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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第四章 第一节平面向量的概念及其线性运算


第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念

大小 ,又有_____ 方向 的量叫做向量. (1)定义:既有_____
(2)表示方法:

①用字母表示:a,b,c;
②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示:如 AB,CD, 大小 ,箭头所指的方向表示 其中有向线段的长度表示向量的_____ 方向 向量的_____.

(3)模:向量的长度 ____叫做向量的模,记作|a|,|b|或 AB , CD .

2.特殊向量
名 称 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 说 明 0 的向量,其方向是_______ 任意的 ,记作0 长度等于__ 1个单位 的向量 长度等于________ 相同或相反 的非零向量,又叫共线向量, 方向___________ 规定:0与任一向量共线

相同 的向量 长度相等且方向_____
相反 的向量 长度相等且方向_____

3.向量的加法与减法 (1)向量的加法

①三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作
a+b 即____ a+ b AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做a与b的和,记作____,

= AB ? BC ? AC ,这种求向量和的方法,称为向量加法的三角
形法则;

②平行四边形法则:以同一点O为起点的两个已知向量a,b为 邻边作?OACB,则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和,这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则;

③向量加法的几何意义:如图所示.

(2)向量的减法 (-b) 即减去一个向量相当于加上这个向 ①定义:定义a-b=a+____,

相反向量 ; 量的_________ ②几何意义:如图, AB =a,AD =b,则 DB = AB ? AD .

4.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数λ 与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的 数乘,记作λ a,它的长度与方向规定如下:

①|λ a|=|λ ||a|;
相同 ;当λ <0时,λ a与a的方 ②当λ >0时,λ a与a的方向_____ 相反 ;当λ =0时,λ a=0. 向_____

(2)运算律:设λ ,μ 是两个实数,则 λ ( μ a ) λ μ ) a; ①________=( λ a+ μ a ; ②(λ +μ )a=_________ λ a+ λ b ③λ(a+b)=________. 5.共线向量定理 b= λ a 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使______.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”). (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向 量.( ) ) )

(2)两向量不能比较大小.(

(3)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同或相反.( (4)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( (5) AB ? BC ? CD ? AD .( ) )

(6)共线向量定理b=λ a中,当a=0时,则实数λ 不唯一.(

)

【解析】(1)错误.向量是可以自由平移的,而有向线段是有端 点的,端点不同,则有向线段不同.故向量与有向线段不同, 但向量可用有向线段来表示.故不正确.

(2)正确.由于向量是具有大小和方向的量,因此无法比较大小 .
故正确.

(3)错误.当a,b中有一个为0时,其方向是不确定的.故不正确.
(4)正确.当|a|=|b|时,说明a,b的模相等,与方向无关.故正

确.

(5)正确.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点 指向最后一个向量终点的向量,故正确. (6)错误.当a=0且b=0时,则实数λ可为任意实数,故不唯一;

当a=0且b≠0时,λ不存在.故不正确.
答案:(1)〓 (2)√ (3)〓 (4)√ (5)√ (6)〓

1.D是△ABC的边AB上的中点,则向量 CD 等于( (A)-BC+ 1 BA
2

)

(B) -BC ? 1 BA
2

(C) BC ? 1 BA
2

(D) BC ? 1 BA
2

【解析】选A.如图,

1 1 CD=CB +BD=CB + BA=-BC + BA. 2 2

2.判断下列四个命题:

①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;
③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数

是(
(A)1

)
(B)2 (C)3 (D)4

【解析】选A.①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一 定相同,故不一定相等;②中两向量的模相等,但方向不一定 相同,故这两向量不一定相等;③中两向量的模相等,但两向 量不一定共线;④中两向量相等,则模一定相等,故正确.

3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( (A) EF =OF +OE (C) EF ? ?OF ? OE (B) EF ? OF ? OE (D) EF ? ?OF ? OE )

【解析】选B. EF =EO +OF =OF -OE .

4.如图,正六边形ABCDEF中,
BA +CD +EF=(

)

(A)0

(B) BE
(C) AD

(D) CF
【解析】选D. BA+CD +EF =CD ? DE +EF =CE +EF =CF .

5.设a,b是两个不共线的向量,且向量a+λ b与2a-b共线, 则λ =_______.
=2k, ?1 【解析】由题意知a+λb=k(2a-b),则有 ? ?λ=-k,

∴k= 1 ,λ=- 1 .
2

答案:- 1

2

2

考向1 平面向量的有关概念
【典例1】(1)下列命题中: ①时间、速度、加速度都是向量; ②向量的模是一个正实数; ③所有的单位向量都相等; ④共线向量一定在同一直线上. 其中真命题的个数是( (A)0 (B)1 ) (D)3

(C)2

(2)(2013?广州模拟)下列结论中,不正确的是(

)

(A)向量 AB,CD 共线与向量 AB CD意义相同
(B)向量 AB ? CD,则向量 BA ? DC

(C)若a=b,b=c,则a=c
(D)若向量a,b满足|a|=|b|,则向量a与b的方向相同

(3)(2013?宜宾模拟)给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;

③λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则a与b共线.
其中错误命题的序号为_______.

【思路点拨】(1)根据向量及其有关概念分析解题即可.

(2)根据向量共线、相等的定义逐一分析即可.
(3)根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论 .

【规范解答】(1)选A.①中时间不是向量,不正确;②中向量 的模可以为0,故不正确;③中单位向量的模相等,但方向不 一定相同,故不正确;④中共线向量所在的直线可能平行,故

不正确.综上选A.
(2)选D.向量的共线与向量的平行是同义的,故A正确;根据相

反向量的概念可得B正确;由向量相等的概念可知C正确;当两
向量的模相等时,方向不一定相同.故D不正确.

(3)①不正确,虽然终点相同,但两个向量也
可能不共线,如图,a,b即不共线;②不正确,

向量不能比较大小;③不正确,当λ=μ=0时,
a与b可为任意向量,不一定共线.综上①②③都不正确. 答案:①②③

【拓展提升】平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性 . (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时 不要把它与函数图象的平移混为一谈. (3)
a a 是与a同向的单位向量, 是与a反向的单位向量. |a| ?|a|

【变式训练】(1)设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则 下列表示形式中正确的是( (A)e= a
|a|

)

(B)a=|a|e

(C)a=-|a|e

(D)a=±|a|e

a 【解析】选D.对于A,当a=0时, 没有意义,错误;对于B, |a|

C,D当a=0时,选项B,C,D都对;
当a≠0时,由a∥e可知,a与e同向或反向,选D.

(2)给出下列命题: ①若A,B,C,D是不共线的四点,则 AB =DC 是四边形ABCD为 平行四边形的充要条件;

②0?a=0;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;

④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中正确命题的序号是_______.

【解析】①正确;②一方面,数乘向量的结果为向量,而不是
实数;另一方面,实数与向量的数乘运算不能用符号“?”,

故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;
④当a,b不同向时不成立,故错误.

答案:①

考向2 平面向量的线性运算 【典例2】(1)如图,D,E,F分别是 △ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )

(A) AD +BE +CF =0
(B) BD-CF +DF =0

(C) AD +CE-CF =0
(D) BD-BE-FC =0

(2)(2013?泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,

且 PA+PB +PC =AC ,那么一定有(
(A) PB =2CP (C) AP=2PB (B) CP=2PB (D) PB =2AP

)

(3)(2013?湛江模拟)在△ABC中, E,F分别为AC,AB的中点,BE与 CF相交于G点,设 AB =a, AC =b,试 用a,b表示 AG .

【思路点拨】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解. (2)将向量 AC 分解为以点P为起点的两向量的差,然后化简即 可. (3)结合图形,利用向量加法将 AG 表示为相关向量的线性运算 式.

【规范解答】(1)选A.∵ AB +BC +CA=0,
∴ 2AD +2BE +2CF =0,

即 AD +BE +CF=0.
(2)选D.由题意得 PA+PB +PC =PC -PA ,

即 PB =-2PA=2AP .

(3)设 BG ? λBE, CG ? mCF (λ,m>0),则
AG ? AB ? BG

= AB ? λ BE ? AB ? λ (BA ? BC)

2 = (1 ? λ )AB ? λ (AC ? AB) 2 2 = ?1 ? λ ? AB ? λ AC ? ?1 ? λ ? a ? λ b . 2 2

又 AG ? AC ? CG ? AC ? mCF = AC ? m (CA ? CB)
2

= ?1 ? m ? AC ? m AB ? m a ? ?1 ? m ? b ,
2 2

m ? 1 ? λ ? , ? 2 解得λ=m= 2 , ∴ ? ? 3 ?1 ? m ? λ , ? 2 ?

∴ AG ? 1 a ? 1 b .
3 3

【拓展提升】向量线性运算的注意点

(1)一个关系
①当向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且

满足|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;
②当a,b共线同向时,则a+b的方向与a,b的方向都相同,且

|a+b|=|a|+|b|;
③当a,b共线反向时,若|a|>|b|,则a+b与a同向,且

|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b同向,且|a+b|=|b||a|;若|a|=|b|,则a+b与a(b)同向,且|a+b|=0.

(2)两个结论 ①向量的中线公式:若P为线段AB中点,则 OP ? 1 (OA ? OB) ;
2

②向量加法的多边形法则:
A1A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ??? A n ?1A n ? A1A n .

【提醒】当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向

量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但
当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.

【变式训练】(1)在△ABC中, AC =b,若点D满足 AB =c,
BD =2DC ,则 AD =(

)

(A) 2 b ? 1 c
3 3 (C) 2 b ? 1 c 3 3

(B) 5 c ? 2 b

3 3 (D) 1 b ? 2 c 3 3

【解析】选A.∵ BD=2DC ,∴ AD -AB =2(AC -AD) , ∴ 3AD=2AC +AB , ∴ AD= 2 AC+1 AB= 2 b+1 c.
3 3 3 3

(2)若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子: ① AB ? CD ? BC ? AD ;② AC ? BD ? BC ? AD ; ③ AC ? BD ? DC ? AB .其中正确式子的序号为______.

【解析】①由 AB ? CD ? BC ? AD 得, AB ? AD ? BC ? CD
? ?CB ? CD ? ?2CB ? CB ? CD ,从而 DB ? ?2CB ? DB,即 CB =0,

故不正确;

②由 AC ? BD ? BC ? AD 得,
AC ? AD ? BC ? BD ,即 DC ? DC ,故正确;

③由 AC ? BD ? DC ? AB 得 AC ? AB ? DC ? BD ,即 BC ? BC,
故正确.综上可得②③正确.

答案:②③

考向3 共线向量定理及其应用 【典例3】(1)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与 c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于( (A)a (B)b (C)c (D)0 )

(2)设两个非零向量a与b不共线. ①若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b).

求证:A,B,D三点共线;
②试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【思路点拨】(1)根据向量共线的充要条件得到向量的关系 式,比较系数可得结论. (2)①先证明 AB , BD 共线,再说明它们有一个公共点 ,从而得 证;②利用共线向量定理列出方程组求k.

【规范解答】(1)选D.∵a+b与c共线, ∴a+b=λ1c. ①

又∵b+c与a共线,

∴b+c=λ2a.



由①得:b=λ1c-a.

∴b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
∴?
1 0, ?λ1+= 即 1 ?λ 2=-, 1, ?λ1=- ? 1 ?λ 2=-,

∴a+b+c=-c+c=0.

(2)①∵ AB=a+b,BC=2a+8b,
CD=3(a-b),

∴ BD=BC +CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 AB , ∴ AB , BD 共线.又 AB 与 BD 有公共点B, ∴A,B,D三点共线. ②∵ka+b与a+kb共线,

∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
? k ? λ, ∴ ? ∴k=〒1. ?kλ ? 1,

【互动探究】本例(2)②条件不变,结论若改为“若向量ka+b 和向量a+kb反向共线,求k的值”,则结果如何? 【解析】∵ka+b与a+kb反向共线,

∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
∴? ?
k ? λ, ?kλ ? 1,

∴k=〒1.

又λ<0,∴k=-1.故当k=-1时两向量反向共线.

【拓展提升】三点共线的表示

A,P,B三点共线? AP ? tAB
? OP ? (1 ? t)OA ? tOB (O为平面内任一点,t∈R) ? OP ? xOA ? yOB(O为平面内任一点,x∈R,y∈R,x+y=1)

【变式备选】已知点G是△ABO的重心(三边中线的交点), M是AB边的中点. (1)求 GA+GB +GO .

(2)若PQ过△ABO的重心G,且 OA=a, OB=b, OP =ma,
OQ=nb,求证: + =3.
1 m 1 n

【解析】(1)∵ GA+GB =2GM,
又 2GM =-GO , ?GA +GB +GO =-GO +GO =0.

(2)显然 OM= 1 (a+b).
2

因为G是△ABO的重心, 所以 OG= 2 OM= 1 (a+b) .
3 3

由P,G,Q三点共线,得 PG GQ ,所以,有且只有一个实数 λ,使 PG=λGQ .而 PG=OG-OP=1 (a+b)-ma = ( 1-m)a+1 b ,
3 3 GQ=OQ-OG=nb- 3

1 1 1 ? a+b ?=- a+(n ? )b, 3 3 3

所以 ( 1-m)a+1 b=λ[-1 a+(n-1 )b] .
3 3 3 3

又因为a,b不共线,
1 ?1 - m =- λ, ? ? 3 消去λ,整理得3mn=m+n, 所以 ? 3 ? 1 =λ (n- 1 ), ? 3 ?3

故 1 + 1 =3.
m n

【易错误区】概念理解不清致误

【典例】(2013?江门模拟)若点M为△ABC所在平面内的一点,
且满足 AM ? 3 AB ? 1 AC ,则△ABM与△ABC的面积之比为( (A) 3
4 4 (B) 1 4 4

)

(C) 1

3

(D) 1

2

【误区警示】在解答本题时,容易因忽视题目中的隐含条件, 无法判断点M的位置而造成无法解题或解题错误.

【规范解答】选B.由 AM ? 3 AB ? 1 AC 得 4AM ? 3AB ? AC ,
4 4

即 3(AM ? AB) ? AC ? AM ,所以 3BM ? MC ,可得到点B,C,
M共线,所以点M在直线BC上. 如图,设AE= 3 AB,AD= 1 AC,
4 4

则四边形AEMD为平行四边形.
1 1 BC,故点M到直线AB的距离是点C到直线AB距离的 . 4 4 1 所以△ABM与△ABC的面积之比为 .故选B. 4

由BM=

【思考点评】 1.准确把握点共线的证明方法 即用非零向量的共线来证明点共线,但又要注意点共线与向量 共线的区别. 2.注意题目中隐含条件的挖掘

题目隐含条件的挖掘是解决问题的关键,而这一点在解题中往
往被忽视.解题时要养成正确理解题意的习惯,探索题目所给

的条件,从中找到利于解题的因素.

1.(2013?广州模拟)在平面上有A,B,C三点,设m= AB +BC ,
n= AB -BC ,若m与n的长度恰好相等,则有( )

(A)A,B,C三点必在一条直线上
(B)△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 (C)△ABC必为直角三角形且∠B为直角 (D)△ABC必为等腰直角三角形

【解析】选C.如图,以 BA, BC 为邻边

作平行四边形ABCD,则m= AB +BC =AC ,
n=AB -BC =AB -AD =DB ,由m,n的长

度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形 ABCD一定是矩
形.故选C.

2.(2013?梅州模拟)已知:如图,
OA ? OB =1, OA与 OB 的夹角为120°,
OC 与 OA 的夹角为30°,若 OC ? λOA ? μOB

λ (λ ,μ ∈R),则 等于( μ

) (D)2

(A) 3
2

(B) 2 3
3

(C) 1
2

【解析】选D.如图,以OC为对角线作

?OMCN,则在△OCN中,∠NOC=90°,
∠OCN=30°.

|ON|=| μOB |=μ,
|NC|=| OM|=| λOA |=λ,

∴ λ?
μ

1 =2. sin 30?

3.(2013?潮州模拟)已知△ABC中,点D在BC边上,且
CD ? 2DB,CD ? rAB ? sAC ,则r+s的值是(

)

(A) 2
3

(B) 4
3

(C)-3

(D)0

【解析】选D.∵ CD ? 2DB , ∴ CD ? 2 CB ? 2 (AB ? AC) ,
3 3 ∴ CD ? 2 AB ? 2 AC , 3 3

又 CD ? rAB ? sAC , ∴r= 2 ,s=- 2 ,∴r+s=0.
3 3

4.(2013?茂名模拟)给出下列命题 ①向量 AB 长度与向量 BA 的长度相等; ②两个有共同起点且长度相等的向量,其终点必相同;

③两个有公共终点的向量,一定是共线向量;
④向量 AB CD,则A,B,C,D必在一条直线上;

其中真命题的序号为_______(写出所有真命题的序号).

【解析】①真命题. ②假命题.起点相同长度相等的两向量方向不一定相同,故不 正确.

③假命题.向量的终点相同并不能说明向量的方向相同或相
反.

④假命题. AB CD时,直线AB,CD可能平行也可能重合.
综上可得,命题①为真命题.

答案:①

1.设a,b为不共线的非零向量, BC =-8a-2b, AB =2a+3b,
CD =-6a-4b,那么(

)

(A) AD与BC 同向,且 AD ? BC (B) AD与BC同向,且 AD ? BC (C) AD与BC反向,且 AD ? BC (D) AD BD

【解析】选A. AD=AB +BC +CD=2a+3b+(-8a-2b)+ (-6a-4b)=-12a-3b,又 BC =-8a-2b, ∴ AD= 3 BC .
2



3 >0, 2

∴ AD与BC 同向,且 AD = 3 BC . 2

∴ AD ? BC .

2.已知O是三角形ABC的重心(三条中线的交点),动点P满足
1 1 1 OP ? ( OA ? OB ? 2OC) ,则点P一定为三角形ABC的( 3 2 2

)

(A)AB边中线的中点

(B)AB边中线的三等分点(非重心)
(C)重心

(D)AB边的中点

【解析】选B.取AB的中点D,则 OD ? ? 1 OC ,
2

故 OP ? 1 ( 1 OA ? 1 OB ? 2OC)
3 2 2 1 = 1 [ (OA ? OB) ? 2OC] 3 2 = 1 ( 1 2OD ? 2OC) 3 2 = 1 (OD ? 2OC) 3 = 1 (? 1 OC ? 2OC) ? 1 OC , 3 2 2

故点P为中线CD的三等分点(非重心).


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