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高中数学必修五课件:3.2《一元二次不等式及其解法》(人教A版必修5)


3.2 一元二次不等式及其解法

通过本节的学习,掌握一元二次不等式的解法, 理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间 的关系,能利用一元二次不等式解决简单的实际问 题.

自学导引

1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式不等式,称为________不等式. 答案:一元二次

Δ=b2- 4ac y=ax2 +bx+c (a>0) 的图象 ax2+bx +c=0 (a>0) 的根

Δ>0

Δ=0

Δ<0

x1,x2

x0=-

b 2a

________

ax2+bx
+c>0 __________ (a>0) 的解集 ax2+bx
{x|x≠- b } 2a

R

+c<0
(a>0) 的解集

{x|x1<

x<x2}

____

?

答案:没有实数根

{x|x<x1或x>x2}

?

自主探究
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)具备哪些 条件时,解集为R或?? 答案:当a>0,Δ<0时,解集为R.当a<0,Δ≤0 时,解集为?. 2.ax2+5x+1>0是关于“x”的二次不等式吗? 答案:ax2+5x+1>0不一定是一元二次不等式, 当a=0时它是一元一次不等式.若题目中给出的条 件是“一元二次不等式ax2+5x+1>0”则隐含的条件 是a≠0.

预习测评
1.不等式-x2-x+2≥0的解集是 ( ) A.{x|x≤-2,或x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.? 解析:原不等式可化为(x+2)(x-1)≤0, ∴-2≤x≤1. 答案:C

2.下面四个不等式解集为R的是
A.-x2+x+1≥0 B.x2-2 5x+5>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0

(

)

解析:利用“Δ”判断,在不等式x2+6x+10>0 中,Δ=62-40<0,∴不等式x2+6x+10=0的解集 为R.选C. 答案:C

3.不等式x2+px+q<0的解集为{x|-3<x<2},则 p+q=________. 解析:依题意,x1=-3和x2=2是方程x2+px-q =0的根, ∴x1+x2=-p,即p=1,x1x2=q=-6,∴p+q =-5. 答案:-5

4.一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体 实数的条件是________. 解析:利用三个“二次”关系及二次函数图象推 导. ?a>0 ? 答案:? 2 ?Δ=b -4ac<0 ?

1.一元二次不等式 通过同解变形,一元二次不等式可化为:ax2+bx +c>0或ax2+bx+c<0(a>0). 不妨设方程ax2+bx+c=0的两根为x1 、x2且x1 <x2.

从函数观点来看,一元二次不等式ax2+bx+ c>0(a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 在x轴上方部分的点的横坐标x的集合;ax2+bx+ c<0(a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合. 2.解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程 序 由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数 的关系,可以得到解一元二次不等式的一般思考步 骤:

(1)化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0),或 ax2+bx+c<0(a>0); (2)求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应 函数y=ax2+bx+c图象的简图; (3)由图象得出不等式的解集. 3. 含参数的一元二次型的不等式 在解关于含参数的一元二次型的不等式时,往往 要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”, 讨论需从如下三个方面进行考虑:

(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0, a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0), 一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2, x1=x2,x1<x2.

典例剖析
题型一 求一元二次不等式的解集
【例1】 求下列一元二次不等式的解集: (1)x2-5x>14;(2)-x2+7x>6. 解:(1)先将14移到左边化为x2-5x-14>0.因为方 程x2-5x-14=0的两根分别为-2,7.结合二次函数图 象易得不等式解集为{x|x<-2或x>7}.

(2)先将不等式化为x2-7x+6<0,因为方程x2-7x +6=0的两根为1,6.所以利用图象可得不等式解集为 {x|1<x<6}. 方法点评:当所给不等式是非标准形式时,应先 化为标准形式,在具体求解一个标准形式的一元二次 不等式的过程中,要根据一元二次方程的根的情况以 及二次函数的图象求解.这种方法体现了“化归”的数 学思想方法的运用,要注意体会.

1.解下列不等式: (1)x(3-x)≤x(x+2)-1; (2)x2-2x+3>0. 解:(1)原不等式可化为2x2-x-1≥0,
∴(2x+1)(x-1)≥0,
? ? ? 1 ?x?x≤- 或x≥1 故原不等式的解集为 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0, 故原不等式的解集是R.

题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 设m∈R,解关于x的不等式m2x2+2mx -3<0. 解:当m=0时,∵ -3<0恒成立, ∴原不等式的解集为R. 当m≠0时,原不等式化为(mx+3)(mx-1)<0,
3 1 当 m>0 时,解得- <x< ; m m 1 3 当 m<0 时,解得 <x<- . m m

∴当 m>0

? 3 1? 时,原不等式的解集为?x- <x< ?; m m? ?

当 m=0 时,解集为 R; 当 m<0
? ?1 ? 时,原不等式的解集为?x? ? ? ?m ? 3? <x<- ?. m? ?

方法点评:解不等式时,由于m∈R,因此不 能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当m=0 时,原不等式化为-3<0,此时不等式的解集为R, 所以解题时应分m=0与m≠0种情况来讨论.

2.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0. 解:(1)当a=0时,原不等式可化为-x+2<0,解 集为{x|x>2}. (2)当a>0时,原不等式化为(ax-1)(x-2)<0, ? 1? 即?x- ?(x-2)<0. a? ?
1 1 1 若 <2,即 a> 时,解得 <x<2; a 2 a

1 1 若 =2,即 a= 时,解集为?; a 2 1 1 1 若 >2,即 0<a< 时,解集为 2<x< . a 2 a (3)当
? 1? a<0 时,原不等式可化为?x- ?(x-2)>0. a? ?

? ? 1 1 ∵ <2,∴不等式解集为?x|x< 或x>2?. a a ? ?

综上所述,不等式的解集为: a=0 时,{x|x>2};
? 1 1? 0<a< 时,?x|2<x< ?; 2 a? ?

1 a= 时,x∈?; 2
? 1 ? 1 a> 时,?x| <x<2 ?; 2 ? a ?

a<0

? ? 1 时,?x|x< 或x>2?. a ? ?

题型三 三个二次的关系
【 例 3 】 已 知 x2 + px + q<0 的 解 集 为
? 1 1? ?x- <x< ?,求解不等式 2 3? ?
2

qx2+px+1>0
? 1 1? 的解集为?x- <x< ?, 2 3? ?

解:因为 x +px+q<0

1 1 所以 x1=- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两 2 3 个实数根.

?1 1 ?3-2=-p, 由根与系数的关系得? ? ? ?1×?-1 ?=q, ?3 ? 2 ? 1 ? ?p=6, 解得? ?q=-1. ? 6

1 2 1 所以不等式 qx +px+1>0 即为- x + x+1>0, 6 6
2

即 x2-x-6<0, 解得-2<x<3. 所以不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.

方法点评:一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2+ bx+c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解.

3.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β} (0<α<β).求不等式cx2+bx+a<0的解集. 解:∵不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|α<x<β}{0<α<β},∴a<0. 根据一元二次方程的根与系数的关系,得
? b ?-a=α+β, ? ?c=α· β, ?a

?b ?a=-?α+β?<0, 即? ?c =αβ>0. ?a ∵a<0,∴b>0,c<0.
?1 1? ba b b 由a·= c,得 c =-?α+β?. c ? ?

① ②

c a 11 又由a=α· β,得 c=α· . β

b a 将不等式 cx +bx+a<0 化为 x + x+ >0. c c
2 2

1 1 b a 2 由①、②得: , 是方程 x + x+ =0 的两 α β c c 1 1 个根,且 > >0. α β b a ∴不等式 x + x+ >0 的解集为 c c
2

? 1 1? ?xx< 或x> ?. β α? ?

误区解密 忽略二次项系数为零而出错
【例4】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解 集为R,求实数a的取值范围.
错解:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集 为R,
?a-2<0 ? ∴? ?Δ<0 ? ?a<2 ? ?? 2 ?4?a-2? -4?a-2??-4?<0 ?

?-2<a<2.

错因分析:当a-2=0时,原不等式不是一元二 次不等式,不能应用根的判别式,应当单独检验不 等式是否成立.
正解:当 a-2=0,即 a=2 时,原不等式为 -4<0,所以 a=2 时成立. 当 a-2≠0
?a-2<0 ? 时,由题意得? ? ?Δ<0



?a<2 ? 即? 2 ? ?4?a-2? -4?a-2??-4?<0

, 解得-2<a<2.

综上所述可知:-2<a≤2.

课堂总结
解一元二次不等式主要采用图象法和代数法,解 决问题的基础是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集与对 应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根以及二次函数y =ax2+bx+c的图象之间的关系,求解时明确具体的 解题步骤.对于应用问题,要先确定其中的不等关系, 进而用相应的不等式表示出来,再解不等式获得问题 的答案.

?一元二次不等式的定义 ? ?与一元二次方程、二次函数的联系 一元二次不等式? ?求解步骤 ?算法过程 ?


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