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福建省福州市第八中学2015届高三上学期第三次质检——数学(理)


福建省福州市第八中学 2015 届高三上学期第三次质检

数学(理)试题
1.全集 U ? {0,1, 2,3} , CU M ? {2} ,则集合 M ? A.{1,3} B.{0,1,3} C.{0,3} D.{2}

2. 若角 ? 的终边在第二象限且经过点 P(?1, 3) ,则 sin ? 等于 A.

3 2

B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

3.已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 0 , a2 ? ? A. ?6(1 ? 3?10 ) B. 3(1 ? 3?10 )

4 ,则 {an } 的前 10 项和等于 3 1 (1 ? 3?10 ) C. D. 3(1 ? 3?10 ) 9

4.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 A.1 B. 2

? ,则 a ? b 等于 3

C. 3

D.2

5.下列说法正确的是

“f (0) ? 0” A. 是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件
B.“向量 a, b, c ,若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ”是真命题
2 “?x ? R,x 2 ? 1 ? 0” C. 的否定是 “?x0 ? R, x0 ? ? 0”

D.“若 a ?

?
6

,则 sin ? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 a ? ,则 sin ? ? ” 2 6 2

2 2 2 6.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 2c ? 2a ? 2b ? ab ,则 ?ABC

是 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

1

,f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直, 8.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax 的图像在点 A(1 若数列

? 1 ? ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2014 的值为 ? f ( n) ? 2015 2014 2013 2012 A. B. C. D. 2016 2015 2014 2013 ? ? 1 9.已知函数 y ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) 与直线 y ? 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依 2 2 2 次记为 M 1 , M 2 , M 3 , ,则 M 1M 13 等于
A. 6? B. 7? C. 12? D.13? 10.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 a, b ? R 满足

f (2n ) f (2n ) (n ? N * ), bn ? (n ? N * ) n 2n 考察下列结论:① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 {an } 为等比数列;④数列 {bn } 为 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a), f (2) ? 2, an ?
等差数列。其中正确的结论是 A.①②③ B.②③④ C.①②④ 共 100 分) D.①③④ 第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.计算:

?

2

1

1 dx = x

.

12.已知向量 a ? (2, 4) , b ? (1,1) ,若向量 b ? (? a ? b) ,则实数 ? 的值为___. 13. 已知 cos(? ? ? ) ?

3 5 ? ? i n ? ? _________ . 0, ) ,? ? (? ,0) , ,sin ? ? ? , 且? ? ( 则s 5 13 2 2

14. 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? ?11 , 于 .

a4 ? a6 ? ?6 , 当 Sn 取 最 小 值 时 ,n



15. 直线 l 与函数 y ? sin x( x ??0, ? ?) 的图像相切于点 A ,且 l // OP , O 为坐标原点, P 为图 像的极大值点, l 与 x 轴交于点 B ,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA BC =__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 等 差 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 3 , a1 ? a2 ?

? a10 ? 120 , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且
2

S n ? 2bn ? 1? n ? N * ? ,求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式.

17.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1, 2cos2 ? ) 在角 ? 的终边上, 点 Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 . (Ⅰ)求 cos 2? ; (Ⅱ)求 P, Q 的坐标并求 cos(? ? ? ) 的值.

18. (本小题满分 13 分) 若向量 a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x,0), 其中 ω ? 0 ,记函数 f ( x) ? (a ? b) ? b ?

函数 f ( x) 的图像与直线 y ? m ( m 为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差为 ? 的等差数列. (Ⅰ)求 f ( x) 的表达式及 m 的值; (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

1 ,若 2

? ? 7? ) 时,y ? g ( x) , 得到 y ? g ( x) 的图像, 当 x?( , 12 2 4

与 y ? cos ? 图象的交点横坐标成等比数列,求钝角 ? 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的导函数是 f ?( x) ? 3x2 ? 2mx ? 9 , f ( x) 在 x ? 3 处取得极值,且 f (0) ? 0 ,
3

(Ⅰ)求 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)记 f ( x) 在闭区间 [0, t ] 上的最大值为 F (t ) ,若对任意的 t (0 ? t ? 4) 总有

F (t ) ? ? t 成立,求 ? 的取值范围;
(Ⅲ)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点.当 x ? (0,1] 时,求直线 OM 斜率的最小值,据 此判断 f ( x) 与 4 sin x 的大小关系,并说明理由. 21. 本题(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果 多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并 将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
2? ?1 ?. ? ?1 4 ?

(Ⅰ) 求 A 的逆矩阵 A ?1 ; (Ⅱ)求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和对应的一个特征向量 ?1 、 ? 2 .

(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) . ? ? ? y ? sin?
(Ⅰ)已知在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数

x 的取值范围.

稿



4

福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第三次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. BABCD DCBAD 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. ln 2 12. ?

1 3

13.

33 65

14. 6

15.

?2 ?4
4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

1 8. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x,0),

5

? f ( x ) ? ( a ? b) ? b ?

1 1 ? ? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ? ? sin(2? x ? ) ……4 分 2 2 6

由题意可知其周期为 ? ,故 ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)将 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ,得到 g ( x) ? sin 2 x ,……9 分 12 6 3? ? x1 , ? ? x1 , 有 由其对称性,可设交点横坐标分别为 x1 , 2 3? 9 ( ? x1 ) 2 ? x1 (? ? x1 ), 则x1 ? ? ………………11 分 2 16 9? ? 5? 5? cos ? ? sin ? ? sin ? cos 则? ? ……13 分 8 8 8 8
) 的图像向左平移

?

6

) , m ? ?1 .…………7 分

19.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 内接于圆, 所以∠ABC+∠ADC=180° ,连接 AC,由余弦定理: 2 2 2 AC =4 +6 -2× 4× 6× cos∠ABC=42+22-2× 2× 4cos∠ADC. 1 所以 cos∠ABC= ,∵∠ABC∈(0,π),故∠ABC=60° . 2 1 1 S 四边形 ABCD= × 4× 6× sin60° + × 2× 4× sin120° 2 2 =8 3(万平方米).…………………………………………3 分 在△ABC 中,由余弦定理:AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC

2 21 ∴R= (万米)……………………7 分 3 1 (Ⅱ)∵S 四边形 APCD=S△ADC+S△APC,又 S△ADC= AD· CD· sin120° =2 3, 2 1 3 设 AP=x,CP=y.则 S△APC= xy· sin60° = xy. ……………………………9 分 2 4 又由余弦定理 AC2=x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy=28. 2 2 ∴x +y -xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当 x=y 时取等号……………………11 分 3 3 ∴S 四边形 APCD=2 3+ xy≤2 3+ × 28=9 3, 4 4 ∴最大面积为 9 3万平方米.………………………………13 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (I)依题意, f ?(3) ? 0 ,解得 m ? ?6 , ……………………1 分 由已知可设 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? p , 因为 f (0) ? 0 ,所以 p ? 0 , 则 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ,导函数 f ?( x) ? 3x2 ? 12 x ? 9 . 列表:
6

…………………………3 分

x
f ?( x)

(??,1)

1 0 极大值 4

(1,3) 递减

3 0 极小值 0

(3,+∞) + 递增

+ 递增

f ( x)

由上表可知 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 4 , f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值为 f (3) ? 0 . ………………………………5 分 (Ⅱ)①当 0 ? t ? 1 时,由(I)知 f ( x) 在 [0, t ] 上递增, 所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? 9t ,
3 2

…………6 分

由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 t ? 6t ? 9t ? ?t , 则 ? ? t 2 ? 6t ? 9 ? (t ? 3)2 ,因为 0 ? t ? 1 ,所以 ?3 ? t ? 3 ? ?2 ,则 4 ? (t ? 3)2 ? 9 , 因此 ? 的取值范围是 ? ? 4 . ………………………………8 分 ②当 1 ? t ? 4 时,因为 f (1) ? f (4) ? 4 ,所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (1) ? 4 , 由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 4 ? ? t , ∴ ? ? 因为 1 ? t ? 4 ,所以 1 ?

4 , t

4 ? 4 ,因此 ? 的取值范围是 ? ? 1 ,………………9 分 t 综上①②可知, ? 的取值范围是 ? ? 1 . ……………10 分

2 1. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解:(Ⅰ)

det A ?

1 2 ?6?0, ?1 4

…………1 分

?2 ?3 ?1 ∴A ?? ?1 ?6 ?

1? ? ? 3 ?. 1 ? ? 6 ?
? ?1
1
?2

…………2 分

(Ⅱ) 矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ? 令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,

??4

? ? 2 ? 5? ? 6 , ………………3 分
…………5 分 …………7 分

?2? ?1? 当 ?1 ? 2 时,得 ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? . ?1 ? ?1? (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

) 化为直角坐标得 P(0, 4) , 2 P( 0 , 4满足方程 ) x ? y ? 4 ? 0 ,? 点 P 在直线 l 上.……………2 分
所以点

?

(II)解法一、因为点 Q 是曲线 C 上的点,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,

Q 到直线 l 的距离
7

d?

|

3 co ?s ? s ?i ? n 2

| 2 c o? s( ? ?) 4 | 4| 6 ? (? ? R) ……………5 分 2
……………7 分

?

所以当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值 2.

x2 ? y 2 ? 1,…………1 分 3 平移直线 l 到 l ? 使之与曲线 C 相切,设 l ? : x ? y ? m ? 0 , x ? y ? m ?0 由? 得: x2 ? 3( x ? m)2 ? 3 ,即: 4 x2 ? 6mx ? 3m2 ? 3 ? 0 …2 分 ? 2
解法二、曲线 C 的普通方程为:
?x 2 ? ? y ?1 ?3

由 ? ? 36m2 ? 48(m2 ?1) ? 48 ?12m2 ? 0 ,解得: m ? 2 ,………5 分 曲线 C 上的点 Q 到 l 距离的最小值 d ? | 4 ? 2 | ? 2 .…………7 分
2

(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)

(a2 ? b2 )(12 ? 12 ) ? (a ? b)2 , 3 ? a b a ? 时取等号) ?a ? b ? 3, (当且仅当 ? ,即 ? ? 2 1 1 ? 3
又∵ a ? b ? m 恒成立,∴ m ? 3 . 故 m 的最小值为 3. …………………………4 分 (II)要使 2 | x ? 1| ? | x |? a ? b 恒成立,须且只须 2 | x ? 1| ? | x |? 3 .
?b ? ? ? 2

?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 或? 或? ??2 x ? 2 ? x ? 3 ??2 x ? 2 ? x ? 3 ?2 x ? 2 ? x ? 3 1 5 ∴ x ? ? 或 x ? . …………………7 分 3 3
∴?

8


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