1 1 a q ·? q - 1 ? a q 1 1 ? n? 1- a2 1q ?1- ? q ? q?
a1?
答案 D 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 log2(Sn+2)=n+1,则数列{an}的通项公式 an= ________. 解析 由 log2(Sn+2)=n+1,得

1?

Sn+2=2n+1,Sn=2n+1-2.
当 n=1 时,S1=a1=2 -2=2. 当 n≥2 时,an =Sn-Sn-1=2
n n+1
2

-2 =2 .

n

n

当 n=1 时也成立,故 an=2 . 答案 2
n

8.在等比数列{an}中,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q=________. 解析 a4-a3=2(S3-S2)=2a3,∴a4=3a3. ∴q= =3. 答案 3 9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N+),有下列三个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 an=an+1; ②若 Sn=a (a 为非零常数),则{an}是等比数列;
n

a4 a3

2

③若 Sn=1-(-1) ,则{an}是等比数列. 其中真命题的序号是________. 解析 易知①是真命题, 由等比数列前 n 项和 Sn= 正确,③正确. 答案 ①③ 10.已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列,求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn. 解 (1)由 x1=3,得 2p+q=3,x4=2 p+4q,x5=2 p+5q 且 x1+x5=2x4,得
5 5 4 5

n

a1?1-qn? a1 a1 n = - ·q 知②不 1-q 1-q 1-q

n

*

3+2 p+5q=2 p+8q. 解得 p=1,q=1. (2)由(1)知 xn=2 +n , ∴Sn=x1+x2+…+xn =(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n) =2
n+1
2

n

n

-2+

n?n+1?
2

.

3 17 11.设数列{an}满足关系:an= an-1+5(n≥2),a1=- ,令 bn=an+10,求数列{bn} 2 2 的前 n 项和 Sn. 17 3 解 由 a1=- ,an = an-1+5,bn=an+10,知 2 2

bn=an+10= an-1+15
3 3 = (an-1+10)= bn-1. 2 2 17 3 又 b1=a1+10=10- = . 2 2 3 3 ∴数列{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列,故 2 2 3? ?3? ? ?1-?2?n? 2? ? ? ? ??3?n ? ?3?n Sn= =3?? ? -1?=3? ? -3. 3 ??2? ? ?2? 1- 2 12.某单位从市场上购进一辆新型轿车,购价为 36 万元,该单位使用轿车时,一年需 养路费、保险费、汽油费、年检费等约 6 万元,同时该车的年折旧率为 10%(即这辆车每年

3 2

3

减少它的价值的 10%,当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用),试问:使用多少年 后,该单位花费在该车上的费用就达 36 万元,并说明理由. 解 用 an 表示该单位第 n 年花费在轿车上的费用,则有

a1=6+36×0.1, a2=6+(36×0.9)×0.1, a3=6+(36×0.92)×0.1,…,
类推可得 an=6+(36×0.9
n-1

)×0.1.

Sn=a1+a2+…+an
=6n+3 6×0.1×[1+0.9+0.9 +…+0.9 1-0.9 =6n+3.6× 1-0.9
n n
2

n-1

]

=6n+36(1-0.9 ). 令 Sn=36,得 n=6×0.9 0.9 = . 6 注意到 1<n<6,取值验证. 4 2 4 当 n=4 时,0.9 =0.6561, = ≈0.6667,所以 n=4. 6 3 故使用 4 年后,花费在轿车上的费用就已达到 36 万元.
n, n

n

4



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