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新乡许昌平顶山2014届高三第二次调研考试理科数学试题


新乡许昌平顶山 2014 届高三第二次调研考试理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,

1. 集合 A= {x | ( x ?1)(2 x ? 3) ? 1} ,B= {x | ?1 ? x ? } ,则 A∩B 为 A. {x |

3 2

1 3 ?x? } 2 2

B. {x |1 ? x ? }

3 2

C. {x |

1 3 ?x? } 2 2

D. {x |

1 3 ?x? } 2 2

2. 在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大构成等差数列

{an } ,已知 a2 ? 2a1 ,且样本容量为 300,则小长方形面积最大的一组的频数为:
A. 100 B. 120 C. 150 D. 200

3. 复数 z1、z 2 满足 z1 ? m ? (4 ? m2 )i, z 2 ? 2cos ? ? (? ? 3sin ? )i (m, ?, ?∈R) ,并且 z1 ? z 2 ,则? 的取值范围是 A. [-1, 1] 4. 9 B. [- , 1] 16 9 C. [- ,7] 16 9 D. [ ,7] 16

1 x2 y2 已知?是三角形的最大内角,且 cos2?= ,则曲线 ? ? 1 的离心率为 2 cos ? sin ? A. 2 B. 3 C. 1 ? 2 D.

1? 3

? ?x-3y+15≥0 5. 已知实数 x, y 满足不等式组?3x+y-35≤0, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? ?y≥5
A. 15 B. 17 C. 20 D. 30 6. 已知 i 为执行如图所示的程序框图输出的结果,则二项式

(i, x ?
A. 192

1 6 ) 的展开式中含 x ?2 项的系数是 x
B. 32 C. -42 D. -192

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) 有共同的焦点 F1, 7. 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 和椭圆 F2 , P 是两条曲线 a b m n ???? ???? ? 的一个交点,则 PF1 ? PF2 ?
2 2 A. m ? a

B.

m? n

C.

1 (m ? a) 2

D. m ? a

8. 已知函数 f ( x) ? e x ,如果 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,下列关于 f ( x) 的性质:
① ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0, ③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( ② y = f ( x) 不存在反函数,

x1 ? x2 ) 2
B. ①④

, ④方程 f ( x) ? x 2 在(0,+∞)上没有实数根,

其中正确的是 A. ①②

C. ①③
1

D. ③④

9. 设 {an } 是等比数列,Sn 是 {an } 的前 n 项和,对任意正整数 n,有 an ? 2an?1 ? an ? 2 ? 0, 有a1 =2 ,则 S101 的值为 A. 2 B. 200 10. 在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC, D 为侧棱 PC 上的一点,它 的正视图和侧视图如图所示,则下列命 题正确的是 C. -2 D. 0

A.

8 AD⊥平面 PBC, 且三棱锥 D-ABC 的体积为3

8 B. BD⊥平面 PAC, 且三棱锥 D-ABC 的体积为3 16 C. AD⊥平面 PBC, 且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 16 D. AD⊥平面 PAC, 且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 11. 已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是 A. f ( x) 既是偶函数又是周期函数 ? C. f ( x) 的图象关于点( ,0)对称 2 B. f ( x) 最大值是 1 D. f ( x) 的图象关于直线 x=?对称.


12. 自平面上一点 O 引两条射线 OA, OB, 点 P 在 OA 上运动, 点 Q 在 OB 上运动且保持|PQ|为定值

??? ? ??? ? ??? ? ???? PO ? PQ QP ? QO a (点 P,Q 不与点 O 重合),已知∠AOB=60°, a = 7, 则 ??? ? ? 3 ???? 的取值范围为 PO QO
7 B. ( 2 , 7] 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 1 A. (2 , 7] 1 C. (-2 , 7] 7 D. (- 2 , 7]

13. 过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,且与直线 2 x ? 3 y ? 0 垂直的直线方程为______________. 14. 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,则这个五面体的面中两两互相垂直 的共有_________对. 15.已知 g ( x) ? ? x2 ? 4, f ( x ) 为二次函数, 满足 f ( x) ? g ( x) ? f (? x) ? g (? x) ? 0,且 f ( x) 在[-1,2]上 的最大值为 7,则 f ( x) =________. 16. 如图所示,将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一 个群,从上到下顺次为第一群,第二群,?,第 n 群恰 好 n 个群.则第 n 群中 n 个数的和是

2

三.解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 m =(cosA, 3sinA), n =(2cosA,-2cosA),
→ → →

m · n =-1. 错误!未定义书签。



(Ⅰ)若 a =2 3,c=2,求?ABC 的面积; (Ⅱ)求

b ? 2c 的值. a cos(60? ? C )

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学进行劳动技术比赛,决出第一名至第五名的名次. 比赛之后甲乙两位参 赛去询问成绩, 回答者对甲说 “很遗憾, 你和乙都没有得到冠军” , 对乙说: “你当然不会是最差的. ” (Ⅰ)从上述回答分析,5 人的名次排列共可能有多少种不同的情况; (Ⅱ)比赛组委会规定,第一名获奖金 1000 元,第二名或奖金 800 元,第三名获奖金 600 元,第四 及第五名没有奖金.求丙获奖金数的期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,PC⊥底面 ABCD, PC=2,且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形.E 是最短的侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ)求证:P、A、B、C、D 五点在同 一个球面上,并求该球的体积; (Ⅱ)如果点 F 在线段 BD 上,DF=3BF, PE EF∥平面 PAB,求 的值; EC
(Ⅲ)求二面角 B-EF-C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F2 作与 x 轴垂直的直线 l 与该圆 2 2 a b


交于 A,B 两点,与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 C、D 两点,且 AB = (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

2→ CD. 2

(Ⅱ)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 E 交于 G、H 两点,设 P 为椭圆 E 上一点,且满足OG+OH=tOP(O 为坐标原点),当|OG-OH|<
→ →

→ →



8 11 时,求实数 t 的取值范围. 3
3

21. (本小题满分 12 分)

x3 已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3
(Ⅰ)若 y ? f ( x) 在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a =1 (1 ? x)3 b 时,方程 f (1 ? x) ? ? 有实根,求实数 b 的最大值. 2 3 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

22. (本小题满分10分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,?ABC 是圆 O 的内接三角形, AC =BC,D 为弧 AB 上任一点,延长 DA 至点 E,使 CE=CD. (Ⅰ)求证:AE=BD;
(Ⅱ)若 AC⊥BC,求证:AD+BD= 2CD.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? ? x ? cos ? 2 ? (t 为参数),曲线 C1 : ? 已知直线 l : ? (?为参数). ? y ? sin ? ?y ? 3 ? ? 2
(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; 1 3 (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2, 2 2 设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求直线 l 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ≥2; (Ⅱ)若 a >1,? x ? R , f ( x) ? x ? 1 ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

4

5

6

7

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