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2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析)


2014 届江苏省南京市高三 9 月学情调研理科数学试卷(带解析) 一、填空题 1 . 已 知 集 合 A ? x x ? 2, x ? R

?

?

, 集 合 B?

?

x ? x ? , x? , 则 1 3 ? R

A? B ?
2

. . . .

2.命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是 3.已知复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 4.下图是某算法的流程图,其输出值 a 是

5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中随机 抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为 . 6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形,则此圆柱的体积为 .

?x ? 0 ? 7.已知点 P ? x, y ? 在不等式 ? y ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最大 ?x ? 2y ? 4 ?
值是 . . . 8.曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是

9.在等差数列 ? an ? 中, a4 ? 7, a8 ? 15 ,则数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ?

10.如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别为边 BC 、 AC 的中点. F 为边 AB 上的点,且

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? 3 AF ,若 AD ? x AF ? y AE , x, y ? R ,则 x ? y 的值为

.

试卷第 1 页,总 4 页

11.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 1 .若 f ? a ? ? 3 ,
x

则实数 a 的值为 . 12. 已知四边形 ABCD 是矩形,AB ? 2 ,AD ? 3 ,E 是线段 BC 上的动点,F 是 CD 的中点.若 ?AEF 为钝角,则线段 BE 长度的取值范围是 . 13.如图,已知过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A ? ?a, 0 ? 作直线 l 交 y 轴于点 a 2 b2

??? ? ??? ? P , 交 椭 圆 于 点 Q , 若 ?AOP 是 等腰 三 角 形 , 且 PQ ? 2QA , 则 椭 圆的 离 心 率
为 .

? log 3 x , 0 ? x ? 3 ? 14 .已知 函数 f ? x ? ? ? 1 2 10 , 若存 在实 数 a 、 b 、 c 、 d , 满足 ? 3 x ? 3 x ? 8, x ? 3 ?
f ? a ? ? f ?b ? ? f ?c ?
是 二、解答题 15. 在锐角 ?ABC 中,A 、B 、 所对的边分别为 a 、 、 . C b c 已知向量 m ? ? .

? f ? d ? , 其 中 d ? c ? b ? a ? , 则 a b c d的 取 值 范 围 0

??

?1 ? , cos A ? , ?2 ?

? ? ?? ? 3? n ? ? sin A, ? ? ,且 m ? n . ? 2 ? ? ?
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7 , b ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 16.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为平行四边形, PD ? 平面 ABCD , M 为 PC 中 点.

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(1)求证: AP // 平面 MBD ; (2)若 AD ? PB ,求证: BD ? 平面 PAD . 17.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为 2400 平方米的矩形休闲广场,按照设 计要求, 休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域, 周边及绿化区域之间是道路 (图 中阴影部分) ,道路的宽度均为 2 米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区 域的总面积最大?并求出其最大面积.

18.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右准线为 x ? 3 2 ,离心率为

6 .若直线 3

y ? t ? t ? 0 ? 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ,以线段 AB 为直径作圆 M .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长. 19.已知无穷数列 ? an ? 中, a1 、 a2 、? 、 am 构成首项为 2,公差为-2 的等差数列,

am?1 、am ? 2 、? 、a2m ,构成首项为
?

1 1 ? ,公比为 的等比数列,其中 m ? 3 ,m ? N . 2 2

(1)当 1 ? n ? 2m , m ? N ,时,求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若对任意的 n ? N ,都有 an ? 2 m ? an 成立. ①当 a27 ?
?

1 时,求 m 的值; 64

②记数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n .判断是否存在 m ,使得 S4 m?3 ? 2 成立?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明理由. 20.已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ( a 为常数) .
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ? x ? 的单调递减区间; 2

(2)若 a ? 0 ,且对任意的 x ? ?1, e ? , f ? x ? ? ? a ? 2 ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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21.如图,OA 、OB 是圆 O 的半径,且 OA ? OB ,C 是半径 OA 上一点:延长 BC 交 圆 O 于 点 D , 过 D 作 圆 O 的 切 线 交 OA 的 延 长 线 于 点 E . 求 证 :

?OBC ? ?ADE ? 45? .

22. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? 作用下得到直线 m : x ? y ? 2 ? 0 ,求实数 a 、 b 的值. 23.在极坐标系中,求圆 ? ? 4sin ? 上的点到直线 ? cos ? ? ? 值. 24.解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 .

? a ?2 ? ? 对应的变换 ?3 b ?

? ?

??

? ? 3 2 的距离的最大 4?

C 25. 在底面边长为 2, 高为 1 的正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 、 分别为 BC 、 1 D1 E F
的中点.

(1)求异面直线 A1 E 、 CF 所成的角; (2)求平面 A1 EF 与平面 ADD1 A1 所成锐二面角的余弦值. 26.将编号为 1,2,3,4 的四个小球,分别放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子,每个 盒子中有且仅有一个小球.若小球的编号与盒子的编号相同,得 1 分,否则得 0 分.记

? 为四个小球得分总和.
(1)求 ? ? 2 时的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望.

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届江苏省南京市高三 9 月学情调研理科数学试卷参考答案 1. x 1 ? x ? 2, x ? R 或 ?1, 2 ? 【解析】 试 题 分 析 :

?

?

? A ? ? x x ? 2, x ? R?



B ? ? x 1 ? x ? 3, x ? R?



? A ? B ? ? x 1 ? x ? 2, x ? R? .
考点:集合的交集运算 2. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

【解析】

, 试 题 分 析 : 由 全 称 命 题 的 否 定 知 , 命 题 “ ?x ? R x ?2 x ?2 ?0 的 否 定 是 ”
2

“ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”.
2

考点:命题的否定 3. 2 . 【解析】 试题分析:?iz ? 1 ? i ,? z ?

1? i ? ?i ? 1 ? 1 ? i , z ? 12 ? ? ?1? 2 ? 2 . i

考点:复数的除法运算、复数的模 4. 31 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 次 循 环 , a ? 2 ?1 ? 1 ? 3 , a ? 3 ? 30 不 成 立 , 执 行 第 二 次 循 环 ; a ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 , a ? 7 ? 30 不成立,执行第三次循环;第三次循环, a ? 2 ? 7 ? 1 ? 15 , a ? 15 ? 30 不成立,执行第四次循环;第四次循环,a ? 2 ?15 ? 1 ? 31,a ? 31 ? 30 成立, 跳出循环体,输出的 a 值为 31 . 考点:算法与程序框图 5.

1 3

【解析】 试题分析:利用 x 、 y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号,用 ? x, y ? 表示其中一 个基本事件, 则事件总体所包含的基本事件有: 1, 2 ? , 1, 3 ? , 1, 4 ? , 2, 3 ? , 2, 4 ? , 3, 4 ? , ? ? ? ? ? ? 共 6 个;事件 “取出的两个球的编号大于 5 ” 所包含的基本事件有:? 2, 4 ? ,? 3, 4 ? ,共 2 个, 所以事件“取出的两个球的编号大于 5 ”发生的概率 P ? 考点:古典概型 6.

2 1 ? . 6 3

2 ?
答案第 1 页,总 16 页

【解析】 试题分析: 设圆柱的底面半径为 r , 高为 h , 底面积为 S , 体积为 V , 则有 2? r ? 2 ? r ?

1

?



1 1 2 ?1? 故底面面积 S ? ? r ? ? ? ? ? ? ,故圆柱的体积 V ? Sh ? ? 2 ? . ? ? ?? ? ?
2

2

考点:圆柱的体积 7. 4 【解析】

?x ? 0 ? 试题分析:如下图所示,不等式组 ? y ? 0 所表示的可行域如下图中的阴影部分表示, ?x ? 2y ? 4 ?
在直线方程 x ? 2 y ? 4 , y ? 0 , 令 解得 x ? 4 , 得点 A 的坐标为 ? 4, 0 ? , 作直线 l : z ? x ? y , 其中 z 可视为直线 l 在 x 轴上的截距,当直线 l 经过区域中的点 A ? 4, 0 ? 时,直线 l 在 x 轴上 的截距最大,此时 z 取最大值,即 zmax ? 4 ? 0 ? 4 .

y 2 x+2y=4 l:z=x+y A(4,0) x 4

O
考点:线性规划 8. y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0 【解析】

试 题 分 析 : ? y ? x ? sin x , ? y? ? 1 ? cos x , 当 x ? 0 时 , y? ? 1 ? cos 0? 2 故 曲 线 ,

y ? x ? sin x在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 y ? 0 ? 2 ? x ? 0 ? ,即 y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0 .
考点:利用导数求函数图象的切线方程 9. n
2

【解析】 试题分析:设等差数列 ? an ? 的首项 a1 与公差 d 的方程组,则有 ?

? a4 ? a1 ? 3d ? 7 ,解得 ? a8 ? a1 ? 7 d ? 15

答案第 2 页,总 16 页

n ? n ? 1? d n ? n ? 1? ? 2 ?a1 ? 1 ,故 Sn ? na1 ? ? n? ? n2 . ? d ?2 2 2 ?
考点:等差数列的前 n 项和 10.

5 2 ??? ? ? ? 1 ???? 1 ??? ? 1 ??? 1 ???? ??? BC ? AC ? AB ? AC ? AB , 2 2 2 2

【解析】 试 题 分 析 : ? D 为 BC 的 中 点 , ? BD ?

?

?

???? ??? ??? ? ? ? AD ? AB ? BD
??? ? 1 ???? 1 ??? ? 1 ??? 1 ???? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? AB ? ? AC ? AB ? ? AB ? AC ? ? 3 AF ? ? 2 AE ? AF ? AE ? x AF ? y AE 2 2 2 2 2 ?2 ? 2
,? x ?

3 3 5 , y ? 1,? x ? y ? ? 1 ? . 2 2 2

考点:平面向量的基底表示 11. ?1 【解析】 试题分析: a ? 0 时,f ? a ? ? 2 ? 1 ? 3 , 当 解得 a ? 1 ; a ? 0 时, a ? 0 , 当 由于函数 f ? x ? ?
a

是偶函数,

? f ? a ? ? f ? ?a ? ? 2? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? ?1 ,综上所述, a ? ?1 .
考点:函数的奇偶性 12. ?1, 2 ? 【解析】 试 题 分 析 : 法 一 : 如 下 图 所 示 , 设 B E ? x, 则 0 ? x ? 3 , 由 勾 股 定 理 易 得

A E?

2 A B ? B 2E ? 2

2

1 1 ? 2x? x 2 ? 4 , CE ? 3 ? x , CF ? CD ? ? 2 ? 1 , 2 2
2

EF ? CE 2 ? CF 2 ?

?3 ? x ?

? 12 ? x 2 ? 6 x ? 10



AF ? AD 2 ? DF 2 ? 32 ? 12 ? 10 ,由于 ?AEF 为钝 角,则 cos ?AEF ? 0 ,则有

AE2 ? EF2 ? AF2 ? 0 , 即

?x

2

? 4? ? x2 ? x ? 0 6 ? 1 ?

2 ?1 0 ? 2 x

? 6, 即 ? 0 x ? 4

x 2 ? 3x ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 ; ? 0

答案第 3 页,总 16 页

A

D F

B

E

C

法二:如下图所示,设 BC ? x ,则 0 ? x ? 3 ,以点 B 为坐标原点, BC 、 BA 所在的直线 分别为 x 轴、 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xBy , 则 A ? 0 , 2 , E ? x, 0 ? , F ? 3,1? , ?

??? ? ??? ? EA ? ? 0, 2 ? ? ? x, 0 ? ? ? ? x, 2 ? , EF ? ? 3,1? ? ? x, 0 ? ? ? 3 ? x,1? , ??AEF 是 钝 角 , 则
??? ??? ? ? EA ? EF ? 0 ,即 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? ? 2 ?1 ? 0 ,整理得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得1 ? x ? 2 ,且 A 、

E 、 F 三点不共线,故有 ? 3 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? ? 1 ,解得 x ? 6 .
y A D F

B

E

C

x

考点:余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 13.

2 5 5

【解析】 试题分析:由于 ?AOP 为等腰三角形,且 ?AOP ? 90 ,故有 AO ? OP ? a ,则点 P 的坐
?

标 为

? 0, a ?

, 设 点 Q 的 坐 标 为

? x, y ?

, PQ ? ? x, y ? ? ? 0, a ? ? ? x, y ? a ? ,

??? ?

??? ? ??? ? QA ? ? ?a, 0 ? ? ? x, y ? ? ? ?a ? x, ? y ? ,? PQ ?

2 ? ??? ? ?x ? ? 3 a ? x ? 2 ? ? ?a ? x ? ? ? 2a a ? 2QA ,则有 ? , ? ,将点 Q 的 ,解得 ? ,即点 Q 的坐标为 ? ? ? 3 3? ? y ? a ? ?2 y ?y ? a ? 3 ?
? 2 ? 1 ?a? 1 2 2 2 2 2 坐标代入椭圆的方程得 ? ? a ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ,解得 a ? 5b ,即 a ? 5 ? a ? c ? , ? 3 ? a ?3? b
2 2

答案第 4 页,总 16 页

c 2 5 c2 4 . ? 2 ? ,? e ? ? a 5 a 5
考点:共线向量、椭圆的离心率 14. ? 21, 24 ? 【解析】 试题分析:如下图所示,

y x=5

1 O a 1 b 3c 4 6 d x

由图形易知 0 ? a ? 1,1 ? b ? 3 ,则 f ? a ? ? log 3 a ? ? log 3 a , f ? b ? ? log 3 b ? log 3 b ,

? f ? a ? ? f ? b ? , ?? log3 a ? log3 b , ? ab ? 1 , 令

x2 ?1 0 ? x

1 2 1 0 x ? x ?8 ? 0 , 即 3 3 1 2 10 2 4,解得 x ? 4 或 x ? 6 ,而二次函数 y ? x ? x ? 8 的图象的对称轴为 ? 0 3 3

直线 x ? 5 ,由图象知, 3 ? c ? 5 , d ? 5 ,点 c, f ? c? 和点 d , f ? d? 均在二次函数

?

?

?

?

1 10 c?d y ? x2 ? x ? 8 的 图 象 上 , 故 有 ? 5 , ? d ? 10 ? c , 由 于 3 3 2 1 10 ? 当 f ? 3? ? ? 32 ? ? 3 ? 8 ? 1 , 1 ? x ? 3 时, f ? x ? ? log 3 x ? log 3 x , 0 ? log3 x ? 1 , 3 3

?1 ? b ? 3 ,? 0 ? f ? b ? ? 1,? f ? b ? ? f ? c ? ,? 0 ? f ? c ? ? 1 ,由于函数 f ? x ? 在 ? 3, 5 ?
上 单 调 递 减 , 且

f ? 3? ? 1



f ? 4? ? 0
2

, ,

?3 ? c ? 4 ?3 ? c ? 4

, ,

? abcd ? 1? cd ? cd ? c ?10 ? c ? ? ?c 2 ? 10c
2

? ? ? c ? 5 ? ? 25

? 21 ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ? 24 ,即 21 ? abcd ? 24 .
考点:函数的图象、对数函数、二次函数的单调性
? 15. (1) A ? 60 ; (2) S?ABC ? 10 3 .

【解析】 试题分析: (1)先根据平面向量垂直的等价条件得到等式
答案第 5 页,总 16 页

1 3 sin A ? cos A ? 0 ,再利用 2 2

弦化切的思想求出 tan A 的值,最终在求出角 A 的值; (2)解法一:在角 A 的大小确定的前 提 下 , 利 用 正 弦 定 理 与 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 求 出 s i nB 和 cos B , 并 利 用

s i n ? s i?nA? B 结合和角公式求出 sin C 的值, C 最后利用面积公式 S?ABC ? ?

出 ?ABC 的面积;解法二:利用余弦定理求出 c 的值,并对 c 的值进行检验,然后面积公式

1 ab sin C 求 2

1 S?ABC ? bc sin A 求出 ?ABC 的面积. 2
试题解析: (1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? 0 ,则 因为 0 ? A ? 90 ,所以 cos A ? 0 ,则 tan A ?
? ?

??

?

?? ?

1 3 sin A ? cos A ? 0 , 2 2
3 ,所以 A ? 60?

4分

7分

(2)解法一:由正弦定理得

a b ? ,又 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 , ? sin A sin B
9分

则 sin B ?

8 4 3 1 sin 60? ? ,因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 cos B ? , 7 7 7

因为 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 S?ABC ?

3 1 1 4 3 5 3 ? ? ? ? , 12 分 2 7 2 7 14
14 分

1 ab sin C ? 10 3 2
?

解法二:因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 , 所以由余弦定理可知, 49 ? 64 ? c 2 ? 2 ? 8c ?
2 2 2

1 2 ,即 c ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 3 或 c ? 5 , 2

当 c ? 3 时, c ? a ? b ? 9 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,不合乎题意; 当 c ? 5 时, c ? a ? b ? 25 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,合乎题意;
2 2 2

所以 S?ABC ?

1 bc sin A ? 10 3 2

14 分

考点:正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 16. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接 AC ,找到 AC 与 BD 的 交点 O 为 AC 的中点,利用三角形的中位线平行于底边证明 AP//OM ,最后利用直线与平 面平行的判定定理证明 AP // 平面 MBD ; (2)先证明 AD ? 平面 PBD ,得到 AD ? BD , 再由已知条件证明 BD ? PD , 最终利用直线与平面垂直的判定定理证明 BD ? 平面 PAD . 试题解析: (1)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OM , 因为底面 ABCD 是平行四边形,所以点 O 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点,所以 OM //PA , 4分 因为 OM ? 平面 MBD , AP ? 平面 MBD ,所以 AP // 平面 MBD 6分

答案第 6 页,总 16 页

P M D O A B
(2)因为 PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD , 8分 因为 AD ? PB , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,所以 AD ? 平面

C

PBD , 因为 BD ? 平面 PBD ,所以 AD ? BD , 10 分 因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD , 12 分 又因为 BD ? AD , AD ? PD ? D , AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 BD ? 平面 PAD 14 分
考点:直线与平面平行、直线与平面垂直 17.当休闲广场的长为 60 米,宽为 40 米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为 1944 平 方米. 【解析】 试题分析:先将休闲广场的长度设为 x 米,并将宽度也用 x 进行表示,并将绿化区域的面积

S 表示成 x 的函数表达式,利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值,但是要注意基本
不等式适用的三个条件. 试题解析:设休闲广场的长为 x 米,则宽为

2400 米,绿化区域的总面积为 S 平方米, x
6分

? 2400 ? S ? ? x ? 6? ? ? 4? ? x ? 2400 ? ? ? 2424 ? ? 4 x ? 6 ? ? x ? ? 3600 ? ? ? 2424 ? 4 ? x ? ? , x ? ? 6, 600 ? x ? ?
因为 x ? ? 6, 600 ? ,所以 x ? 当且仅当 x ?

8分

3600 3600 ? 2 x? ? 120 , x x

3600 ,即 x ? 60 时取等号 12 分 x 此时 S 取得最大值,最大值为 1944 . 答:当休闲广场的长为 60 米,宽为 40 米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为 1944 平
方米. 14 分 考点:矩形的面积、基本不等式

答案第 7 页,总 16 页

18. (1) 【解析】

x2 y2 (2) 2 2 . ? ? 1; 12 4

试题分析: (1)先根据题中的条件确定 a 、 c 的值,然后利用 b ?

a 2 ? c 2 求出 b 的值,从

而确定椭圆 C 的方程; (2)先确定点 M 的坐标,求出圆 M 的方程,然后利用点(圆心) 到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长. 试题解析: (1)设椭圆的方程为 解得 a ? 2 3 , 则c ? 2 2 ,b ?

c 6 a2 x2 y 2 , ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由题意知 ? ?3 2 , a 3 a2 b c

a 2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1 12 4

5分

(2)由题意可知,点 M 为线段 AB 的中点,且位于 y 轴正半轴, 又圆 M 与 x 轴相切,故点 M 的坐标为 ? 0, t ? , 不妨设点 B 位于第一象限,因为 MA ? MB ? t ,所以 B ? t , t ? , 7分

代入椭圆的方程,可得

t2 t2 ? ? 1,因为 t ? 0 ,解得 t ? 3 , 12 4

10 分

所以圆 M 的圆心为 0, 3 ,半径为 3 ,其方程为 x 2 ? y ? 3

?

?

?

?

2

?3

12 分

因为圆心 M 到直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

0 ? 3 ? 3 ?1 2

?1

14 分

故圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长为 2 考点:椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理

? 3?

2

? 12 ? 2 2

16 分

1? n ? m ? ?2n ? 4, ? 19. (1)数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ?? 1 ? n ? m ; ?? ? , m ? 1 ? n ? 2 m ?? 2 ?
(2)① m 的值为 7 或 21 ;②详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据数列的定义求出当 1 ? n ? 2m 时数列 ? an ? 的通项公式,注意根据 n 的

1 是等差数列部分还是等比 64 数列部分中的项,然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出 m 的值;②在(1)的基
取值利用分段数列的形式表示数列 ? an ? 的通项; (2)①先确定
答案第 8 页,总 16 页

础 上 , 先 将 数 列 ? an ? 的 前 2m 项 和 求 出 , 然 后 利 用 周 期 性 即 可 求 出 S 4 m ? 3 , 构 造

f ? m ? ? ?m2 ? 3m ? 1 ?

1 ,利用定义法求出 f ? m ? 的最大值,从而确定 S2m 和 S 4 m ? 3 的最 2m
?

大值,进而可以确定是否存在 m ? N ,使得 S4 m?3 ? 2 . 试题解析: (1)当 1 ? n ? m 时,由题意得 an ? ?2n ? 4 , 2分

?1? 当 m ? 1 ? n ? 2m 时,由题意得 an ? ? ? ?2?

n?m



4分

1? n ? m ? ?2n ? 4, ? 故数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ?? 1 ? n ? m ?? ? , m ? 1 ? n ? 2 m ?? 2 ?
(2)①因为 ?2n ? 1 ?
6

5分

1 1 无解,所以 必不在等差数列内, 64 64

1 ?1? 1 ? ? ? ,所以 必在等比数列内,且等比数列部分至少有 6 项, 因为 64 ? 2 ? 64
则数列的一个周期至少有 12 项, 所以第 27 项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内, 若 1 ? 27 ? 2m 时,则 a27 ? ? 7分

?1? ? ?2?

27 ? m

?

1 ,得 m ? 21 , 64
27 ?3 m

若 2m ? 1 ? 27 ? 4m ,则 a27 ? a27 ? 2 m 故 m 的值为 7 或 21 ②因为 S2 m

?1? ?? ? ?2?

?

1 ,得 m ? 7 , 64
9分

1 ? ?m2 ? 3m ? 1 ? m , a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 0 , 2

所以 S4 m ?3 ? 2S2 m ? a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? ?m ? 3m ? 1 ?
2

? ?

1 ? ?, 2m ?

12 分

记 f ? m ? ? ?m2 ? 3m ? 1 ?

1 1 ,则 f ? m ? 1? ? f ? m ? ? 2 ?1 ? m ? ? m?1 , m 2 2
14 分

因为 m ? 3 ,所以 f ? m ? 1? ? f ? m ? ? 0 ,即 f ? m ? 1? ? f ? m ? , 故 m ? 3 时, S2m 取最大,最大值为 从而 S 4 m ? 3 的最大值为

7 , 8
16

7 ,不可能有 S4 m?3 ? 2 成立,故不存在满足条件的实数 m 4

分 考点:等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和、数列的周期性、数列的单调性
答案第 9 页,总 16 页

20. (1)函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,1? ; (2)实数 a 的取值范围是 ? 【解析】 试题分析: (1)将 a ?

? 1 ? 2e ? ,0?. 2 ?e ? e ?

1 代入函数解析式并求出相应的导数,利用导数并结合函数的定义域 2

便可求出函数的单调递减区间; (2)构造新函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 2 ? x ,将问题转化为 “对任意 x ? ?1, e ? 时, F ? x ? ? 0 恒成立” ,进而转化为 F ? x ?min ? 0 ,围绕 F ? x ?min ? 0 这 个核心问题结合分类讨论的思想求出参数 a 的取值范围. 试题解析: (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 , ? x x
2分

当a ?

x2 ?1 1 时, f ? ? x ? ? , x 2

由 f ? ? x ? ? 0 及 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,1? (2)设 F ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 2 ? x ? ax ? ln x ? ?a ? 2 ? x ,
2

4分

因为对任意的 x ? ?1, e ? , f ? x ? ? ? a ? 2 ? x 恒成立,所以 F ? x ? ? 0 恒成立,

2ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 1 F ? ? x ? ? 2ax ? ? ? a ? 2 ? ? ? , x x x
因为 a ? 0 ,令 F ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 0 ? ?

1 1 , x2 ? ? 1 , a 2

7分

1 ? 1,即 a ? ?1 时, a

因为 x ? ?1, e ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减, 因为对任意的 x ? ?1, e ? , F ? x ? ? 0 恒成立, 所以 x ? ?1, e ? 时, F ? x ?min ? F ? e ? ? 0 ,即 ae ? 1 ? ? a ? 2 ? e ? 0 ,
2

解得 a ?

1 ? 2e 1 ? 2e ,因为 2 ? ?1。所以此时 a 不存在; 2 e ?e e ?e

10 分

②当 1 ? ?

1? 1 1 ? ? 1 ? ? e ,即 ?1 ? a ? ? 时,因为 x ? ?1, ? ? 时, F ? ? x ? ? 0 , x ? ? ? , e ? 时, a? a e ? ? a ?

F?? x? ? 0 ,

答案第 10 页,总 16 页

所以 F ? x ? 在 ? 1, ?

? ?

1? ? 1 ? ? 上单调递增,在 ? ? , e ? 上单调递减, a? ? a ?

因为对任意的 x ? ?1, e ? , F ? x ? ? 0 恒成立,所以 F ?1? ? 2 ? 0 ,且 F ? e ? ? 0 ,

1 ? 2e , e2 ? e 1 ? 2e 1 1 ? 2e 1 因为 ?1 ? 2 ? ? ,所以此时 2 ?a?? ; e ?e e e ?e e 1 1 ③当 ? ? e ,即 ? ? a ? 0 时,因为 x ? ?1, e ? 时, F ? ? x ? ? 0 , a e
即 ae ? 1 ? ? a ? 2 ? e ? 0 ,解得 a ?
2

13 分

所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,由于 F ?1? ? 2 ? 0 ,符合题意; 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?

15 分

? 1 ? 2e ? ,0? 2 ?e ? e ?

16 分

考点:函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论 21.详见解析 【解析】 试题分析:连接 AB ,先利用题中条件求出 ?ABO ? 45
?

,然后利用弦切角定理证明

?OBC ? ?ADE ? ?ABO .
试题解析:如下图所示,连接 AB ,由于 OA ? OB ,??AOB ? 90 ,
?

又?OA ? OB ,故 ?AOB 为等腰直角三角形,且 ?ABO ? 45 ,
?

4分 6分 10 分

因为 DE 切圆 O 于点 D ,由弦切角定理知 ?ADE ? ?ABC ,

??OBC ? ?ADE ? ?OBC ? ?ABC ? ?ABO ? 45? .
B

O

C

A

E

D
考点:等腰三角形、弦切角定理 22. a ? 1 , b ? 2 . 【解析】 试题分析:确定变换前的坐标 ? x, y ? 个变换后的坐标 ? x?, y? ? 之间的关系,然后用坐标
答案第 11 页,总 16 页

? x?, y?? 来表示坐标 ? x, y ? ,并将上一步的结果代入直线 l 便可以得到一条直线方程,根据两
者的系数关系求出 a 、 b 的值. 试题解析:设坐标 ? x, y ? 在矩阵 M 的变换后的坐标为 ? x?, y? ? ,

? x? ? 则有 ? ? ? ? y? ?


bx? ? 2 y? ? ? x ? ab ? 6 a ?2 ? ? x ? x? ? ax ? 2 y ? ? ? , ?3 b ? ? y ? ,于是有 ? y? ? 3x ? by ,解得 ? ? ?? ? ? ? y ? ?3 x? ? ay? ? ab ? 6 ?
bx? ? 2 y? 2 ? ?3x? ? ay? ? ? ?1 ? 0 , ab ? 6 ab ? 6

4

将上述结果代入直线 l 的方程得

化简得 ? b ? 6 ? x? ? ? 2a ? 2 ? y? ? ? ab ? 6 ? ? 0 , (*) 于是有

6分

? a ? 1 ? a ? ?1 b ? 6 2a ? 2 ab ? 6 ,解得 ? 或? , ? ? 1 ?1 ?2 ?b ? 2 ?b ? 6

8分

当 a ? ?1 , b ? 6 时,代入(*)式得 0 ? x ? 0 ? y ? 0 ? 0 ,不合乎题意,舍去! 分 综上所述 a ? 1 , b ? 2 . 考点:矩阵变换 23. 3 2 ? 2 【解析】 10 分

9

试题分析: 将极坐标方程化为直角坐标方程, 求出圆心到直线的距离 d 并判断直线与圆的位 置关系, 在直线与圆相离的前提下, 利用结论: 圆上一点到直线的距离的最大值为 d ? r(其 中 r 为圆的半径长)求解该问题. 试题解析:在圆的极坐标方程两边同时乘以 ? 得 ? ? 4 ? sin ? ,
2
2 2 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ,即 x ? ? y ? 2 ? ? 4 , 2

3分 4分

故圆的圆心坐标为 ? 0, 2 ? ,半径为 2 , 将直线的极坐标方程 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 , 4?

6分

所以圆的圆心到直线的距离为 d ?

0?2?4 1 ? ? ?1?
2 2

? 3 2 ? 2 ,故直线与圆相离,

8分

于是圆 ? ? 4sin ? 上的点到直线 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 2 的距离的最大值为 3 2 ? 2 4?

10 分

答案第 12 页,总 16 页

考点:极坐标与直角坐标的转化、点到直线的距离 24. ? ??, 0 ? 【解析】 试题分析:先构造函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 ,去绝对值,将函数的解析式利用分段函数的 形式求出,将问题转化为分段不等式进行求解. 试题分析:令 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 , 当 x ? ?2 时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? ? x ? 2 ? ? ?1 ? x ? ? ?3 , 此时 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 ? 1 恒成立; 分 当 ?2 ? x ? 1 时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? ?1 ? x ? ? 2 x ? 1 , 令 f ? x ? ? 1 ,即 2 x ? 1 ? 1 ,解得 x ? 0 ,由于 ?2 ? x ? 1 ,则有 ?2 ? x ? 0 ; 分 当 x ? 1时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ? 3 , 此时 f ? x ? ? 1 不成立, 分 综上所述, 不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 的解集为 ? ??, 0 ? . 分 考点:含绝对值不等式的解法、分段函数 25. (1) 【解析】 试题分析: (1)先建系,并写出各点的坐标,利用向量法求出异面直线 A1 E 、CF 所成的角; (2)先求出平面 A1 EF 与平面 ADD1 A1 的法向量,然后利用法向量来计算平面 A1 EF 与平 面 ADD1 A1 所成的锐二面角的余弦值. 试题解析: 由于 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正四棱柱, 不妨以点 D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 10 9 6 3

3 ? ; (2) . 3 6

z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

A1 ? 2, 0,1 , C ? 0, 2, 0 ? , E ?1, 2, 0 ? , ?

答案第 13 页,总 16 页

???? ??? ? F ? 0,1,1? ,则 A1 E ? ?1, 2, 0 ? ? ? 2, 0,1? ? ? ?1, 2, ?1? , CF ? ? 0,1,1? ? ? 0, 2, 0 ? ? ? 0, ?1,1? ,
1分

z D1 A1 D A x B E F B1 C y C1

???? ??? ? ???? ? A1 E ? CF ? ? ?1? ? 0 ? 2 ? ? ?1? ? ? ?1? ?1 ? ?3 , A1E ?

? ?1?

2

? 22 ? ? ?1? ? 6 ,
2

??? ? 2 CF ? 02 ? ? ?1? ? 12 ? 2
3分 设异面直线 A1 E 、 CF 所成的角为 ? ,

? 2



???? ??? ? ???? ??? ? A1 E ? CF 则 cos ? ? cos A1 E , CF ? ???? ??? ? ? A1 E ? CF
即异面直线 A1 E 、 CF 所成的角为 分

?3 3 ? ? ,?? ? , 2 6 6? 2
4

? ; 6

(2)如上图所示,则 A1 ? 2, 0,1? , E ?1, 2, 0 ? , F ? 0,1,1? ,设平面 A1 EF 的一个法向量为

?? m ? ? x, y , z ? , ???? ???? ? A1 E ? ? ?1, 2, ?1? , A1 F ? ? 0,1,1? ? ? 2, 0,1? ? ? ?1,1, 0 ? ,
?? ???? ? ?? ???? ? ? m ? A1 F ,? m ? A1 F ? 0 ,即 ? x ? y ? 0 ,解得 x ? y , ?? ???? ?? ???? ? m ? A1 E ,? m ? A1 E ? 0 ,即 ? x ? 2 y ? z ? 0 ,将 x ? y 代入得 z ? y ,
令 6分 同 7分 理 可 知 平 面

y ?1 , 可 得 平 面

A1 EF

的 一 个 法 向 量 为

?? m ? ?1,1,1? ? n ? ? 0,1, 0 ?



ADD1 A1

















?? ? ?? ? ? m ? n ? 1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 ? 1 , ? m ? 12 ? 12 ? 12 ? 3 , n ? 02 ? 12 ? 02 ? 1 ,

答案第 14 页,总 16 页

8分 设平面 A1 EF 与平面 ADD1 A1 所成锐二面角的平面角为 ? ,

?? ? ?? ? m?n 则 cos ? ? cos m, n ? ?? ? ? m?n

1 3 ? , 3 3 ?1
3 . 3

即 平 面 A1 E F 平 面 ADD1 A1 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 与 10 分 考点:异面直线所成的角、二面角、空间向量法 26. (1) 【解析】

1 ; (2)详见解析. 4

试题分析: (1)先确定 ? ? 2 时对应的事件,然后利用排列组合的相关知识求解; (2)将随 机变量 ? 的可能取值确定下来,然后将对应的概率计算出来,列出分布列求出 ? 的数学期望 与方差. 试题解析: (1) ? ? 2 时,则编号为 1,2,3,4 的四个小球中有且仅有两个小球的编号与 盒子的编号相同, 故 3分 (2) 的可能取值有 0 、 、 、 , ? 1 2 4 分 则 P ?? ? 1? ?
1 C4 ? 2 1 C2 1 ? , P ?? ? 2 ? ? 4 ? , 4 4 A4 3 A4 4

P ?? ? 2 ? ?

2 C4 1 ? 4 A4 4





? ?2











1 4



4

P ?? ? 4 ? ?

1 1 1 1 1 3 ? , P ?? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? , 4 A4 24 3 4 24 8

故 ? 的分布列如下表所示

?
P
8分

0
3 8

1
1 3

2
1 4

4
1 24

答案第 15 页,总 16 页

3 1 1 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ?1 8 3 4 24
9分



3 1 1 1 2 2 2 2 D? ? ? 0 ? 1? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? 4 ? 1? ? ?1 8 3 4 24
10 分 考点:排列组合、随机变量的分布列、数学期望与方差

.

答案第 16 页,总 16 页


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