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知识讲解-导数的计算-基础(1)


导数的计算 【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式,并掌握其推导过程。 2. 熟记八个基本初等函数的导数公式,并能准确运用。 3. 能熟练运用四则运算的求导法则, 4. 理解复合函数的结构规律,掌握求复合函数的求导法则: “由外及内,层层求导” . 【要点梳理】 知识点一:基本初等函数的导数公式 (1) f ( x) ? C (C 为常数) , f '( x) ? 0 (2) f ( x) ? xn (n 为有理数) , f '( x) ? n ? x n?1 (3) f ( x) ? sin x , f '( x) ? cos x (4) f ( x) ? cos x , f '( x) ? ? sin x (5) f ( x) ? e x , f '( x) ? e x (6) f ( x) ? a x , f '( x) ? a x ? ln a (7) f ( x) ? ln x , f '( x ) ?

1 x 1 log a e x


(8) f ( x) ? loga x , f '( x ) ? 要点诠释:

1.常数函数的导数为 0,即 C'=0(C 为常数) .其几何意义是曲线 f ( x) ? C (C 为常数)在任意点 处的切线平行于 x 轴. 2.有理数幂函数的导数等于幂指数 n 与自变量的(n-1)次幂的乘积,即 ( xn ) ' ? nxn?1 (n∈Q) . 特别地 ?

1 1 ?1? 。 ?' ? ? 2 , ( x)' ? x 2 x ?x?

3.正弦函数的导数等于余弦函数,即(sin x) '=cos x. 4.余弦函数的导数等于负的正弦函数,即(cos x) '=-sin x. 5.指数函数的导数: (a )' ? a ln a , (e )' ? e .
x x x x

6.对数函数的导数: (log a x) ' ?

1 1 log a e , (ln x ) ' ? . x x 1 1 有时也把 (log a x) ' ? log a e 记作: (log a x) ' ? x x ln a

以上常见函数的求导公式不需要证明,只需记住公式即可.
1

知识点二:函数的和、差、积、商的导数 运算法则: (1)和差的导数: [ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) ? g '( x) (2)积的导数: [ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) (3)商的导数: [ 要点诠释: 1. 上述法则也可以简记为: (ⅰ)和(或差)的导数: (u ? v) ' ? u '? v ' , 推广: (u1 ? u2 ? ? ? un )' ? u '1 ? u '2 ? ? ? u 'n . (ⅱ)积的导数: (u ? v) ' ? u ' v ? uv ' , 特别地: (cu ) ' ? cu ' (c 为常数) .

f ( x) f '( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g '( x) ( g ( x) ? 0 ) ]' ? g ( x) [ g ( x)]2

(ⅲ)商的导数: ?

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) , ?' ? v2 ?v?

两函数商的求导法则的特例

? f ( x) ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ( g ( x) ? 0) , ? g ( x) ? ' ? g 2 ( x) ? ?
当 f ( x) ? 1 时, ?

? 1 ? 1'? g ( x) ? 1? g '( x) g '( x) '? ? ? 2 ( g ( x) ? 0) . ? 2 g ( x) g ( x) ? g ( x) ?

这是一个函数倒数的求导法则. 2.两函数积与商求导公式的说明 (1)类比: (uv) ' ? u ' v ? uv ' , ?

? u ? u ' v ? uv ' (v≠0) ,注意差异,加以区分. ?' ? v2 ?v?

(2)注意: ?

? u ? u ' ? u ? u ' v ? uv ' (v≠0) . ?' ? 且? ?' ? v2 ? v ? v' ? v ?

3.求导运算的技巧 在求导数中,有些函数虽然表面形式上为函数的商或积,但在求导前利用代数或三角恒等变形可 将函数先化简(可能化去了商或积) ,然后进行求导,可避免使用积、商的求导法则,减少运算量.

2

知识点三:复合函数的求导法则 1.复合函数的概念 对于函数 y ? f [? ( x)] ,令 u ? ? ( x) ,则 y ? f (u ) 是中间变量 u 的函数, u ? ? ( x) 是自变量 x 的函 数,则函数 y ? f [? ( x)] 是自变量 x 的复合函数. 要点诠释: 常把 u ? ? ( x) 称为“内层” , y ? f (u ) 称为“外层” 。 2.复合函数的导数 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处可导, 函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应点 u 处也可导 y 'u ? f '(u) , u 'x ? ? '( x) , 则复合函数 y ? f [? ( x)] 在点 x 处可导,并且 y 'x ? y 'u ? u 'x ,或写作 f 'x [? ( x)] ? f '(u) ? ? '( x) . 3.掌握复合函数的求导方法 (1)分层:将复合函数 y ? f [? ( x)] 分出内层、外层。 (2)各层求导:对内层 u ? ? ( x) ,外层 y ? f (u ) 分别求导。得到 ? '( x), f '(u) (3)求积并回代:求出两导数的积: f '(u ) ? ? '( x) ,然后将 u用? ( x)替换 ,即可得到

y ? f [? ( x)] 的导数。
要点诠释: 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代, 熟练以后, 可以省略中间过程。 若遇多重复合, 可以相应地多次用中间变量。 2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。求 导后,要把中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】 类型一:求简单初等函数的导数 例 1. 求下列函数的导数:
3 (1) x

(2)

1 x2

(3)

x (4) y ? sin x (5) ln x

【解析】 3 3-1 2 (1) (x )′=3x =3x ; (2) (

1 -2 -2-1 -3 )′=(x )′=-2x =-2x 2 x
1 ?1 1 1 1 ?1 1 2 x ? x 2? 2 2 2 x
新疆

(3)

( x )? ? ( x 2 )? ?

王新敞
奎屯

(4) y ' ? (sin x) ' ? cos x ; (5) y ' ? (ln x) ' ?

1 ; x
3

【点评】 (1)用导数的定义求导是求导数的基本方法,但运算较繁。利用常用函数的导数公式,可以简化 求导过程,降低运算难度。 (2)准确记忆公式。 (3)根式、分式求导时,先将根式、分式转化为幂的形式。 举一反三: 【变式】求下列函数的导数: (1)y = 【答案】 (1) y′=(

1 x3

(2)y = 3

x

(3)y=2x ―3x +5x+4

3

2

(4) y ? log2 x2 ? log2 x ;

1 -3 -3-1 -4 )′=(x )′=-3x =-3x 3 x

(2 y ? ? (

3

1 1 1 ?1 1 ? 2 x )? ? ( x 3 )? ? x 3 ? x 3 3 3

(3) y ' ? 2( x3 )'? 3( x2 )'? 5( x)'? (4)' ? 6 x2 ? 6 x ? 5 (4)∵ y ? log 2 x2 ? log 2 x ? log 2 x ,∴ y ' ? (log 2 x) ' ? 类型二:求函数的和、差、积、商的导数 例 2. 求下列函数导数: (1) y=3x +xcosx; (2)y= 【解析】 (1)y′=6x+cosx-xsinx.(2)y′=
2

1 . x ? ln 2

x x ; (3)y=lgx-e ; (4)y= e x tanx. 1? x

1? x ? x 1 1 x x ? .(3)y′=(lgx)′-(e )′= -e . 2 2 x ln10 (1 ? x) (1 ? x)

(4) y = e x tanx+

'

ex . cos2 x

【点评】 (1)熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则,是求导函数的前提。 (2)先化简再求导,是化难为易,化繁为简的基本原则和策略。 举一反三: 【变式 1】函数 y ? ( x ? 1) ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于(
2

)

A.1 【答案】D

B.2
2

C.3
2

D.4

法一: y ' ? [( x ? 1) ]'( x ?1) ? ( x ? 1) ( x ?1)'

? 2( x ? 1) ? ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? 3x2 ? 2 x ?1
∴ y ' |x ?1 ? 4 .
4

法二:∵ y ? ( x ? 1)2 ( x ?1) ? ( x2 ?1)( x ? 1) ? x3 ? x 2 ? x ? 1 ∴ y ' ? ( x3 )'? ( x2 )'? x '?1' ? 3x2 ? 2 x ?1 ∴ y ' |x ?1 ? 4 . 【变式 2】 求下列各函数的导函数 (1)y=(x+1)(x+2)(x+3)。 【答案】 (1)∵y=(x +3x+2)(x+3)=x +6x +11x+6,∴y'=3x +12x+11。 2 2 2 (2)y′=(x )′sinx+x (sinx)′=2xsinx+x cosx
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(2)y=x sinx;

2

(3)y=

x ? cos x x ? sin x

2

3

2

2

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(3) y ' ?

( x ? cos x)?( x ? sin x) ? ( x ? cos x)( x ? sin x)? ( x ? sin x)2
(1 ? sin x)( x ? sin x) ? ( x ? cos x)(1 ? cos x) ( x ? sin x) 2 ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 ( x ? sin x) 2

=

=

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【变式 3】求下列函数的导数. (1) y =(2 x2-5 x +1)ex; (2) y ? ( x ? 1)(

1 ? 1) ; x

(3) y =

sin x ? x cos x cos x ? x sin x

【答案】 (1) y′=(2 x2-5 x +1)′e x +(2 x2-5 x +1) (e x )′ =(4 x -5)e x +(2 x 2-5 x +1)e x =(2x 2-x -4)ex (2) y ? ( x ? 1)
1 1 ? 1? x 1? x ? ? x 2 ? x2 , x x

∴ y' ? ?

1 ?3 1 ?1 x 2 ? x 2. 2 2

(3)y′=

1 [(sin x -x cos x)′(cos x +x sin x)-(sin x -x cos x)· (cos x +x sin x)′] (cos x ? x sin x) 2 1 [(cos x -cos x +x sin x) (cos x +x sin x)-(sin x -x cos x) (x cos x)] (cos x ? x sin x) 2
5





x sin x cos x ? x 2 sin 2 x ? x sin x cos x ? x 2 cos2 x x2 = (cosx ? x sin x) 2 cos x ? x sin x

类型三:求复合函数的导数 例 3 求下列函数的导数: (1) y ?

1 ; (1 ? 3x) 4

(2) y ? cos( 3 x ?

?
6

);

(3) y ? ln(2 x2 ? 3x ? 1) ; 【解析】 (1)设μ =1-3x, y ? ? ?4 ,则

y' x ? y ' ? ?? ' x ? ?4? ?5 ? (?3) ?
(2)设 ? ? 3 x ?

12 。 (1 ? 3x) 5

?
6

,y=cosμ ,则

y ' x ? y ' ? ?? ' x ? ? sin ? ? 3 ? ?3 sin( 3x ?

?
6

)。

(3)设 u ? 2x2 ? 3x ? 1, 则u ' ? 4x ? 3,y 'u ? ln u ? ln(2x2 ? 3x ? 1)

y 'x ? y 'u ? u 'x ? (4 x ? 3)ln(2 x2 ? 3x ? 1)
【点评】 把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量,注 意逐层求导,不能遗漏。求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数。 举一反三: 【变式】 求下列函数导数. (1) y ? ln( x ? 2) ; 【答案】 (1) y ? ln u , u ? x ? 2 ∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (ln u)'? ( x ? 2)' ? (2) y ? e , u ? 2 x ? 1 .
u
u 2 x ?1 ∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (eu )'? (2x ?1)' ? 2e ? 2e

(2) y ? e2 x ?1 ;

(3) y ? cos(2 x2 ? 1) .

1 1 ?1 ? u x?2

(3) y ? cos u , u ? 2 x ? 1 ,
2

∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (cos u)'? (2x2 ?1)' ? ?4x sin u ? ?4x sin(2x ? 1) .
2

6

例 4 求下列函数导数. (1) y ? (1 ? 2 x 2 ) 8 ; 【解析】 (1) 令 u ? 1 ? 2 x 2 , y ? u 8 ,
8 2 7 2 7 ? ? ? ? ? y? x ? yu u x ? (u ) (1 ? 2 x ) ? 8u ? 4 x ? 32x(1 ? 2 x ) .
2 (2) y ? x 1 ? x 2 ; (3) y ? sin ( 2 x ?

?
3

)

(2) y' ? ( x 1 ? x 2 )' ? x'? 1 ? x 2 ? x ? ( 1 ? x 2 )'

? 1 ? x2 ? x ?
(3)设 y ?

(1 ? x2 ) ' 2 1 ? x2

? 1 ? x2 ?

x2 1 ? x2

?

1 ? 2 x2 1 ? x2



? 2 ,μ =sinv, v ? 2 x ?

?
3

,则

y' x ? y' ? ?? 'V ?v' x ? 2? ? cosv ? 2
? 2 sin(2 x ?

?

3 2? ? 2 sin(4 x ? ) 3

) ? cos(2 x ?

?
3

)?2

在熟练掌握复合函数求导以后,可省略中间步骤:

? ? ? ? ? ? ? y' ? ?sin 2 (2 x ? )?' ? 2 sin(2 x ? ) ? ?sin(2 x ? )?' 3 ? 3 ? 3 ? ?
? 2 sin(2 x ?

?

3 2 ? 2 sin(4 x ? ? ) 3

) ? cos(2 x ?

?
3

) ? (2 x ?

?
3

)'

【点评】 (1)复合函数求导数的步骤是: ①分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系(简称分解复合关系) ; ②分层求导,弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导) ; ③将中间变量代回为自变量的函数。 简记为分解——求导——回代,当省加重中间步骤后,就没有回代这一步了, 即分解(复合关系)——求导(导数相乘) 。 (2)同一个问题可有多种不同的求导方法,若能化简的式子,则先化简,再求导。 举一反三: 【变式 1】 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【答案】 解法一 y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-

1 2 sin 2 x 2

7

1 3 1 (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4 x. 4 4 4 4 4 3 3 解法二 y′=(sin x)′+(cos x)′=4 sin x(sin x)′+4 cos x (cos x)′ =4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x) =-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
=1- 【变式 2】求下列函数导数: (1) y ?

? 2 2? ? ? x ? ? ? ?; 2 2 1 ? 2x2 ? ? ? 1
2

? cos x ? (2 ) .求函数 y ? ? 。 ? 的导数( sin x ? 0 ) 2 ? sin x ?
【答案】 (1)设 u=1-2x2,则 y ? u
? 1 2



? 1 ?3 ? ∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? ? ? u 2 ? ? (?4 x) ? 2 ?
3 3 ? ? 1 2x 。 ? ? (1 ? 2 x 2 ) 2 (?4 x) ? 2 x(1 ? 2 x 2 ) 2 ? 2 (1 ? 2 x 2 ) 1 ? 2 x 2

(2 ) .方法一: y ' ? 2

cos x ? cos x ? 2cos x (cos x) 'sin 2 x ? cos x(sin 2 x) ' ?? ? ?' ? sin 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x sin 6 x

?

2cos x(? sin 3 x ? 2cos 2 x ? sin x) 2cos x 4cos3 x ?? ? 。 sin 6 x sin 3 x sin 5 x

方法二:∵ y ?

cos 2 x (cos2 x) 'sin 4 x ? cos 2 x(sin 4 x) ' y ' ? ,∴ sin 8 x sin 4 x

2cos x(? sin x)sin 4 x ? cos 2 x ? 4sin 3 x cos x 2cos x 4cos3 x ? ?? ? 。 sin 8 x sin 3 x sin 5 x
类型四:利用导数求函数式中的参数 例5 (1) f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f '(?1) ? 4 ,则 a 的值为( A. )

10 3

B.

13 3

C.

16 3

D.

19 3

(2)设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f '( x) 是奇函数, 则 ? =________。 【解析】 (1)∵ f '( x) ? 3ax ? 6 x ,
2

∴ f '(?1) ? 3a ? 6 ? 4 ,∴ a ?

10 ,故选 A。 3
8

(2)由于 f '( x) ? ? 3sin( 3x ? ? ) , ∴ f ( x) ? f '( x) ? cos( 3x ? ? ) ? 3 sin( 3x ? ? ) ? 2sin ? 3 x ? ? ?

? ?

5? 6

? ?, ?

若 f ( x) ? f '( x) 是奇函数,则 f (0) ? f '(0) ? 0 ,即 0 ? 2sin ? ? ? 所以 ? ?

? ?

5? ? ?, 6 ?

5? ? k? ( k ? Z ) 。 6

又因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 【点评】

?
6



求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导 数运算法则,转化为常见函数的导数问题,再利用求导公式来求解即可。 举一反三: 【变式 1】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 过点(1,5) ,其导函数 y ? f '( x) 的图象 如图 3-2-1 所示, 求 f ( x ) 的解析式。

【答案】∵ f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , 由 f '(1) ? 0 , f '(2) ? 0 , f (1) ? 5 ,得

?3a ? 2b ? c ? 0 ?a ? 2 ? ? ?12a ? 4b ? c ? 0 ,解得 ?b ? ?9 , ?a ? b ? c ? 5 ?c ? 12 ? ?
∴函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x 。
3 2

【变式 2】已知 f ( x ) 是关于 x 的多项式函数, (1)若 f ( x) ? x ? 2 xf ?(1) ,求 f ?(0) ;
2

(2)若 f ?( x) ? 3x ? 6x 且 f (0) ? 4 ,解不等式 f ( x) ? 0 .
2

【解析】显然 f ?(1) 是一个常数,所以 f '( x) ? 2 x ? 2 f ?(1) 所以 f '(1) ? 2 ?1 ? 2 f ?(1) ,即 f '(1) ? ?2 所以 f '(0) ? 2 ? 0 ? 2 f ?(1) ? ?4 ∵ f ?( x) ? 3x ? 6x ,∴可设 f ( x) ? x ? 3x ? c
2 3 2

9

∵ f (0) ? c ? 4

∴ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ? ( x ? 1)( x ? 2)2

由 f ( x) ? 0 ,解得 ?x | x ? ?1且x ? 2?

10


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