3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新方案】2012高考数学 第三章第七节 正弦定理和余弦定理课件 新人教A版


1.(2010· 湖北高考)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB = 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 ( )

a b bsinA 3 解析: 依题意得 0° <B<60° , = , sinB= a = , cosB sinA sinB 3 6 = 1-sin2B= . 3

答案: D

2.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的 大小为 2π A. 3 3π C. 4 B. 5π 6 π 3 ( )

D.

AB2+AC2-BC2 52+32-72 解析:由余弦定理得 cos∠BAC= = 2AB· AC 2×5×3 1 2π =- ,且∠BAC∈(0,π),因此∠BAC= . 2 3

答案: A

3.在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sinAsinC,则角 B 的大小为 A.150° C.120° B.30° D.60° ( )

解析:由正弦定理可得 b2-c2-a2= 3ac,由余弦定理可得 a2+c2-b2 3 cosB= =- .故角 B 为 150° . 2ac 2

答案: A

1 4. △ABC 中, a=3 2, 若 cosC= , △ABC=4 3, b=________. S 则 3 1 2 2 解析:∵cosC= ,0<C<π,∴sinC= 3 3

1 ∴S△ABC= absinC=4 3 2 8 3 ∴b= = asinC 8 3 =2 3. 2 2 3 2× 3

答案: 2 3

5.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形 状是________. 解析:法一:因为在△ABC中,A+B+C=π, 即C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B). 由2sinAcosB=sinC,

得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,
即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0. 又因为-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B. 所以△ABC是等腰三角形.

法二:利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC 可化为 a2+c2-b2 2a· =c,即 a2+c2-b2=c2,即 a2-b2=0, 2ac 即 a2=b2,故 a=b.所以△ABC 是等腰三角形.

答案:等腰三角形

1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

a b c = = = 2R 2 a2+c2-2accosB 内容 sinA sinB sinC b= ;
c2= a2+b2-2abcosC .

a2= b2+c2-2bccosA ;

定 理

正弦定理 ①a= 2RsinA ,b= 2RsinB ,

余弦定理

c= 2RsinC ; 变 ②sinA= a ,sinB= b ,sinC 2R 2R c 形 = ; 2R 形 (其中R是△ABC外接圆半径) 式 ③a∶b∶c= sinA∶sinB∶sinC

b2+c2-a2 cosA= ; 2bc a2+c2-b2 cosB= ; 2ac

a2+b2-c2 cosC= . 2ab ④asinB=bsinA,bsinC=csinB,

asinC=csinA.

定理

正弦定理 ①已知两角和任一边,

余弦定理 ①已知三边,求 各角; ②已知两边和它 们的夹角,求第

解决解斜三 角形的问题

求另一角和其他两条
边.②已知两边和其 中一边的对角,求另 一边和其他两角.

三边和其他两个
角.

2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况
A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a=bsinA bsinA<a<b 解的 一解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

两解

个数

考点一

利用正、余弦定理解三角形

(2010· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 1 别为 a,b,c,已知 cos2C=- . 4 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

[自主解答] 10 = . 4

1 (1)因为 cos2C=1-2sin2C=- , 0<C<π, 及 所以 sinC 4

(2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4.

a c = ,得 sinA sinC

1 由 cos2C=2cos C-1=- ,及 0<C<π 得 4 6 cosC=± . 4
2

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6b-12=0, 解得 b= 6或 2 6,
?b= 6, ? 所以? ?c=4. ? ?b=2 ? 或? ?c=4. ?

6,

3 解:由cos?A-C?+cosB= 及B=π- 2 3 若将例 1 中“cos2C= ?A+C?得cos?A-C?-cos?A+C?= , 1 2 - ”改为“cos(A-C) 4 cosAcosC+sinAsinC-?cosAcosC 3 +cosB= ,b2=ac”, 3 3 2 -sinAsinC?= ,sinAsinC= . 2 4 求 B. 又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,

3 3 3 故 sin2B= ,sinB= 或 sinB=- (舍去), 4 2 2 π 2π 于是 B= 或 B= . 3 3 π 又由 b =ac 知 b≤a 或 b≤c,所以 B= . 3
2

在△ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,试根据以 下已知条件解三角形. (1)a=2 3,b= 6,A=45° ; (2)a=2,b=2 2,c= 6+ 2; (3)a=2 2,b=2 3,C=15° .

解:(1)法一:在△ABC 中,由正弦定理得 2 6× 2 1 bsinA sinB= a = = . 2 2 3 ∵a>b,∴A>B,B 必为锐角, ∴B=30° ,C=105° . ∵sinC=sin105° =sin(60° +45° ) =sin60° cos45° +cos60° sin45° 6+ 2 = , 4 6+ 2 2 3× 4 asinC ∴c= = =3+ 3. sinA 2 2

法二:在△ABC 中,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 得 12=6+c2-2c× 6× 即 c2-2 3c-6=0, 解得 c= 3± 3(舍负),即 c=3+ 3. ∵c>a>b,∴C>A>B, 由正弦定理得 b 6 2 1 sinB=asinA= × = , 2 3 2 2 ∴B=30° ,C=180° -A-B=105° . 2 , 2

(2)由余弦定理的推论得 b2+c2-a2 cosA= 2bc ?2 2?2+? 6+ 2?2-22 3 = = . 2 2×2 2×? 6+ 2? 又∵0° <A<60° ,∴A=30° . a2+c2-b2 22+? 6+ 2?2-?2 2?2 2 同理,cosB= = = , 2ac 2 2×2×? 6+ 2? ∴B=45° ,C=180° -A-B=180° -30° -45° =105° .

(3)法一:cos15° =cos(45° -30° ) =cos45° cos30° +sin45° sin30° 6+ 2 = . 4 ∵c2=a2+b2-2abcosC 6+ 2 =(2 2) +(2 3) -2×2 2×2 3× 4
2 2

=8-4 3=( 6- 2)2,

∴c= 6- 2. 由正弦定理得 6- 2 2 2× 4 asinC 2 sinA= c = = . 2 6- 2 ∵a<b,∴A<B. 又∵0° <A<180° ,∴A 必为锐角. ∴A=45° ,从而得 B=120° .

法二:求 c(同法一), b2+c2-a2 由余弦定理的推论得 cosA= 2bc ?2 3?2+? 6- 2?2-?2 2?2 2 = = , 2 2×2 3×? 6- 2? 又∵0° <A<180° , ∴A=45° ,从而 B=120° .

考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 (2010· 辽宁高考)在△ABC中,a,b,c分别为内角 A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

[自主解答] (1)由已知, 根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

a cosB 解:法一:由b= ,得acosA=bcosB, cosA b2+c2-a2 若将条件“2asinA=(2b+c) ∴a· 2bc sinB+(2c+b)sinC” 2 2 2 a +c -b a cosB =b· , 改为“b= ”, 2ac cosA ∴a2?b2+c2-a2?=b2?a2+c2-b2?,试确定△ABC 的形状.

∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a=b或a2+b2=c2, ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

a cosB sinA cosB 法二:由b= ,得 = , cosA sinB cosA ∴sinAcosA=cosBsinB, ∴sin2A=sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角, ∴2A=2B 或 2A=π-2B, π ∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边. 如果(a2+b2)· sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),且A≠B,试 判断△ABC的形状.

解:由已知得:
a2[sin(A+B)-sin(A-B)] =b2[sin(A-B)+sin(A+B)]. 利用两角和、差的三角函数公式可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB. 由正弦定理得asinB=bsinA, ∴acosA=bcosB.

又由正弦定理得 2RsinA=a,2RsinB=b, ∴2RsinAcosA=2RsinBcosB, 即 sin2A=sin2B. ∵A≠B,∴2A=π-2B, π ∴A+B= . 2 ∴△ABC 是直角三角形.

考点三

与三角形面积有关的问题

在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c, π 已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

[自主解答] (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4, 1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3, 2 得 ab=4.
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? ?ab=4, ? ?a=2, ? 解得? ?b=2. ?

(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA. π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A= ,B= ,a= ,b= . 2 6 3 3 1 所以△ABC 的面积 S= absinC 2 1 4 3 2 3 3 2 3 = × × × = ; 2 3 3 2 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,

?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? ?b=2a, ?

? ?a=2 3, 3 ? 解得? 4 3 ? b= . ? 3 ?

所以△ABC 的面积

1 1 2 3 4 3 3 2 3 S= absinC= × × × = . 2 2 3 3 2 3 2 3 综上:△ABC 的面积为 . 3

解:由例题易知:a2+b2-c2=ab 又∵c=2, 保持例题条件不变,求 ∴a2+b2=4+ab 又∵a2+b2≥2ab, △ABC面积的最大值. ∴4+ab≥2ab,

即 ab≤4(当且仅当 a=b=2 时取“=”), 1 1 3 ∴S△ABC= absinC≤ ×4× = 3, 2 2 2 即当 a=b=2 时,△ABC 的面积取最大值 3.

在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 2sinA = 3cosA. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值.

解:(1)由 2sinA= 3cosA两边平方,得 2sin2A=3cosA,即(2cosA- 1)(cosA+2)=0. 1 π 解得 cosA= >0,∴0<A< ,∴A=60° . 2 2 b2+c2-a2 m 而 a -c =b -mbc 可以变形为 = , 2bc 2
2 2 2

m 1 即 cosA= = ,∴m=1. 2 2

1 3 (2)由(1)知 cosA= ,则 sinA= . 2 2 b2+c2-a2 1 又 = , 2bc 2 所以 bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. bc a2 3 3 3 故 S△ABC= sinA≤ · = . 2 2 2 4

考点四

正、余弦定理的综合应用

x x 2x 已知向量 m=(cos ,1),n=( 3sin ,cos ). 4 4 4 2π (1)若 m· n=1,求 cos( -x)的值; 3 (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围.

x x 3 x 1 x 1 2x [自主解答] (1)m· n= 3sin cos +cos = sin + cos + = 4 4 4 2 2 2 2 2 x π 1 sin( + )+ . 2 6 2 ∵m· n=1, x π 1 ∴sin( + )= , 2 6 2 π x π 1 ∴cos(x+ )=1-2sin2( + )= , 3 2 6 2 2π π 1 ∴cos( -x)=-cos(x+ )=- . 3 3 2

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得: (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0. 1 π ∴cosB= ,B= . 2 3

2π ∴0<A< , 3 π A π π ∴ < + < , 6 2 6 2 1 A π <sin( + )<1. 2 2 6 x π 1 又∵f(x)=m· n=sin( + )+ , 2 6 2 A π 1 ∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,已知 c2=bccosA+ cacosB+abcosC. (1)试判断△ABC 的形状; ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (2)若 BA · =3, AB · =9,求角 B 的大小. BC AC

b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 解: (1)由余弦定理得:2=bc· c +ca· +ab· , 2bc 2ca 2ab ∴c2=a2+b2, ∴△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (2)∵Rt△ABC 中, BA · =| AB |· |cosB=3 | BC BC ??? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? | | AB · =| AB |·AC |cosA=| AB |·AC |sinB=9 AC
②÷ ①,得 ??? ? | AC |sinB ??? ? =tan2B=3, | BC |cosB π tanB= 3,∴B= . 3

① ②

正弦定理和余弦定理是高考的热点,主要考查利用正、

余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与
三角恒等变换相结合考查,其中以向量为载体,考查正、 余弦定理在解三角形中的应用是高考的一种重要考向.

[考题印证] (2010· 安徽高考)(12 分)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c π π 分别是内角 A, C 所对边长, B, 并且 sin2A=sin( +B)sin( -B)+sin2B. 3 3 (1)求角 A 的值; ??? ??? ? ? (2)若 AB · =12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). AC

3 1 3 1 [规范解答] (1)因为 sin A=( cosB+ sinB)( cosB- sinB)+sin2B 2 2 2 2
2

3 1 3 = cos2B- sin2B+sin2B= ,……………………………………(2 分) 4 4 4 3 π 所以 sinA=± .又 A 为锐角,所以 A= .…………………………(4 分) 2 3 ??? ??? ? ? (2)由 AB · =12 可得 cbcosA=12. ①…………………………(5 分) AC π 由(1)知 A= , 所以 cb=24. 3 ②…………………………………(6 分)

由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcosA,将 a=2 7及①代入,得 c2+b2 =52, ③…………………………………………………………(8 分)

由③+②×2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10.………………(10 分) 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.………………………………(12 分)

1.利用正弦定理解三角形应注意的问题 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,

求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能
出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三 角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.

2.三角形形状的判断

在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关
系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边 的关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分 解、配方等)求解,注意等式两边的公因式不要约掉, 要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.

1.在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC= 3∶4∶ 30,则 △ABC 是 A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不能确定 ( )

解析:根据题意,由正弦定理可得,a∶b∶c= 3∶4∶ 30, 设 a= 3t,b=4t,c= 30t,t>0,由余弦定理可得 cosC 3t2+16t2-30t2 = <0,所以三角形 ABC 是钝角三角形. 8 3t2

答案:C

2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若(a2+c2 -b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为 π A. 6 π 5π C. 或 6 6 π B. 3 π 2π D. 或 3 3 ( )

a2+c2-b2 3 解析:∵ =cosB,结合已知等式得 cosB· tanB= , 2ac 2 3 ∴sinB= . 2 答案:D

3.(2010· 北京高考)某班设计了一个八边形的 班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 α 的 四个等腰三角形,及其底边构成的正方形 所组成,该八边形的面积为 A.2sinα-2cosα+2 B.sinα- 3cosα+3 C.3sinα- 3cosα+1 D.2sinα-cosα+1 ( )

1 解析:四个等腰三角形的面积之和为 4× ×1×1×sinα= 2 2sinα 再由余弦定理可得正方形的边长为 12+12-2×1×1×cos α= 2-2cosα,故正方形的面积 为 2-2cosα,所以所求八边形的面积为 2sinα-2cosα+2.
答案: A

4. (2010· 广东高考)已知 a, c 分别是△ABC 的三个内角 A, b, B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sinC= ________.

π 解析:由 A+C=2B 且 A+B+C=π 可得 B= , 3 2π A+C= , 3 a b 由正弦定理 = , sinA sinB 1 3 1 可得 = ?sinA= , sinA π 2 sin 3 π 又因为 a<b,所以 A= , 6 2π π 故 C= -A= ,sinC=1. 3 2
答案:1

5.(2011· 泰安模拟)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD, AD= 2,∠ADB=135° AC= 2AB,则 BD=________. .若

解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a, 1 2 则由题可知 BD= a,CD= a,所以根据余 3 3 2 2 2 2 2 弦定理可得 b =( 2) +( a) -2× 2× acos45° , 3 3 1 2 1 2 2 c =( 2) +( a) -2× 2× acos135° ,由题意知 b= 2c,可解得 3 3 1 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3

答案:2+ 5

6.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A=60° , c=3b.求: a (1)c 的值; (2)tanB+tanC 的值.

解:(1)由余弦定理,得 1 2 2 1 1 7 2 a =b +c -2bccosA=( c) +c -2·c· = c , c· 3 3 2 9
2 2 2

a 7 故c = . 3 (2)由余弦定理及(1)的结论有 7 2 2 1 2 a2+c2-b2 9c +c -?3c? 5 cosB= = = , 2ac 7 2 7 2· c· c 3

sinB= 1-cos B= 同理可得

2

25 3 1- = , 28 2 7

7 2 1 2 2 a2+b2-c2 9c +9c -c 1 cosC= = =- , 2ab 7 1 2 7 2· c·c 3 3 sinC= 1-cos C=
2

1 3 3 1- = , 28 2 7

sinB sinC 3 14 3 从而 tanB+tanC= + = -3 3=- . cosB cosC 5 5

点击此图片进入课下冲关作业


推荐相关:

2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--3.7正弦定理和余弦定理

2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--3.7正弦定理和余弦定理。2011创新方案高考数学复习精编第三章第七节正弦定理和余弦定理题组一 正、余弦定理的简单应用...


【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 3.7 正弦定理和余弦定理限时集训 理

【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 3.7 正弦定理和余弦定理限时集训...? ??? ? 17.(2012?浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a...


2014高考数学一轮汇总训练《正弦定理和余弦定理》理 新人教A版

正弦定理和余弦定理》理 新人教A版_高考_高中...第七节 正弦定理和余弦定理 [备考方向要明了] 考...【创新设计】2014版高考... 暂无评价 42页 免费 ...


高三复习第七讲正弦定理和余弦定理

高三复习第七正弦定理和余弦定理_高三数学_数学_高中...解三角形正弦定理和余弦定理 【考纲速读吧】 1.分...则角 A 的大小为___. π(2)[2012· 北京高考...


2015一轮复习数学第三章第七节课后限时自测

2015一轮复习数学第三章第七节课后限时自测_数学_高中...由正弦定理得: =, 化简得 AC=2 sin B 3 2 3...【解】 b c 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A...


_正弦定理和余弦定理高考题

_正弦定理和余弦定理高考题_数学_高中教育_教育专区...正余弦定理高考题 3页 免费 2012高考试题分类考点...第三章 第七节 正弦定理... 5页 免费 高考题汇集...


2013届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例

2012高考数学【创新方案】... 70页 2财富值 2013...(新课标版)(数学理)第7正弦定理余弦定理应用...(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河...


【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第3章 第6节 正弦定理和余弦定理]

【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第3章 第6节 正弦定理和余弦定理]_数学_高中教育_教育专区。【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第...


正弦定理和余弦定理(含解析)

正弦定理和余弦定理(含解析)_数学_高中教育_教育...第七节 正弦定理和余弦定理 [知识能否忆起] 1....3 又∵a<b,∴B 有两个. 4.(2012· 陕西高考...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com