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北京市2009届高三数学模拟试题分类汇编——解析几何


北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编
解析几何
一、选择题: (5)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文) “ a ? 2 ”是“ “直线 2 x + ay - 1 = 0 与直线

ax + 3 y - 2 = 0 平行”的
(A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

( B



(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

6.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

y2 x ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为(A) 3
2

A. 4

B. ? 4

C. 2

D. ? 2

4. (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模文)已知条件 p:k ? 3 ,条件 q :直线 y ? kx ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 p是q 的( A ) A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

6. ( 北 京 市 西 城 区 2009 年 4 月 高 三 一 模 抽 样 测 试 理 ) 与 直 线 x - y - 4 = 0 和 圆

x2 + y 2 + 2x - 2 y = 0 都相切的半径最小的圆的方程是(
A. ( x + 1) + ( y + 1) = 2 C. ( x - 1) + ( y + 1) = 2
2 2 2 2 2

C )
2

B. ( x + 1) + ( y + 1) = 4 D. ( x - 1) + ( y + 1) = 4
2 2

6. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)在平面直角坐标系中, A 为平面内一个 动点, B(2, 0) . 若 OA?BA | OB | (O 为坐标原点) ,则动点 A 的轨迹是( D ) A. 椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆

uur uu r

uur u

2.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)抛物线 y ? A. ?

1 2 x 的焦点坐标是 (B ) 4
D. ?1,0?

?1 ? ,0 ? ? 16 ?

B. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

C. ?0,1?

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是 (
2

B

)

A. ?

?1 ? ,0 ? ? 16 ?

B. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

C. ?0,1?

D. ?1,0?

4. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)以双曲线 y 2 ? 离心率为半径的圆的方程是 (A) ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 (C) ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 二、填空题:

x2 ? 1 的一个焦点为圆心, 3

(B) x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 (D) x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

(11) (2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)椭圆的两个焦点为 F 、 F2 ,短轴的一个端点 1 为 A , 且 三 角 形 F AF2 是 顶 角 为 120 ? 的 等 腰 三 角 形 形 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 1



.

3 2

(12) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理) 已知动直线 l 平分圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 则直线 l 与圆 O : ?

? x ? 3cos ? , (? 为参数)的位置关系是_________. 相交 ? y ? 3sin ?
2

(13) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作直线 l , 交抛物线于 A, B 两点, 交其准线于 C 点.若 CB ? 3BF , 则直线 l 的斜率为_________.

??? ?

??? ?

k ? ?2 2
10. ( 北 京 市 朝 阳 区 2009 年 4 月 高 三 一 模 文 )若 直 线 x ? (1 ? m ) y ? 2 ? m ? 0 直 线 与

2mx ? 4 y ? 9 ? 0平行,则 m 的值为

.1 和-2

y P M T F1 O F2 x

14. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)如图, 从双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 引圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线, 9 25

切点为 T,延长 F1T 交双曲线右支于 P 点. 设 M 为线段 F1P 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则 | FT | =______5_______ ; 1

| MO | ? | MT | =_____2_____.
13.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知

F ? c,0? 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点,以坐标原点 O 为圆心, a 为半径作圆 a 2 b2

P ,过 F 垂直于 x 轴的直线与圆 P 交于 A, B 两点,过点 A 作圆 P 的切线交 x 轴于点 M. 若直线 l 过点 M 且垂直于 x 轴, 则直线 l 的方程为______________; O ? M 若 A A


a2 2 则椭圆的离心率等于_________. x ? , c 2
13. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)点 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点, 1 , F2 F 25 16

为椭圆的左、右焦点,则 PF ? PF2 的最小值为__________ ,此时点 P 的坐标为 1 ________________. 7 ,(0, ±4)

13.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上除顶点外的任意一点, F1、F2 分别为左、右焦点, c 为半焦距, ?PF1 F2 a2 b2
的内切圆与 F1 F2 切于点 M ,则 F1M ? F2 M ? .b
2

12. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶 点 B(?2 ,0 ) 和C (2 ,0 ) , 顶 点 A 在 椭 圆 2 。

x2 y2 s i B?s i C n n ? ?1 上 , 则 = 16 12 siA n

三、解答题: (20)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)(本小题共 14 分) 在△ PAB 中,已知 A ? 6 ,0 、 B (I)求动点 P 的轨迹方程; (II)设 M ?? 2,0? , N ?2,0? ,过点 N 作直线 l 垂直于 AB ,且 l 与直线 MP 交于点 Q , , 试在 x 轴上确定一点 T ,使得 PN ? QT ; (III)在(II)的条件下,设点 Q 关于 x 轴的对称点为 R ,求 OP ? OR 的值. (20) 解: (I)? PA ? PB ? 4 ? AB ,∴ 动点 P 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的双曲线的 右支除去其与 x 轴的交点. 设双曲线方程为 ??????????1 分

?

?

?

6 ,0 ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 .

?

x2 a2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) . a 2 b2

由已知,得 ? ∴b ?

?c ? 6, ? ? 2a ? 4, ?

解得 ?

?c ? 6, ? ? a ? 2, ?

2分

2.
x2 a2 ? ? 1 ( x ? 2) . 4 2

3分 4分

∴动点 P 的轨迹方程为

注:未去处点(2,0) ,扣 1 分 (I) 由题意,直线 MP 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程 x =2. 设 MP 的方程为 y ? k ( x ? 2) . ∵点 Q 是 l 与直线 MP 的交点,∴ Q (2, 4k ) .设 P( x0 , y0 ) 5分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

整理得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? (8k ? 4) ? 0.
2 2 2 2

则此方程必有两个不等实根 x1 ? ?2, x2 ? x0 ? 2

?1 ? 2k 2 ? 0. ,且

?2 x0 ? ?

8k 2 ? 4 . 1 ? 2k 2
4k . 1 ? 2k 2
∴ P(

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ?

4k 2 ? 2 4k , ). 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8分

设 T (t , 0) ,要使得 PN ? QT ,只需 PN ? QT ? 0. 由 N (2,0) , PN ? (? ∴ PN ? QT ? ?

??? ??? ? ?

????

??? ? 8k 2 4k ,? ), QT ? (t ? 2, ?4k ) , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
10 分

1 [8k 2 (t ? 2) ? 16k 2 ] ? 0. 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? ∵ k ? 0, ?t ? 4. 此时 PN ? ?, QT ? ?
∴所求 T 的坐标为 (4,0). 11 分

???? ??? ?

??? ? ??? ? 4k 2 ? 2 4k R (2, ?4k ) ,∴ OP ? ( , ) , OR ? (2, ?4k ) . (III)由(II)知 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
∴ OP ? OR ?

??? ??? ? ?

4k 2 ? 2 4k 4 ? 8k 2 ?2? ? (?4k ) ? ?4. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴ OP ? OR ? 4. 说明 其他正确解法按相应步骤给分。

??? ??? ? ?

14 分

19.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)(本题满分 14 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,过其右焦点且倾斜角为 45 的 直线被双曲线截得的弦 MN 的长为 6 . (Ⅰ)求此双曲线的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与该双曲线交于两个不同点 A 、 B ,且以线段 AB 为直径 的圆过原点,求定点 Q (0,?1) 到直线 l 的距离 d 的最大值,并求此时直线 l 的方程. 19. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设双曲线的方程是 则由于离心率 e ?
?

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) , a2 b2

c ? 2 ,所以 c ? 2a , b 2 ? 3a 2 . a

x2 y2 ? 1 ,且其右焦点为 F ( 2 a ,0) 从而双曲线的方程为 2 ? . a 3a 2
把直线 MN 的方程 y ? x ? 2a 代入双曲线的方程,消去 y 并整理,得

2 x 2 ? 4ax ? 7a 2 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2a , x1 x 2 ? ? 由弦长公式,得 | MN |?

7 2 a . 2

7 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? (?2a) 2 ? 4(? a 2 ) =6. 2

2 2 所以 a ? 1 , b ? 3a ? 3 .

从而双曲线的方程是 x ?
2

y2 ? 1. 3

??????5 分

(Ⅱ)由 y ? kx ? m 和 x ?
2

y2 ? 1 ,消去 y ,得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx? m 2 ? 3 ? 0 . 3
2

2 2 2 2 根据条件,得 ? ? 4k m ? 4(3 ? k )(?m ? 3) ? 0 且 3 ? k ? 0 .

∴ m ? 3 ? k ? 3.
2 2

设 A ( x3 , y3 ) , B ( x4 , y 4 ) ,则 x3 ? x 4 ?

2km m2 ? 3 , x3 x 4 ? 2 . 3?k2 k ?3

由于以线段 AB 为直径的圆过原点,所以 x3 x4 ? y3 y 4 ? 0 . 即 (1 ? k 2 ) x3 x4 ? km( x3 ? x4 ) ? m2 ? 0 . 从而有 (1 ? k ) ?
2

2 m2 ? 3 2km ? km ? ? m 2 ? 0 ,即 1 ? k 2 ? m 2 . ????8 分 2 2 3 k ?3 3?k

∴ 点 Q 到直线 l : y ? kx ? m 的距离为:

d?

|1? m | k 2 ?1

?

|1? m | 2 2 m 3

?

6 1 |1? |. 2 m

??????10 分

由 k ?
2

2 2 1 6 1 6 m ? 1 ≥ 0 ,解得 ? 且 ? 0. ? ? 3 m 3 m 3 2 2 1 6 m ? 1 ? 3 ,解得 ?? . 3 m 6

由 k ?
2

所以当 m ?

6 6 6?2 6 时, d 取最大值 ,此时 k ? 0 . (1 ? )? 2 3 2 2 6?2 ,此时直线 l 的方程是 2
y C

因此 d 的最大值为

6 y? . 2

??????14 分

(19) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)(本小题满分 13 分)

| 已 知 ?ABC 的 三 边 长 | CB |, | AB |, |CA 成 等 差 数 列 , 若 点

A

O

B

x

A, B 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) .
(Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)若线段 CA 的延长线交轨迹 W 于点 D ,当 2 ≤| CB |? 直平分线 l 与 x 轴交点的横坐标的取值范围. (19) 解: (Ⅰ)因为 | CB |,| AB |,| CA | 成等差数列,点 A, B 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) 所以 | CB | ? | CA |? 2 | AB |? 4 且 4 ?| AB |

5 2

时,求线段 CD 的垂

由椭圆的定义可知点 C 的轨迹是以 A, B 为焦点长轴为 4 的椭圆(去掉长轴的端点) , 所以 a ? 2, c ? 1, b ? 3 .

故顶点 C 的轨迹 W 方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) .??????4 分 4 3
y C l

(Ⅱ)由题意可知直线 AC 的斜率存在,设直线 AC 方 程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 ? 1, ? ? 3 ?4
D

E O A B x

(3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ,
2 2 2 2

设 C , D 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,

6k ?8k 2 则 x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
所以线段 CD 中点 E 的坐标为 (

?4k 2 3k , ), 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2 3k 1 4k 2 ? ? (x ? ), 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2
k2 1 ?? , 2 3 3 ? 4k ?4 k2

故 CD 垂直平分线 l 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 l 与 x 轴交点的横坐标为 x ? ?

由 2 ?| CB |? 又因为 k 2 ?

5 1 5 得 2 ? (4 ? x1 ) ? ,解得 ?1 ? x1 ? 0 , 2 2 2

?3x1 ? 12 y12 12 ? 3x12 2 ,所以 (k )? ? . ? 2 2 2( x1 ? 1)3 ( x1 ? 1) 4( x1 ? 1)
2

当 ?1 ? x1 ? 0 时,有 (k )? ? 所以 k ? 3 .所以, ?
2

?3x1 ? 12 12 ? 3x12 2 递减, ? 0 ,此时函数 k ? 2( x1 ? 1)3 4( x1 ? 1)2

1 1 1 ?? ?? . 3 4 5 ?4 2 k 1 1 故直线 l 与 x 轴交点的横坐标的范围是 (? , ? ] . 4 5

??????13 分

19.(北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模文)(本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的三边长 | CB |,| AB |,| CA | 成等差数列,若 点 A, B 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) . (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)线段 CA 的延长线交顶点 C 的轨迹 W 于点 D ,当
A O B x y C

| CB |?

3 且点 C 在 x 轴上方时,求线段 CD 垂直平 2
y C

分线 l 的方程.
E A

19.解: (Ⅰ)因为 | CB |,| AB |,| CA | 成等差数列,点 A, B 的坐标 分别为 (?1, 0), (1, 0) 所以 | CB | ? | CA |? 2? | AB |? 4 ,且 4 ?| AB | , 由椭圆的定义可知点 C 的轨迹是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的 椭圆(去掉长轴的端点) , 所以 a ? 2, c ? 1, b ? 3 .
D

O

B

x

故顶点 C 的轨迹 W 方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) .??????????5 分 4 3
5 3 .因为 | AB |? 2 , CB ? , 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 | CA |? 4? | CB |?

2 2 2 所以 | CA | ?| AB | ? | CB | .则 CB ? AB .

所以直线 CD 的斜率为

| CB | 3 ? . | AB | 4
3 ( x ? 1) . 4

于是直线 CD 方程为 y ?

3 ? ? y ? 4 ( x ? 1), ? 2 由? 2 得 7 x ? 6 x ? 13 ? 0 .设 C , D 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) x y2 ? ? ? 1, ? 4 3 ?
则 x1 ? x2 ? ?

6 3 6 , y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ? 2) ? . 7 4 7

3 3 , ), 7 7 3 4 3 故 CD 垂直平分线 l 的方程为 y ? ? ? ( x ? ) ,即为 28x ? 21y ? 3 ? 0 .??13 分 7 3 7
线段 CD 中点 E 的坐标为 ( ? 19. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0, 3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B. 4

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 N,且 A 是 MN 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点, 且 OA ? OB ? ?OP (O 为坐标原点). 求当 | AB |? 3 时,实 数 ? 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 A 为 MN 的中点,且 M 的纵坐标为 3,N 的纵坐标为 0, 所以 y1 ?

??? ??? ? ?

??? ?

3 , 2

---------------------------1 分

又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上 所以 x1 ?
2

y12 7 ? 1,即 x12 ? 9 ? 1 ,解得 x1 ? ? , 4 16 4
-------------------------3 分

则点 A 的坐标为 (

7 3 7 3 , ), , ) 或 (? 4 2 4 2

所以直线 l 的方程为 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 或 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 .

--------------------------5 分

(Ⅱ)解:设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 3 或 x ? 0 ,A(x1, y1),B(x2, y2), P( x3 , y3 ) , 当 AB 的方程为 x ? 0 时, | AB |? 4 ? 3 ,与题意不符. 当 AB 的方程为 y ? kx ? 3 时: --------------------------6 分

由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ?

? y ? kx ? 3 ? 的解, y2 x2 ? ?1 ? ? 4

消去 y 得 (4 ? k ) x ? 6kx ? 5 ? 0 ,
2 2

所以 ? ? (6k )2 ? 20(4 ? k 2 ) ? 0, 即 k ? 5 ,
2



x1 ? x2 ?

?6k 5 24 , , x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? (kx1 ? 3) ? (kx2 ? 3) ? 2 2 4?k 4?k 4 ? k2
-------------8 分
2 2 因为 | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 3 ,

所以 1 ? k 2 ? ( 所以 5 ? k ? 8 .
2

16 ?6k 2 20 ) ? ? 3 ,解得 ? ? k 2 ? 8 , 2 2 13 4?k 4?k
--------------------------10 分

因为 OA ? OB ? ?OP ,即 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? ( x3 , y3 ) , 所 以 当

??? ??? ? ?

??? ?

? ?0







??? ??? ? ? ? OA ? OB ? 0





?6k 24 ? 0, y ? y ? 1 ?0, 2 2 4?k 4 ? k2 上述方程无解,所以此时符合条件的直线 l 不存在; x1 ? x ?
2

--------------------11 分

当 ? ? 0 时, x3 ?

x1 ? x2

?

?

y ? y2 ?6k 24 , y3 ? 1 , ? 2 ? (4 ? k ) ? ? (4 ? k 2 )

因为点 P( x3 , y3 ) 在椭圆上, 所以 [

1 24 ?6k ]2 ? 1 , ]2 ? [ 2 2 4 ? (4 ? k ) ? (4 ? k )
化简得 ? 2 ?
2

----------------------12 分

36 , 4 ? k2
2

因为 5 ? k ? 8 ,所以 3 ? ? ? 4 , 则 ? ? (?2, ? 3) ? ( 3, 2) . 综上,实数 ? 的取值范围为 (?2, ? 3) ? ( 3, 2) . ---------------------------14 分

19. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. 4
1 2

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值. 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 P 为 AM 的中点,且 P 的纵坐标为 0,M 的纵坐标为 1,

??? ??? ? ?

所以

y1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? ?1, 2
又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上, 所以 x1 ?
2

-------------------------1 分

1 y12 3 ? 1,即 x12 ? ? 1 ,解得 x1 ? ? , 4 4 2

则点 A 的坐标为 (

3 3 , ?1) , , ?1) 或 (? 2 2

-------------------------3 分

所以直线 l 的方程为 4 3x ? 3 y ? 3 ? 0 ,或 4 3x ? 3 y ? 3 ? 0 .

--------------------5 分

(Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 NA ? ( x1 , y1 ? ), NB ? ( x2 , y2 ? ), 所以 NA ? NB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ?1) , 则 | NA ? NB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 1) ,
2 2

??? ?

??? ??? ? ?

1 2

??? ?

1 2

??? ??? ? ?

-------------------------7 分

当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 其 方 程 为 x ? 0 , A(0, 2), B(0, ?2) , 此 时

??? ??? ? ? ;-------------------------8 分 | NA? NB|? 1
当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 2 y 2 的解, ?1 ?x ? ? 4
消去 y 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

所以 ? ? (2k ) ? 12(4 ? k ) ? 0, x1 ? x2 ?
2 2

?2k , 4 ? k2 8 则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? , 4 ? k2
所以 | NA ? NB |2 ? (

-------------------------10 分

??? ??? ? ?

?2k 2 8 ?12k 2 ) ?( ?1) 2 ? ?1 ?1 , 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 ) 2
??? ??? ? ?
-------------------------13 分

当 k ? 0 时,等号成立, 即此时 | NA ? NB | 取得最大值 1.

综上,当直线 AB 的方程为 x ? 0 或 y ? 1 时, | NA ? NB | 有最大值 1. -----------------14 分 19.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)(本小题满分 14 分)

??? ??? ? ?

已知动圆 P 过点 N

?

5, 0 并且与圆 M : x ? 5

?

?

?

2

动圆圆心 P 的轨 ? y 2 ? 16 相外切,

迹为 W ,轨迹 W 与 x 轴的交点为 D . (Ⅰ)求轨迹 W 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 过点 ? m,0?? m ? 2? 且与轨迹 W 有两个不同的交点 A, B , 求直线 l 斜率 k 的 取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 DA ? DB ? 0 ,证明直线 l 过定点,并求出这个定点的坐标. 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 PM ? PN ? 4 ? MN ? 2 5 , ∴点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支,且

??? ??? ? ?

a ? 2 ,c ?

5 ,b ? . 1
x2 ? y 2 ? 1? x ? 2 ? . 4
------------------------------------- 4 分

∴轨迹 W 的方程为

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? m? ? m ? 2, k ? 0? .

? y ? k ? x ? m? , ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4

2 2 2 2 得 1 ? 4k x ? 8k mx ? 4k m ? 4 ? 0 .

?

?

设 A?x1 , y1 ?.B?x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m ?0, 4k 2 ? 1



4k 2 m 2 ? 4 x1 x2 ? ? 0, 4k 2 ? 1
? ? 64k 4 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
由①②③ 得 4k ? 1 .
2



?

?? 4k m
2

2

? 4 ? 0. ③

?

∴直线 l 斜率 k 的取值范围是 ? ??, ?

? ?

1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? . -----------------------------9 分 2? ?2 ?

(Ⅲ) DA ? DB = ? x1 ? 2, y1 ? ? ? x2 ? 2, y2 ? =

??? ??? ? ?

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? x1x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? k ? x1 ? m? k ? x2 ? m?

2 2 = 1 ? k x1 x2 ? 2 ? mk

?

?

?

?? x ? x ? ? 4 ? k m
2 1 2

2

=

?1 ? k ?? 4k m ? ? ? 2 ? mk ? 8mk
2 2 2 2

2

4k 2 ? 1

4k 2 ?1

? 4 ? k 2 m2 .

∵ DA ? DB = 0,

??? ??? ? ?
2



?1 ? k ?? 4k m ? ? ? 2 ? mk ? 8mk
2 2 2

2

4k ? 1
2

4k ?1
2
2

? 4 ? k 2 m2 = 0,
2 2 2

2 ∴ 1? k

?

?? 4k m ? ? ? 2 ? mk ? 8mk ? ? 4 ? k m ?? 4k
2 2 2

?1 ? 0 ,

?

∴ 20k ? 16k m ? 3k m ? 0 .
2 2 2 2

∵k ? 0, ∴ 3m ? 16m ? 20 ? 0 ,解得 m ?
2

10 ,或 m ? 2 (舍) . 3

∴直线 l 的方程为 y ? k ? x ?

? ?

10 ? ?. 3? ? 10 ? ,0? . ? 3 ?
----------------------------------------14 分

∴直线 l 过定点,定点坐标为 ?

19.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)(本小题满分 14 分) 已知 M ?2,0? , N ? ?2,0? ,动点 P 满足 PN ? PM ? 2 ,点 P 的轨迹为 W ,过点 M 的直线与轨迹 W 交于 A, B 两点. (Ⅰ)求轨迹 W 的方程; (Ⅱ)若 2 AM ? MB ,求直线 AB 斜率 k 的值,并判断以线段 AB 为直径的圆与直线

x?

1 的位置关系,并说明理由. 2

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ PN ? PM ? 2 ? MN ? 4 , ∴点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支,且

a ? 1, c ? 2 ,b ?
2

. 3
2

y ? 1?x ? 1? . ∴轨迹 W 的方程为 x ? 3
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ?x ? 2? .

---------------------------------4 分

? y ? k ?x ? 2?, ? 2 由? y 2 ? 1, ?x ? 3 ?

得 3 ? k 2 x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 . ----------------5 分

?

?

设 A?x1 , y1 ?.B?x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 ?

4k 2 ? 0, k2 ?3



4k 2 ? 3 x1 x2 ? 2 ?0, k ?3



? ? 16k 4 ? 4 3 ? k 2 4k 2 ? 3 ? 0 . ③
2

?

??

?

-------------------8 分

由①②③解得 k ? 3 . ------------------------------------------------------------9 分 ∵ 2 AM ? MB ,∴ 2 ? 2 ? x1, ? y1 ? ? ? x2 ? 2, y2 ? , ∴ x2 ? 6 ? 2 x1 . 带入 ①②,得

4k 2 4k 2 ? 3 ? 6 ? x1 , ? x1 ?6 ? 2 x1 ? . k2 ?3 k2 ?3
消掉 x1 得

k2 ? 3 5k ? ? ,

3. 5

---------------------------------11 分

∵ M ?2,0? 为双曲线右支的焦点,离心率 e =2.由双曲线的几何性质,得

AB ? e?x1 ? x2 ? ? 2a ? 2 ?

4k 2 6 k 2 ?1 ?2 ? 2 . k2 ?3 k ?3

?

?

设以 AB 为直径的圆的圆心为 Q , Q 到直线 l 的距离为 d ,则

d=

x1 ? x2 1 3 k 2 ? 1 . ? ? 2 2 2 k2 ?3 ? 3 k 2 ?1 3 k 2 ?1 3 k 2 ?1 ? 2 ?? ? 0. 2 k2 ?3 k ?3 2 k2 ?3
---------------------------------------14 分

? ?

? ?

∴d ?

AB 2

? ?

? ? ?

?

? ?

? ?

∴ d?

AB 2

,直线 l 与圆 Q 相交.

19. (北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)(本小题满分 14 分) 已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,其左准线与 x 轴相交于 a2 b2

点 N,并且满足, F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2. (1)求此椭圆的方程; (2)设 A、B 是这个 椭圆上的两点,并且满足 NA ? ? NB, 当? ? [ , ] 时,求直线 AB 的斜率的取值范围. 19. (本小题共 14 分) 解: (1)由于 F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2 ,

??? ?

??? ?

1 1 5 3

?2c ?| F1 F2 |? 2, ? 2 ?a (3 分) ? ? ? 1 ?| NF1 |? 1, ?c ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ??????????????
?a 2 ? 2 x2 ? ? y 2 ? 1. 解得 ? 2 ,从而所求椭圆的方程为 (5 分) 2 ?b ? 1 ?????? ?
(2)? NA ? ? NB, ? A, B, N 三点共线,而点 N 的坐标为(-2,0). 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知 k≠0.

? y ? k ( x ? 2), 1 ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得 ( y ? 2) ? 2 y ? 2 , 2 k ? ? y ?1 ?2
2k 2 ? 1 2 4 y ? y ? 2 ? 0. 即 (6 分) k k2 ????????????

? 4 2k 2 ? 1 ? ? ( )2 ? 8 ? ? 0, ? 根据条件可知 ? k k2 ?k ? 0. ?
解得 0 ?| k |?

2 . 2 ??????????????????????

(7 分)

4k ? y1 ? y 2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则根据韦达定理,得 ? 2 ? y y ? 2k . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
又由 NA ? ? NB, 得( x1 ? 2, y1 ) ? ? ( x2 ? 2, y2 )

? x1 ? 2 ? ? ( x2 ? 2), ?? ? y1 ? ?y 2 .
(1 ? ? ) 2

4k ? ?(1 ? ? ) y 2 ? 2k 2 ? 1 , ? 从而 ? 2 ??y 2 ? 2k . ? 2 2k 2 ? 1 ?
8

消去 y 2 得

?
(1 ? ? ) 2

?

. (10 分) 2k ? 1 ????????????????
2

令 ? (? ) ?

?

1 1 1 1 , ? ? [ , ], 任取 ? ?1 ? ?2 ? ,则 5 3 5 3

? (?1 ) ? ? (?2 ) ?

(1 ? ?1 ) 2

?1

?

(1 ? ?2 ) 2

?2
1

? (?1 ? ?2 )(1 ?

?1?2

) ? 0.

1 1 ? ? (? )是区间[ , ] 上的减函数,????????????????(12 分) 5 3 1 1 从而 ? ( ) ? ? (? ) ? ? ( ) , 3 5 16 36 ? ? (? ) ? 即 , 3 5 16 8 36 ? ? 2 ? , 3 2k ? 1 5
解得 ?

1 2 2 1 2 ?k?? 或 ? k ? , 适合0 ?| k |? . 2 6 6 2 2 1 2 2 1 ,? ]?[ , ]. 2 6 6 2
(14 分)

因此直线 AB 的斜率的取值范围是 [?

19. (北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)(本小题满分 14 分) 已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0.
2 2

(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从 圆 C 外一点 P?x1 , y1 ? 向该圆引 一条切线,切 点为 M , O 为坐 标原点,且 有

PM ? PO , 求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标.
19. (本小题 14 分) 解: (1)当截距为 0 时,设切线方程为 y ? kx(k ? 0)
2 2 又? 若圆 C: (x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2, 圆心 ?? 1,2? ,半径为 2

?

?k?2 k2 ?1

? 2,
---------------------------------- 3 分

即k ? 2? 6

当截距不为 0 时,设切线方程为 x ? y ? a 则

?1? 2 ? a 2

? 2, 1 ? a ? 2
--------------------------------6分

? a ? 3 或 a ? ?1

? 切线的方程为 x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 3 ? 0, y ? 2 ? 6 x, y ? 2 ? 6 x ---7 分
(2)? PM ? PO ,

?

?

?

?

? x12 ? y12 ? ?x1 ? 1? ? ? y1 ? 2? ? 2
2 2

? 2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 ? 动点 P 的轨迹是直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0
------------------------ 10 分

? PM 的 最 小 值 就 是 PO 的 最 小 值 , 而 PO 的 最 小 值 为 点 O 到 直 线
2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离 d ?

3 5 10

---------------------------11 分

3 9 x1 ? ? 10 解得 ? 20 3 2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 y1 ? 5

x12 ? y12 ?

-------------------------- 13 分

? 3 3? ? 所求点 P? ? , ? ? 10 5 ?
得 分 评卷人

----------------------------

14 分

19. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理) (本小题共 13 分)

已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,直线 l 1 过点 F1 且垂直于椭圆的 3 2

长轴,动直线 l 2 垂直于直线 l 1 ,垂足为 D ,线段 DF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M。 (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; → → (Ⅱ)过点 F1 作直线交曲线 C 于两个不同的点 P 和 Q,设F1P = ? F1Q ,若 ? ∈[2,3],求

→ → F2P ? F2Q 的取值范围。 解:(Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 D(?1, y ) ,由中垂线的性质知 MD ? MF2

?| x ? 1 |= ( x ? 1) 2 ? y 2

化简得 C 的方程为 y 2 ? 4x

????3 分

(另:由 MD ? MF2 知曲线 C 是以 x 轴为对称轴,以 F2 为焦点,以 l 1 为准线的抛物线 所以

p ? 1, 2

则动点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4x )

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,由F1P = ? F1Q







? x1 ? 1 ? ? ( x 2 ? 1) ? ? y1 ? ? y 2




又由 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 在曲线 C 上知 ?

? 2 ? y1 ? 4 x1 ? y 2 2 ? 4 x2 ?







? x1 ? ? ? 解 得 ? 1 ?x2 ? ? ?
????8 分

所 以



x1 x2 ? 1
F2P

, y1 y 2 ? 4



?

F2Q



= ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 = x1 x2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? y1 y 2 = 6 ? (? ? 设u ?? ?

1

?

)
1

????10 分

1

?

有 u ' ? (? ?

1

?

)' ? 1 ?

1

?

2

?0 ? u?? ?

?

在区间 [2,3] 上是增函数,



5 1 10 ,进而有 ?? ? ? 2 ? 3

→ → 8 1 7 ? 6 ? (? ? ) ? , 所 以 F2P ? F2Q 的 取 值 范 围 是 3 ? 2

8 7 [ , ] ??13 分 3 2


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