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2009届高三数学第二轮复习课件:平面解析几何


试题特点 1、近年高考平面解析几何试题情况统计 、 2008年高考各地的 套 ( 每套试题含文理各 份 , 江苏 年高考各地的19套 每套试题含文理各1份 年高考各地的 文理合一) 出现不等式的选择题有37道 文理合一)试卷中,出现不等式的选择题有 道,填空题有 26道, 解答题 道 ; 全国共 份高考试卷 , 选择题 道 , 道 解答题31道 全国共37份高考试卷 选择题37道 份高考试卷, 说明每道试卷都有平面解析几何的选择题,填空题解答题 说明每道试卷都有平面解析几何的选择题, 也不少,因此,平面解析几何可以说是必考题型。 也不少,因此,平面解析几何可以说是必考题型。 2、主要特点 、 特点一:分值比重大 分值比重大. 特点一 分值比重大 解析几何在每份试卷中所占分值较大,2008年海南理 解析几何在每份试卷中所占分值较大, 年海南理 科卷,出现2道选择题 道选择题, 道填空题 道填空题, 道解答题 道解答题, 道选做 科卷,出现 道选择题,1道填空题,1道解答题,1道选做 分值为最高为37分 其它省份一般也有20分以上 分以上; 题,分值为最高为 分。其它省份一般也有 分以上;题 量一般在3~5题,其中一题为综合题。 量一般在 题 其中一题为综合题。

试题特点 特点二:考小题 重在于基础 特点二 考小题,重在于基础 考小题 重在于基础. 有关解析几何的小题,其考查的重点在于基础知识 其中, 其考查的重点在于基础知识:其中 有关解析几何的小题 其考查的重点在于基础知识 其中 直线与圆、 直线与圆、圆锥曲线等内容的试题都突出了对解析几何基础 知识的考查,如求直线方程,圆的方程, 知识的考查,如求直线方程,圆的方程,圆锥曲线的离心率 等基础知识. 等基础知识 特点三:考大题 注重综合考查 特点三 考大题,注重综合考查 考大题 考查平面解析几何的大题中, 考查平面解析几何的大题中,一般是考查圆锥曲线的 大题,重点考查抛物线、双曲线、椭圆的相关内容, 大题,重点考查抛物线、双曲线、椭圆的相关内容,考查 直线与圆锥曲线之间的关系,圆锥曲线之间的关系, 直线与圆锥曲线之间的关系,圆锥曲线之间的关系,也经 常与向量、不等式等知识相结合,难度属中等偏难, 常与向量、不等式等知识相结合,难度属中等偏难,主要 考查学生对基本知识,基本方法 基本技能的理解,掌握和应 基本方法,基本技能的理解 考查学生对基本知识 基本方法 基本技能的理解 掌握和应 用情况. 用情况

高考命题趋势 纵观2008年高考全国卷和有关省市自主命题卷,关于 年高考全国卷和有关省市自主命题卷, 纵观 年高考全国卷和有关省市自主命题卷 解析几何的命题有如下几个显著特点: 解析几何的命题有如下几个显著特点: 1.高考题型:解析几何的试题一般是选择题、填空题、解答 高考题型:解析几何的试题一般是选择题、填空题、 高考题型 题都会出现。 题都会出现。 2.难易程度:考查解析几何的选择题、填空题为基础题或中 难易程度:考查解析几何的选择题、 难易程度 档题,解答题一般会综合考查,以中等偏难试题为主。 档题,解答题一般会综合考查,以中等偏难试题为主。 3.高考热点:解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质,直线 高考热点:解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质, 高考热点 和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题, 和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题,仍然以考查方程思 想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。 想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。坐标法使平面 向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。 向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。相关交 汇试题应运而生, 汇试题应运而生,涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是 命题亮点。 命题亮点。

复习备考方略

1.加强直线和圆锥曲线的基础知识,初步掌握了 加强直线和圆锥曲线的基础知识, 加强直线和圆锥曲线的基础知识 解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方 法。 2.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容, .由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容, 选择、填空题灵活多变,思维能力要求较高, 选择、填空题灵活多变,思维能力要求较高,解答 题背景新颖、综合性强,代数推理能力要求高, 题背景新颖、综合性强,代数推理能力要求高,因 此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、 此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热 点问题作深入的研究。 点问题作深入的研究。 3.在第一轮复习的基础上,再通过纵向深入,横 .在第一轮复习的基础上,再通过纵向深入, 向联系, 向联系,进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思 想和方法,提高我们分析问题和解决问题的能力。 想和方法,提高我们分析问题和解决问题的能力。

考题剖析

考点一: 考点一:点、直线、圆的位置关系问题 直线、 内容解读】点与直线的位置关系有:点在直线上、 【内容解读】点与直线的位置关系有:点在直线上、 直线外两种位置关系,点在直线外时, 直线外两种位置关系,点在直线外时,经常考查点到 直线的距离问题;点与圆的位置关系有:点在圆外、 直线的距离问题;点与圆的位置关系有:点在圆外、 圆上、圆外三种;直线与圆的位置关系有: 圆上、圆外三种;直线与圆的位置关系有:直线与圆 相离、相切、相交三点, 相离、相切、相交三点,经常用圆心到直线之间的距 离与圆的半径比较来确定位置位置关系; 离与圆的半径比较来确定位置位置关系;圆与圆的位 置关系有:两圆外离、外切、相交、内切、内含五种, 置关系有:两圆外离、外切、相交、内切、内含五种, 一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离, 一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离,再与 两圆的半径之和或差比较。 两圆的半径之和或差比较。 命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主, 【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主, 难度不大,属容易题。 难度不大,属容易题。

考题剖析

例 1、 (2007 安徽文)若圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 的圆心到直线
2 x ? y + a = 0 的距离为 ,则 a 的值为( 2 1 3 (A)-2 或 2 (B) 2 或 2 (C)2 或 0

) (D)-2 或 0

x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 的 圆 心 (1 , 2) 到 直 线 解:因为圆

x ? y + a = 0 的距离为

|1 ? 2 + a | 2 = 2 2

2 2



,∴ a=2 或 0,故选 C。

[点评]本题考查圆的方程,点到直线的距离公式, 点评]本题考查圆的方程,点到直线的距离公式, 属容易题。 属容易题。

考题剖析

x 2 + y 2 ? 2ay = 0(a > 0) 例 2、 2006 安徽卷) ( 安徽卷) 直线 x + y = 1 与圆

没有公共点,则 a 的取值范围是( A. (0, 2 ? 1) C. ( ? 2 ? 1, 2 + 1) D. (0, 2 + 1)



B. ( 2 ? 1, 2 + 1)

2 2 解:由圆 x + y ? 2ay = 0(a > 0) 的圆心 (0, a ) ,半径为 a ,

圆心到直线 x + y = 1 大于 a ,
| a ?1 | 即: 2 > a ,且 a

> 0,

解得:0< a < 2 -1,故选 A。

[点评]本题考查圆的标准方程,点到直线的距离公式,直线 点评]本题考查圆的标准方程,点到直线的距离公式, 与圆的位置关系。 与圆的位置关系。

考题剖析

例 3、(2008 重庆理 重庆理)圆 O1:x2+y2-2x=0 和 圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是 ( ) (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
解:配方,得:圆 O1: -1)2+y2=1, (x 圆 O2:x2+(y-2)2=4, 圆心为(1,0)(0,2) , ,半径为 r=1,R=2, ( 圆心之间距离为: (1 - 0) + 0 - 2) = 5 , 因为2-1< 5 <2+1, 所以,两圆相交.选(B) .
2 2

[点评]两圆的位置关系有五种,通常是求两圆心之间的距 点评]两圆的位置关系有五种, 离,再与两圆的半径之和或之差来比较,确定位置关系. 再与两圆的半径之和或之差来比较,确定位置关系.

考题剖析

考点二:直线、 考点二:直线、圆的方程问题 【内容解读 内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、 内容解读 两点式、.截距式、一般式五种形式,各有特点, 根据具体问题,选择不同的解析式来方便求解。圆 的方程有标准式一般式两种;直线与圆的方程问题, 经常与其它知识相结合,如直线与圆相切,直线与 直线平行、垂直等问题。 【命题规律 命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填 命题规律 空题形式出现,属容易题。

考题剖析
例 4、 (2008 重庆理 重庆理)直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3) 相交于两点 A,B,弦 AB 的中点为(0,1) ,则直线 l 的方程为

解:设圆心 O (?1, 2) ,直线 l的斜率为 k, 弦 AB 的中点为 P,PO 的斜率为 kop , kop = 由点斜式得 y = x ? 1
2 ?1 , ?1 ? 0

因为 l ⊥ PO ,所以 k ?kop = k ? ( ?1) = ?1∴ k = 1 ,

[点评]本小题考查平面几何中的垂径定理,圆的 点评]本小题考查平面几何中的垂径定理, 标准方程,直线的点斜式方程等知识。 标准方程,直线的点斜式方程等知识。

考题剖析
天津文)已知圆 C 的圆心与点 O(-2,1)关于 例 5、(2008 天津文 直线 y=x+1 对称.直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A、B 两 点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为
解:点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称点为

(0,-1) ,即圆心的坐标为(0,-1) , 圆心到直线的距离为:
| ? 4 ? 11 | 32 + 42
2


2

( ? 4 ? 1 1) 2 = 18 由垂径定理,勾股定理,得 r = 3 + 52



x 2 + ( y + 1) 2 = 1 8 . 所以,圆的方程为

[点评]考查直线与圆的方程问题,经常用到平 点评]考查直线与圆的方程问题, 面几何知识,如垂径定理、勾股定理等。 面几何知识,如垂径定理、勾股定理等。

考题剖析

考点三: 曲线(轨迹) 考点三: 曲线(轨迹)方程的求法 【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点,常 内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点, 见的求轨迹方程的方法: 见的求轨迹方程的方法: 直接法+ (1)单动点的轨迹问题 )单动点的轨迹问题——直接法+ 待定系数法; 直接法 待定系数法; 代入法; (2)双动点的轨迹问题 )双动点的轨迹问题——代入法; 代入法 交轨法。 (3)多动点的轨迹问题 )多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。 参数法 【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现, 命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现, 属中档题。 属中档题。

考题剖析
例 6、 (2008 广东吴川模拟)已知点 P(-8,0)和圆 C:
x 2 + y 2 ? 2 x + 10 y + 4 = 0 。

(1)求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l 的方程; (2)过 P 点向圆 C 引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹。
2 2 解:(1)化圆的方程为: (x ? 1) + ( y + 5) = 22 ,

圆心坐标: C (1, ?5) 由题意可得直线 l 经过圆 C 的圆心,由两点式方程得:
y ?0 x+8 = 5 x + 9 y + 40 = 0 , ?5 ? 0 1 + 8 ,化简得:

所以,所求直线 l 的方程是: 5 x + 9 y + 40 = 0

考题剖析
(2)解:设中点 M ( x, y ) , ∵CM⊥PM ∴ ?PCM 是直角三角形, 有: PM + MC = PC
2 2
2 2

2
P A

y

即: ( x + 8 ) + y + ( x ? 1) + ( y + 5) = 106
2 2

M C

x B

2 2 化简得: x + 7 x + y + 5 y ? 8 = 0

x 2 + 7 x + y 2 + 5 y ? 8 = 0 在圆 C 内 故中点 M 的轨迹是圆

部的一段弧。

[点评]合理应用平面几何知识,这是快速解答本题的 点评]合理应用平面几何知识, 关键所在。要求掌握好平面几何的知识,如勾股定理, 关键所在。要求掌握好平面几何的知识,如勾股定理, 垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。 垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。

考题剖析

考点四:有关圆锥曲线的定义的问题 考点四: 【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是 内容解读】 椭圆、双曲线、 经常考查的内容,除了在大题中考查轨迹时用到外, 经常考查的内容,除了在大题中考查轨迹时用到外, 经常在选择题、填空题中也有出现。 经常在选择题、填空题中也有出现。

【命题规律】填空题、选择题中出现,属中等偏易 命题规律】填空题、选择题中出现, 题。

考题剖析
例 7、 2008 辽宁理)在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两 ( 辽宁理)
点 (0, ? 3), (0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y = kx + 1 与 C 交于 A,B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA ⊥ OB ,求 k 的值; ⑶若点 A 在第一象限,证明:当 k > 0 时,恒有 OA > OB .

解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以
(0, 3),, 3) 为 焦 点 , 长 半 轴 为 2 的 椭 圆 . 它 的 短 半 轴 ? (0

b = 22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 故曲线 C 的方程为 x + 4 = 1
2

考题剖析
? 2 y2 = 1, ?x + 4 ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? ? y = kx + 1.

消去 y 并整理得 (k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?
2k 3 ,x1 x2 = ? 2 k2 + 4 k +4.

2 若 OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 .而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,

3 3k 2 2k 2 于是 x1 x2 + y1 y2 = ? k 2 + 4 ? k 2 + 4 ? k 2 + 4 + 1 = 0 ,

化简得 ?4k

2

1 k=± . + 1 = 0 ,所以 2

(Ⅲ) OA ? OB = x + y1 ? ( x2 + y2 )
2 1
2 2 = ( x12 ? x2 ) + 4(1 ? x12 ? 1 + x2 )

2

2

考题剖析 2 2 2

= ?3( x1 ? x2 )( x1 + x2 )
= 6k ( x1 ? x2 ) . k2 + 4

因为 A 在第一象限,故 x1 > 0 .由 x1 x2 = ? 从而 x1 ? x2 > 0 .又 k 故 OA ? OB > 0 , 即在题设条件下,恒有 OA > OB .
2 2

3 知 x2 2 k +4

< 0,

>0,

[点评]本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程 点评]本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、 及直线与椭圆位置关系等基础知识, 及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何 知识解决问题的能力

考题剖析
湖北理) 例 8、 2008 湖北理)如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直 、 (
径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点, ∠POB=30°, 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的 轨迹,且曲线 C 过点 P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. .... ....

( ) 解: 1)以 O 为原点,AB、OD 所在直
线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) , 依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
2 2 2 2 = (2 + 3 ) + 1 ? (2 ? 3) + 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c,

考题剖析
则 c=2,2a=2 2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

x2 y2 ? =1 ∴曲线 C 的方程为 2 . 2
(Ⅱ)依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整 理得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
?1 ? k 2 ≠ 0 ? ∴? ? 2 2 ?? = (?4k ) + 4 × 6(1 ? k ) > 0 ?

? k ≠ ±1 ? , ? ?? 3 < k < 3 ?

∴ k ∈ (? 3, 3)且k ≠ ±1


4k 6 , x1 x 2 = ? x1+x2= 1 ? k 2 1? k

设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 |EF|= =
2

,于是

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 + x 2 ) 2 = (1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2 2

1 + k ? ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 1 + k ?

2 2 3? k2 1? k
2

.

考题剖析
而原点 O 到直线 l 的距离 d= 1 + k 2 ,
2 1 1 2 2 2 3? k2 2 2 2 3? k ∴S△DEF= 2 d ? EF = 2 ? 1 + k 2 ? 1 + k ? 1 ? k 2 = 1 ? k 2 .

2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ≥ 2 2 ,则有
2 2 3? k2 1? k 2 ≥ 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ≤ 0, 解得 ? 2 ≤ k ≤ 2 . 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为

k ∈ [ ? 2, 2]且k ≠ ±1
[点评]本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几 点评]本小题主要考查直线、 何的基础知识,考查轨迹方程的求法、 何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及 综合解题能力. 综合解题能力

考题剖析

考点五: 考点五:圆锥曲线的几何性质 内容解读】 【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称 顶点坐标、离心率,双曲线的对称性、 性、顶点坐标、离心率,双曲线的对称性、顶点坐 离心率和近近线,抛物线的对称性、顶点坐标、 标、离心率和近近线,抛物线的对称性、顶点坐标、 离心率和准线方程等内容, 离心率和准线方程等内容, 离心率公式一样,范围不一样, 离心率公式一样,范围不一样,椭圆的离心率在 ,+∞)之间, (0,1)之间,双曲线的离心率在(1,+ )之间, )之间,双曲线的离心率在( ,+ 抛物线的离心率为1, 抛物线的离心率为 , 【命题规律】考查圆锥曲线的几何性质包括焦距、 命题规律】考查圆锥曲线的几何性质包括焦距、 离心率,双曲线的渐近线等内容, 离心率,双曲线的渐近线等内容,一般以选择题或 填空题为主,属中档题或容易题。 填空题为主,属中档题或容易题。

考题剖析

例9、 (2008 江西文、 ) 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点. 江西文 理 满
足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值 范围是( ) A.(0,1) C.(0,
2 2

B.(0, 2 ] ) D.[
2 2

1

,1)

解 :由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,
c < b ? c 2 < b2 = a 2 ? c 2 ? e2 < 则 1 2

2 又 e ∈ (0,1) ,所以 e ∈ (0, 2 ) ,所以,选(C) 。

[点评]本题考查向量垂直,圆的判定,椭圆 点评]本题考查向量垂直,圆的判定, 的离心率等知识,属中档题。 的离心率等知识,属中档题。

考题剖析
9 y 2 ? m 2 x 2 = 1(m > 0) 的 辽宁文) 例 10、(2008 辽宁文 已知双曲线 0
1 一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5 ,则 m = (

)

A.1

B.2

C.3

D.4

1 1 1 9 y 2 ? m 2 x 2 = 1(m > 0) ? a = , b = , 取顶点 (0, ) , 解: 3 3 m 1 | ?3 × | 1 2 mx ? 3 y = 0, ∵ 5 = 2 3 ? m + 9 = 25 ∴ m = 4. 一条渐近线为 m +9

故选(D) 。

点评:本题主要考查双曲线的渐近线方程,点到 点评 直线的距离公式问题,难度不大。

考题剖析 x 2 y 2 例 11、(2008 陕西文、理) 双曲线 a 2 ? b2 陕西文、

= 1( a

> 0 ,b > 0 )的

左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的直线交双曲 线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( ) A. 6 B. 3 C. 2
3 D. 3

解:如图在 Rt ?MF1 F2 中, ∠MF1F2 = 30 , F1 F2 = 2c
∴ MF1 =

2 2c 4 3c = 3c , MF2 = 2c ? tan 30 = 3 cos 30 3

4 2 2 ∴ 2a = MF1 ? MF2 = 3c ? 3c = 3c 3 3 3

c ?e= = 3 a

所以,选(B)。

[点评]本题主要考查双曲线的离心率,通过已知条件找 点评]本题主要考查双曲线的离心率, 的关系式, 到a与c的关系式,从而求得离心率,这是常用的方法。 与 的关系式 从而求得离心率,这是常用的方法。

考题剖析

考点六: 考点六:直线与圆锥曲线位置关系问题 内容解读】 【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关 的简单几何问题和实际问题;能够把研究直线与圆 的简单几何问题和实际问题; 锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问 题;会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消 去一个变量后, 去一个变量后,将交点问题转化为一元二次方程根 的问题,结合根与系数的关系及判别式解决问题; 的问题,结合根与系数的关系及判别式解决问题; 能够利用数形结合法,迅速判断某直线与圆锥曲线 能够利用数形结合法, 的位置关系,但要注意曲线上的点的纯粹性; 的位置关系,但要注意曲线上的点的纯粹性;涉及 弦的中点及中点弦的问题,利用点差法较为简便。 弦的中点及中点弦的问题,利用点差法较为简便。 命题规律】 【命题规律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与 方程,数形结合,分类讨论、化归等数学思想方法, 方程,数形结合,分类讨论、化归等数学思想方法, 因此这部分经常作为高考试题的压轴题,命题主要 因此这部分经常作为高考试题的压轴题, 意图是考查运算能力,逻辑揄能力。 意图是考查运算能力,逻辑揄能力。

x2 y 2 例 12、(2008 海南、宁夏理 海南、宁夏理)过双曲线 9 ? 16 = 1 的右顶

考题剖析

点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______
解 : 双曲线的右顶点坐标 A(3,0),右焦点坐标 F(5,0),设一条渐近线 方程为 y =
4 x, 3

4 ? y = ( x ? 5) ? ? 3 32 ? 2 2 y=? , 建立方程组 ? x y ,得交点纵坐标 15 ? =1 ? 9 16 ?
1 32 32 S△ AFB = × 2 × = 从而 2 15 15

[点评]本题考查直线与双曲线相交的问题,直线与圆 点评]本题考查直线与双曲线相交的问题 直线与圆 锥曲线相交问题经常联立方程组来求解. 锥曲线相交问题经常联立方程组来求解

的准线方程为 x = 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 求证:
AB = 4 2 2 ? COS 2θ

安徽文) 设椭圆 C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 其相应于焦点 F(2,0) 例 13、2008 安徽文 ) ( 、

考题剖析y 2 x2

(Ⅱ)已知过点 F1 (?2, 0) 倾斜角为 θ 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点, ;

(Ⅲ)过点 F1 (?2, 0) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A,B 和 D,E,求 AB + DE 的最小值

解 : 1)由题意得: ( )
?c = 2 ? 2 ? 2 ?a ?a = 8 ∴? 2 ? =4 c ?b = 4 ? ? 2 2 2 ?a = b + c ? x2 y2 C 的方程为 8 + 4 = 1



椭圆

考题剖析
(2)当 θ ≠ 2 时,记 k = tan θ ,则 AB : y = k ( x + 2) 将其代入方程 x 2 + 2 y 2 = 8 得 (1 + 2k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 8(k 2 ? 1) = 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是此二次方程的两个根.
8k 2 8( k 2 ? 1) ∴ x1 + x2 = ? , x1 x2 = . 1 + 2k 2 1 + 2k 2
AB = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 = (1 + k 2 )( x1 ? x2 ) 2 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
?8k 2 2 32(k 2 ? 1) 4 2(1 + k 2 ) = (1 + k )[( ) ? ]= 1 + 2k 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2
2

π

................(1)
4 2 2 ? cos 2 θ

∵ k = tan θ , 代入(1)式得
2 2

AB =

.................(2)

当θ =

π

AB = 2 2 2 时,

仍满足(2)式。

∴ AB =

4 2 2 ? cos 2 θ

考题剖析
( 3)设直线 AB 的倾斜角为 θ ,由于 DE ⊥ AB, 由(2)可得 )
4 2 2 , DE = 2 ?4sin 2 θ 2 2 ? cos θ 4 2 4 2 12 2 12 2 AB + DE = + = = 2 ? cos 2 θ 2 ? sin 2 θ 2 + sin 2 θ cos 2 θ 2 + 1 sin 2 2θ 4 AB =

当θ =

π
4

或θ =

3π 4

时,

AB + DE

16 2 取得最小值 3

点评: 点评: 求圆锥曲线的弦长时,可利用弦长公式: |AB|=
2 ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 = 1 + k ·x1 ? x2

来求解。


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