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南京师范大学附属中学2017届高三期中考试数学试题Word版含答案.doc


高三年级期中考试 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案填在答卷纸相应位置上. 1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4} , A ? {1,3} , B ? {1,3, 4} ,则 A ? (CU B) ? 2.若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 3.已知一组数据 3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为 . . .

4.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中有 2 只红球,2 只白球,若从中随机一次摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 . .

5.如下图,矩形 ABCD 由两个正方形拼成,则 ?CAE 的正切值为

6.下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是



?x ? y ? 2 ? 0 ? 7.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值是 ?y ? 3 ?



8.若双曲线 为 9.若 cos(

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (3, ?4) ,则此双曲线的离心率 a 2 b2


?
6

?? ) ?

5? ? 3 ? ? ) ? sin 2 (? ? ) ? ,则 cos( 6 6 3



? 10.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC , AB ? 2 , BC ? 1 , ?ABC ? 60 ,点 E 和点

??? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE ? BC , DF ? DC ,则 AE ? AF 的值 3 6
为 .

11.等比数列 {an } 的首项为 2,公比为 3,前 n 项的和为 Sn ,若 log 3 [ an ( S 4 m ? 1)] ? 9 ,则

1 2

1 4 ? 的最小值为 n m



12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1, 0) , B(4, 0) ,若直线 x ? y ? m ? 0 上存在点 P ,使 得 2 PA ? PB ,则实数 m 的取值范围是 13.已知函数 f ( x ) ? ? .

?e x , x ? 1 ? f ( x ? 1), x ? 1

, g ( x) ? kx ? 1,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个不同 .

的实根,则实数 k 的取值范围是
2

14.已知不等式 (ax ? 3)( x ? b) ? 0 对于任意的 x ? (0, ??) 恒成立,其中 a , b 是整数,则

a ? b 的取值集合为



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 16. (本小题满分 14 分)

2b ? c cos C ? . a cos A

3 ,且 a ? 5 ,求 ?ABC 的周长. 2

PA ? 平面 ABCD , ?BAC ? ?CAD , ?ACD ? 90? , 在四棱锥 P ? ABCD 中, 点 E 为 PD
的中点. (1)求证:平面 PAC ? 平面 PCD ;

(2)求证: CE / / 平面 PAB .

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在半径为 30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 ABCD (点 A, B 在直径上, 点 C, D 在半圆周上) ,并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) . (1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取? (2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A, B, C 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三 a 2 b2

点, A( 10,

10 ) , B(?2, ?2) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A, B, C )且直线 PB, PC 分别交直线 OA 于 M , N 两点, 证明: OM ? ON 为定值并求出该定值.

???? ? ????

19. (本小题满分 16 分)

已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? a2 ? a3 ??? an ? ( 2) n (n ? N * ) ,若 {an } 为等比数列,且
b

a1 ? 2 , b3 ? 6 ? b2 .
(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ?

1 1 ? (n ? N * ) ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn . an bn

(Ⅰ)求 Sn ; (Ⅱ)求正整数 k ,使得对任意 n ? N 均有 Sk ? Sn .
*

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(a ? R) , g ( x) ? 2ax . (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若 a ? 0 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个零点,求实数 a 的值; (3)若 0 ? a ? 1 ,对于区间 [1, 2] 上的任意两个不相等的实数 x1 , x2 都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 a 的取值范围.

试卷答案 一、填空题: 1.{1,2,3} 9. ? 2. 1 ? i 3.2 4.

2 3

5.

1 3

6.5

7. ? 1

8.

5 3

3 2 ? 3 3

10.

29 18

11.

5 2

12. [?2 2 ,2 2 ]

( 13.

e ?1 ,1) ? (1, e ? 1] 2

14. {?2,8}

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为

2b ? c cos C ? a cos A

(2 b ? c ) c oA s ? a co Cs ,由正弦定理得

(2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ,

………………2 分 ………………4 分

即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A =sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以 2sin B cos A ? sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0,

1 ? 所以 cos A ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 2 3
(2)△ABC 的面积为

………………7 分

3 ,且 a ? 5 2

周长 a ? b ? c ? 5 ? 11 16. (本小题满分 14 分)

………………14 分

证明: (1)因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD, ………………2 分 又∠ACD=90° ,则 CD ? AC ,而 PA∩AC=A,

所以 CD⊥平面 PAC,因为 CD?平面 ACD,………………4 分 所以,平面 PAC⊥平面 PCD. ………………7 分

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM,则 EM∥PA. 因为 EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, 所以 EM∥平面 PAB. ………………9 分 在 Rt△ ACD 中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM, 则 MC∥AB.因为 MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, 所以 MC∥平面 PAB. ………………12 分

而 EM∩MC=M,所以平面 EMC∥平面 PAB. 由于 EC ? 平面 EMC,从而 EC∥平面 PAB. ………14 分 证法二:延长 DC,AB 交于点 N,连 PN.因为∠NAC=∠DAC, AC⊥CD,所以 C 为 ND 的中点.而 E 为 PD 中点,所以 EC∥PN. 因为 EC ? 平面 PAB,PN 所以 EC∥平面 PAB

? 平面 PAB,

………………14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,

设圆心为 O,连结 OC ,设 BC ? x ,
30) , 法一 易得 AB ? 2 900 ? x2 , x ? (0,

故所求矩形 ABCD 的面积为 S ( x) ? 2x 900 ? x2
? 2 x 2 ? 900 ? x 2 ? ≤x2 ? 900 ? x2 ? 900 ( cm 2 )

………3 分

?

?

(当且仅当 x 2 ? 900 ? x 2 , x ? 15 2 ( cm )时等号成立) 此时 BC ? 15 2 cm ; ……6 分

? ; 则 BC ? 30sin ? , OB ? 30 cos ? , 法二 设 ?COB ? ? , ? ? 0, ?
所以矩形 ABCD 的面积为 S (? ) ? 2 ? 30sin ? ? 30cos? ? 900sin 2? , 当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? ? 时, S (? )max ? 900 ( cm 2 )此时 BC ? 15 2 cm ; ? ………3 分 ………6 分

? ?

2 (2)设圆柱的底面半径为 r ,体积为 V ,由 AB ? 2 900 ? x2 ? 2?r 得, r ? 900 ? x , ?

30) , 所以 V ? ?r 2 x ? 1 ? 900 x ? x3 ? ,其中 x ? (0, ?

………9 分

10 3 上单调递增,在 由 V ? ? 1 ? 900 ? 3x 2 ? ? 0 得 x ? 10 3 ,此时, V ? 1 ? 900 x ? x3 ? 在 0, ? ?

?

?

?10

3, 30 上单调递减, 故当 x ? 10 3 cm 时,体积最大为 6000 3 ?

?

cm 3 ,………13 分

答: (1)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为 15 2 cm 为时,圆柱体罐子的侧面积最大. (2)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为 10 3 cm 为时,圆柱体罐子的体积最大.………14 分 18. (本小题满分 16 分)
10 ? ? 10 4 ? 1, ? ? 解: (1)由已知,得 ? a 2 b 2 ?4 4 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

?a 2 ? 20, 解得 ? 2 ? b ? 5.

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 20 5

………………4 分

(2)设点 C (m, n) (m ? 0, n ? 0) ,则 BC 中点为 (

m?2 n?2 , ). 2 2

由已知,求得直线 OA 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,从而 m ? 2n ? 2 .① 又∵点 C 在椭圆上,∴ m2 ? 4n 2 ? 20 .② 由①②,解得 n ? 2 (舍) , n ? ?1 ,从而 m ? ?4 . 所以点 C 的坐标为 (?4, ?1) .…8 分 (3)设 P( x0 , y0 ) , M (2 y1 , y1 ) , N (2 y2 , y2 ) . ∵ P, B, M 三点共线,∴ ∵ P, C , N 三点共线,∴
y ?2 2( x0 ? y0 ) y1 ? 2 ,整理,得 y1 ? .………………10 分 ? 0 2 y1 ? 2 x0 ? 2 2 y0 ? 2 ? x0 y ?1 x ? 4 y0 y2 ? 1 ,整理,得 y2 ? 0 .………………12 分 ? 0 2 y2 ? 4 x0 ? 4 2 y0 ? 2 ? x0

∵点 C 在椭圆上,∴ x02 ? 4 y02 ? 20 , x02 ? 20 ? 4 y02 . 从而 y1 y2 ?
2( x02 ? 4 y02 ? 5 x0 y0 ) 2(20 ? 5 x0 y0 ) 5 5 ? ? 2? ? . 2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 16 ? 4 x0 y0 4 2

…………………14 分

???? ? ???? ???? ? ???? 25 25 所以 OM ? ON ? 5 y1 y2 ? .∴ OM ? ON 为定值,定值为 . 2 2

………………16 分

19. (本小题满分 16 分) 解:(1)由题意 a1a2a3…an= ( 2)bn ,b3-b2=6,知 a3=( 2)b3 q,又由 a1=2, 得q ?
2
-b2

=8. 设数列{an}的公比为

a3 q=2(q=-2 舍去), 所以数列{an}的通项为 an=2n(n∈N*). …3 ? 4, a1


n(n+1)

所以,a1a2a3…an=2

2

=( 2)n(n

+1).

故数列{bn}的通项为 bn=n(n+1)(n∈N*).

…………6 分

1 1 1 1 1 1 1 (2)(i)由(1)知 cn= - = n-?n-n+1?(n∈N*).所以 Sn= - n(n∈N*). …10 分 an b n 2 ? ? n+1 2 (ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当 n≥5 时,cn= 1) ? 1 ?n(n+ -1 , n 2 ? n(n+1)?

n(n+1) (n+1)(n+2) (n+1)(n-2) 而 - = >0, + + 2n 2n 1 2n 1 n(n+1) 5×(5+1) 得 ≤ <1,所以,当 n≥5 时,cn<0. 2n 25 综上,若对任意 n∈N*恒有 Sk≥Sn,则 k=4. 20. (本小题满分 16 分) …………16 分

(1) f ' ( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2 a ? x x
…………2 分

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)在 (0,??) 上递增,f (x)无极值 当 a ? 0 时, x ? (0, a ) 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)递减;

x ? ( a ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)递增,所以 f (x)有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a
综上,当 a ? 0 时,f (x)无极值; 当 a ? 0 时,f (x)有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a ,无极大值 (2) h( x) ? x 2 ? 2a ln x ? 2ax ,则 h' ( x) ? 2 x ? …………4 分

2a 2 x 2 ? 2ax ? 2a ? 2a ? x x

因为 a ? 0 ,令 h' ( x) ? 0 ,得 x0 ?

a ? a 2 ? 4a ,故 h (x)在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 ,??) 上 2

递增,所以 h (x)有极小值 h( x0 ) ? 0 且 2x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0
2

x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0

2

…………6 分

联立可得 2 ln x0 ? x0 ? 1 ? 0

令 m( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,得 m' ( x) ?

2 ? 1 ? 1 ,故 m (x)在 (0,??) 上递增 x
…………10 分

又 m (1) = 0,所以 x0 ? 1 ,即

a ? a 2 ? 4a 1 ?1? a ? 2 2

(3)不妨令 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,因为 0 < a < 1,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 由(1)可知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) 所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 2a ln x ? 2ax 在[1,2]上递增
2

所以 h' ( x) ? 2 x ?

2a ? 2a ? 0 在[1,2]上恒成立, x

…………12 分

x2 即a ? 在[1,2]上恒成立 x ?1
所以 a ? (0, ]

x2 1 1 ? t ? ? 2 ? , ……14 分 令 t ? x ? 1?[2,3] ,则 x ?1 t 2
…………16 分

1 2


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