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四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学文科试题及答案详解


保 密 ★ 启 用 前 【 考 试 时 间 : 2012 年 11 月 1 日 下 午 3:00?5:00】

绵阳市高中 2013 级第一次诊断性考试 数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷

3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2,3, 4},B={0, 1, 2},则 A. {0} C. {1,2} 2. 命题 P:“ A. C. 3. 已知数列 A. B. B. D. 为等差数列,且 C. D. 的边 AB,BC, CA 的中点,则 ,则 的值为 ” ,则 是

等于
B. {0, 1, 2, 3, 4} D.

4. 如图,D,E, F 分别是 A.

B. C. D. 5. 己知 ,则 =

A. O
6. 函数. A. (1,0) 7. 设 A. c<a<b

B. -1

C.

D.

的零点所在的区间为

B. (1,2)
, ,则

C. (0, 1)

D. (2, 3)

B. c<b<a

C. b<a<c

D. a<b<c

8. 设函数一 式为 A. B. C. D. 9. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是 .若 范围是 是

的部分圈象如下图所示,则/(X)的表达

上的增函数,且 f(1)=2,f(-2)=-4,设 的充分不必要条件, 则实数 t 的取值

A.

B. t>-1

C.

D. />3

10. 某化肥厂生产甲、乙两种化肥.已知生产每吨甲种化肥要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙种化肥要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲种产品可获得利润 5 千元、 每吨乙种产品可获得利润 3 千元。该化肥厂在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该化肥厂可获得最大利润是

A. 1.2 万元

B. 2.0 万元
上满足

C. 2.5 万元
,则满足

D. 2.7 万元
的 X 的取

11. 已知偶函数 f(X)在区间 值范 围是

A. (1, 3) C. (-3,3)
12. 已知定义在 R 上的函数 f(X)满足. 时, ,则 等于

B. D. (-3, 1)
,且当

A.

B.

C.

D.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 已知向量 a=(2, 1),b=(x,-2),若 a//b,则 X=_______. 14. 已知偶函数 C )在(0, )上是增函数,则______ 都有, 恒成立,则实数,的收值范

15. 已知{an}是递增数列,且对任意的 围是______.

16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 M.给出下列命题: ①所有奇数都属于 M. ②若偶数 2k 属于 M,则 ③若 ,则 . . 其中

④把所有不属于 M 的正整数从小到大依次排成一个数列,则它的前 N 项和 正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本题满分 1 2 分) 设向量 (I )求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; (II)当 ]时,求函数 的值域. . , 函数 .

18. (本题满分 12 分)已知数列{an}是等比数列且 (I )求数列{bn}的通项公式; (II )若数列{an}满足 小值,并求出该最小值. 19. (本题满分 12 分)在 . (I )求角 C 的值;

,且数列{bn}的前“项和为 Tn,问当 n 为何值时,Tn 取最

中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c 若

(II)若

的面积为

,求 a,b 的值. 的解

20. (本题满分 12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象过点(1, -4),且不等式 集是 (0, 5). (I )求函数 f(x)的解析式; (II)设 ,若函数

在[-4,-2]上单调递增,在[-2,

0]上单调递减,求 y=h(x)在[-3, 1]上的最大值和最小值. 21. (本题满分 12 分)设数列{an}的前 N 项和为 SN,且 t>0, 且 ). (其中 T 为常数,

(I )求证:数列{an}为等比数列; (II) 若数列{an}的公比 q=f(t),数列{bn}满足 公式; (III) 设 ,对(I I ) 中的数列协,},在数列{an}的任意相邻两项 与 之间插 入 , 求数列 的 通项

k个

后,得到一个新的数列:



,记此数列为{cn}.求数列{cn}的前 50 项之和. 22. ( 本题满分 14 分)已知函数. (I )求实数 A 的值及函数 f(x)的单调区间; (II) 设 (III) 设 ,对 ,证明: 恒成立,求实数 k 的取值范围; . 在 x=2 处的切线斜率为 .

绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CCBAD BAADD AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13.-4 14.2 15.k>-3 16.①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)f (x)=a·b=(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x =2sin(2x+ ∴ 最小正周期 T ? 令 2x+
?
6

?
6

),???????????????6 分

2? 2

?? .

= k? ?

?
2

,k∈Z,解得 x=
k? 2 ?

k? 2

?

?
6

,k∈Z,

即 f (x)的对称轴方程为 x= (Ⅱ)当 x∈[0, ∴ 当 2x+ 当 2x+
?
6

?
6

,k∈Z.?????????????8 分
?
2

?
2

]时,即 0≤x≤
?
6

,可得

?
6

≤2x+
?
6

?
6



7? 6



= =

?
2

,即 x=

时,f (x)取得最大值 f (

)=2; )=-1.

?
6

7? 6

,即 x=

?
2

时,f (x)取得最小值 f (

?
2

即 f (x) 的值域为[-1,2].????????????????????12 分 18.解: (Ⅰ)设公比为 q,由已知 a6=2,a3= 两式相除得 q =8,解得 q=2,a1= ∴ an=
1 16 ?2
n ?1

1 4

,得 a1 q 5 ? 2, a1 q 2 ?

1 4



3

1 16



?2

n?5

.??????????????????????6 分

(Ⅱ)bn=3log2an= 3 log 2 2 n ? 5 =3n-15, ∴ Tn ?
n ? b1 ? b n ? 2 ? n ? ? 12 ? 3 n ? 15 ? 2
3? 9? 243 ? n ? n ? ?n ? ? ? 2? 2? 8 2 2

3

2

27

2



当 n=4 或 5 时,Tn 取得最小值,最小值为-30.???????????12 分 19.解: (Ⅰ)∵ asinA=(a-b)sinB+csinC, 由正弦定理
a sin A ? b sin B
2

?

c sin C
2

,得 a 2 ? ( a ? b ) b ? c 2 ,

即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab .① 由余弦定理得 cos C ?
a ?b ?c 2 ab
2

?

1 2



结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



???????????????????6 分
1

(Ⅱ)∵ △ABC 的面积为 3 ,即 ab sin C ? 3 ,化简得 ab=4,①
2

又 c=2,由(Ⅰ)知, a 2 ? b 2 ? 4 ? ab , ∴ ( a ? b ) 2 ? 3 ab ? 4 ? 16 ,得 a+b=4,② 由①②得 a=b=2. ???????????????????????12 分 20.解: (Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5,

于是设二次函数 f (x)=ax(x-5), 代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ????????????????????????4 分 3 3 2 (Ⅱ)h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x -(4k-10)x+5=x +2x -4kx+5, 于是 h ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h ?( ? 2) ? 3 ? ( ? 2) 2 ? 4 ? ( ? 2) ? 4 k ? 0 ,解得 k=1. ??????????6 分 ∴ h(x)=x +2x -4x+5,进而得 h ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 . 令 h ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x1 ? ? 2, x 2 ?
3 2 2 3 2 3
3 2



由下表: x
h ?( x )

(-3,-2) + ↗
3 2

-2 0 极大

(-2, ↘

2 3

)

2 3

(

,1) + ↗

0 极小
3 2

h(x)

可知:h(-2)=(-2) +2×(-2) -4×(-2)+5=13,h(1)=1 +2×1 -4×1+5=4, h(-3)=(-3) +2×(-3) -4×(-3)+5=8,h( ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为
95 27
3 2

2 3

)=(

2 3

) +2×(

3

2 3

) -4×

2

2 3

+5=

95 27



.??????????????12 分

21.解: (Ⅰ)由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得 a1=1, 由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1, 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan, ∴
a n ?1 an ? 2t t ?1

(常数) .
2t t ?1

∴ 数列{an}是以 1 为首项, (Ⅱ)∵ q= f (t)= ∴
1 bn ?1 ? bn ? 1 bn ? 1 bn

为公比的等比数列.?????????4 分
1 2

2t t ?1

,b1=a1=1,bn+1=

f (bn)=

bn bn ? 1



?1,

∴ 数列 ? ∴
1 bn

? 1 ? ? ? bn ?

是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,

? n

.???????????????????????????8 分
1 3

(III)当 t=

时,由(I)知 an= ( ) n ? 1 ,.
2 1 2

1

于是数列{cn}为:1,-1,

,2,2, ( ) 2 ,-3,-3,-3, ( ) 3 ,?
2
k

1

1

2

设数列{an}的第 k 项是数列{cn}的第 mk 项,即 ak= c m , 当 k≥2 时,mk=k+[1+2+3+?+(k-1)]=
k ( k ? 1) 2





m9=

9 ? 10 2

? 45 .

设 Sn 表示数列{cn}的前 n 项和, 则 S45=[1+
1 2 1 1

+ ( ) 2 +?+ ( ) 8 ]+[-1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×8×8].
2 1 2

1

1

2

3

8

1 9 1? ( ) 1 2 ? 2? 8 , 显然 1+ + ( ) +?+ ( ) = 1 2 2 2 2 1? 2
2 8

∵ -1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×8×8 2 2 2 2 2 2 2 =-1+2 -3 +4 -5 +6 -7 +8 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36. ∴ S45= 2 ?
1 2
1 2
8

2

3

8

8

+36=38-

1 2
8



∴ S50=S45+(c46+c47+c48+c49+c50) =38= ?7 +5×(-1) ×9 .
1 256
9

1 256

即数列{cn}的前 50 项之和为 ? 7 22.解: (Ⅰ)由已知: f ?( x ) ? ∴由题知 f ?(2) ? 于是 f ?( x ) ?
1 x 1 2 ?1 ? 1? x x ?a?? 1 2 1 x

.???????????????12 分

?a,

,解得 a=1.



当 x∈(0,1)时, f ?( x ) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x ) ? 0 ,f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ??5 分 (Ⅱ) ? x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即 lnx-(k+1)x≤0 恒成立, 设 h ( x ) ? ln x ? ( k ? 1) x ,有 h ?( x ) ?
1 x ? ( k ? 1) ? 1 ? ( k ? 1) x x



①当 k+1≤0,即 k≤-1 时, h ?( x ) ? 0 , 此时 h (1) ? ln 1 ? ( k ? 1) ≥0 与 h ( x ) ≤0 矛盾. ②当 k+1>0,即 k>-1 时,令 h ? ( x ) =0,解得 x ?
1 ? ? x ? ? 0, ? , h ? ( x ) >0,h(x)为增函数, k ?1? ?

1 k ?1



? 1 ? x?? ,? ? ? k ?1 ? ?

, h ? ( x ) <0,h(x)为减函数,
1 ) ? ln 1 k ?1 ? 1 ≤0,

∴ h ( x ) m ax ? h (

k ?1

即 ln ? k ? 1 ? ≥-1,解得 k≥ ? 1 .
e

1

综合 k>-1,知 k≥ ? 1 .
e

1

∴ 综上所述,k 的取值范围为 ? ? 1,? ? ? .????????????10 分
?e ?

?1

?

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f (x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f (x)≤f (1)=0, ∴ lnx≤x-1. 当 n=1 时,b1=ln(1+1)=ln2, 当 n≥2 时,有 ln(n+1)<n, ∵ bn ?
ln ? n ? 1 ? n
3

?

n n
3

?

1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n



∴ b1 ? b 2 ? ? ? b n ? b1 ? ?

?

1

? 2 ?1

?

1? ? 1 1? 1? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ??? 2 ? ? 3 ?1 3 ? n ?1 n ? ?

? ln 2 ? (1 ?

1 n

)

<1+ln2.????????????????????14 分


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