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山东交通学院概率论期末考试及答案


山东交通学院 概率论与数理统计 课程期中考试试卷答案和评分标准
得分 学号 阅卷人

2010——2011 学年第 二 学期

第 1 页

共 2 页

一、 填空题(每小题 3 分,共 30 分)

?e? ( x ? y ) , x ? 0, y ? 0 ; 10.设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? 其他 . ?0 ,
则 P( X ? Y ) ? 0.5 . .
19 27

1.设 P( A) ? 0.3 , P( A ? B) ? 0.6 ,若 A ? B ,则 P( B) ?
… … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … …

0.6

2. 一射手连续射击 3 次,每次命中率为

2 ,则他至多射中两次的概率为 3

.

姓名

3. 袋中装有 2 个伍分, 3 个贰分, 5 个壹分的硬币, 任选其中 5 个, 则总币值超过 一角的概率为
1 2

二、 ( 10 分 ) 试卷中有一道选择题,共有 4 个答案 可供选择,其中只有一个答案是正确的。任一考生 阅卷人 如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他 不会解这道题,则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是 0.8, 求考生选出正确答案的概率。
得分 解:设事件 B 表示考生会解这道题, B 表示考生不会解这道题,又设事件 A 表示考生选 对.所以由全概率公式

. 2 . .

4. 设随机变量 X ~ N (2, 3) ,且 P{ X ? C ) ? P( X ? C} ,则 C ? 5. 设随机变量 X 服从二项分布 B(2, 0.4) ,则 E ? X 2 ? ? 6 设连续型随机变量 X 的分布函数为:
?0, ? F ( x) ? ? Ax 2 , ?1, ? x?0 0 ? x ? 1 ,则 A = x ?1

P ? A? ? P ? B ? P ? A B ? ? P B P A B

? ? ?

?

…………………………(4 分)

班级

1.12

? 0.8 ?1 ? 0.2 ? 0.25 ……………………………………(4 分) ? 0.85 ………………………………………………(2 分)
得分

三、 (15 分)设随机变量 X 的概率密度为

1

.

阅卷人

7.设随机变量 X ~ N ( 100, ? 2 ) ,且 P( X ? 103 ) ? 0.3085, 则 P( 97 ? X ? 103 ) ? 0.383 .

2 ? , x ? 0; ? f ? x ? ? ? ? (1 ? x 2 ) ? 0, x ? 0. ?

理工类各班级

求随机变量函数 Y ? ln X 的概率密度函数。 解:对任意的实数 y ,有

8.地铁站台每隔 5 分钟过一辆车,乘客到达车站的时刻是等可能的.求乘客等车的时 间的时间不超过 3 分钟的概率
3 5

FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(ln X ? y) ? P( X ? e y ) ……………………(5 分)
??
ey

.

0

2 2 dx ? arctan e y 2 ? ? ?1 ? x ?

………………………(5 分)

试卷适用班级

9.设两个相互独立额度随机变量 X 和 Y 的方差分别是 4 和 2,则随机变量 3 X ? 2Y 的 方差是 44 .

对 y 求导,即得 Y 的概率密度

fY ? y ? ?

2e y , ?? ? y ? ? ? ? e 2 y ? 1?

………………………(5 分)



山东交通学院 概率论与数理统计课程期中考试试卷答案和评分标准
得分 阅卷人

2010——2011 学年第 二 学期
E?X ? ? ?
?? ??


1 3

2 页

共 2页

四、 (15 分) 某地抽样调查结果表明,考生外语成绩(百分制)

? ?

??

??

xf ( x, y )dxdy ? ? 2 xdx ?
?1

0

0

? x ?1

dy ? ?

………………………(3 分) ………………………(3 分)

分布近似于正态分布 N (72, ? 2 ) , 96 分以上的占考生总数的 2.3% , E ?Y ? ? ???

??

??

??

yf ( x, y )dxdy ? ?

1 3

试求考生的外语成绩在 60 ? 84 分之间的概率。 ( ?(1) ? 0.8413, ?(2) ? 0.977 )
… … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … …

E ? ?3 X ? 2Y ? ? ?3E ? X ? ? 2 E ?Y ? ?
得分 阅卷人

解:设考生的外语成绩为 X ,则 X ~ N (72, ? 2 ) 又 96 分以上的占考生总数的 2.3% ,即 P(96 ? X ? 100) ? 2.3% ,故

1 ………………………(4 分) 3 六、 (15 分)一工厂有 200 台机器,白天每台机器开着的 概率为 0.8,各个机器是否工作相互独立。求白天同时开

) 着的机器台数超过 168 的概率。 (?(1.414) ? 0.9207

P( X ? 96) ? 1 ? 2.3% ? 0.977
即 因此 故

………………………(3 分) ………………………(4 分) ………………………(3 分)

解:设白天开着的机器台数为随机变量 X ,则 X ~ B(200,0.8) 又 EX ? 160, DX ? 32, 由中心极限定理知随机变量 X 近似服从 N (160,32)
168 ? X ? 200) ? ?( 故 P(

………(5 分)

?(

96 ? 72

?

) ? 0.977 ? ?(2)

24

?

? 2 , 即 ? ? 12

…………………(5 分)

X ~ N (72,122 )
84 ? 72 60 ? 72 ) ? ?( ) ? ?(1) ? ? (?1) 12 12
………………………(5 分)

所以考生的外语成绩在 60 ? 84 分之间的概率为:

200 ? 160 168? 160 ) ? ?( ) ? ?(7) ? ?(1.414) 32 32
………………………(5 分)

P(60 ? X ? 84) ? ? (

=1-0.9207=0.0793

? 2?(1) ? 1 ? 0.6826.
得分 阅卷人

五、 ( 15 分 )设 ( X , Y ) 在 A 上服从均匀分布, 其中 A 为 x 轴,y 轴 及直线 x ? y ? 1 ? 0 所围成的区域,求 E ? ?3X ? 2Y ? 。

解:因为 A 的面积为

1 ,所以 ( X , Y ) 的概率密度为 2
………………………(5 分)

?2, ? 1 ? x ? 0, ?1 ? y ? 0, f ( x, y) ? ? 其它, ?0,


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