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江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题


扬州中学 2013—2014 学年高三开学检测 数 学 试 卷
一.填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.在复平面内,复数

2013.8 象限.

1? i (其中 i 为虚数单位)对应的点位于第 2?i



2 2.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 3 x ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 a ?

?

?

▲ .

3.已知 ? ? (?

?
2

,0) , cos? ?

3 ? ,则 tan( ? ) ? ? 5 4





4.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , S k ? 63 ,则 k ? ___▲___. 5.设 m , n 是两条不同的直线,


? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的 序号





①.若 m // n ,m ? ? , 则 n ? ? ; ③.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ;

②.若 m // n ,m // ? , 则 n // ? ; ④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? .

6.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为

▲ .

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上

的动点,则 DE ? DC 的最大值为



.

8.已知 ? = {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上随机 投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为





9.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后,得到的图像解析式为____▲____.

? 个 6

1 ,则 x ? y ? ___▲___. 3 3 x 4 x 3 x 4 x 11.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x) 在 R 上单调递减,且 5 5 5 5
10.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程 x6 ? x 2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2的解集为



12.已知实数 p ? 0 ,直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x 2 ? 2 py 和圆 x 2 ? ( y ? )2 ?

p 2

p2 从左到右的交点 4

依次为 A、B、C、D, 则
13.设函数 f ( x ) ? ?

AB 的值为 CD





?2 x ( x ? 0) ?log 2 x( x ? 0)

,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为





14.设实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 均不小于 1,且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 729 ,则 max{x1 x2 , x2 x3 ,

x3 x4 , x4 x5 }的最小值是



. max{a, b, c, d } 是指 a 、 b 、 c 、 d 四个数中最大的一个) (

二.解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 2 cos

A A sin(? ? ) 2 2

? sin 2

A A ? cos 2 . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ?

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA 丄底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点, AD=2AB=2AP=2,PE=2DE. (I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF∥平面 ACE; (II)求三棱锥 P﹣ACE 的体积.

17. (本小题满分 15 分) 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折 后价格每满 500 元再减 100 元. 如某商品标价为 1500 元, 则购买该商品的实际付款额为 1500×0.8-200=1000 (元) .设购买某商品得到的实际折扣率=
实际付款额 .设某商品标价为 x 元,购买该商品得到的实际折扣 商品的标价

率为 y. (Ⅰ)写出当 x∈ ?0,1000 时,y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商品得到的实际折扣率; ? (Ⅱ)对于标价在[2500,3500]的商品,顾 客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折扣率低于
2 ? 3

18. (本小题满分 15 分)

如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A、B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A、B ,直线 4

AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M、N ,
(Ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值;
[来源:学 。科。 Z。 。 。 ] 网 X X K

(Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

P

19. (本小题满分 16 分) 已知 a , b 是实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax , g ( x) ? x 2 ? bx , f / ( x) 和 g / ( x) 分别是

f ( x) , g ( x) 的导函数,若 f / ( x) g / ( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致.
(Ⅰ)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a , b 为端点的开区间上单调性一致,求 | a ? b | 的最 大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个无穷数列 {an } 、 {bn } 满足 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) .
*

(Ⅰ)当数列 {an } 是常数列(各项都相等的数列) ,且 b1 ?

1 时,求数列 {bn } 的通项公式; 2

(Ⅱ)设 {an } 、 {bn } 都是公差不为 0 的等差数列,求证:数列{an } 有无穷多个,而数列 {bn } 惟一确定;

(Ⅲ)设 an ?1 ?

2n 2an 2 ? an S (n ? N * ) , Sn ? ? bi ,求证: 2 ? n ? 6 . an ? 1 n2 i ?1

高三数学开学检测答题纸
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 成绩 5. 10.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:

16.解:

17.解:

18.解:

[来源:学 网] .科.

19.解:

(20 题做在反面)

数学附加题
1. (本小题满分 10 分) 求 ( x 2 ? )6 展开式中的常数项.

1 x

2. (本小题满分 10 分) 某舞蹈小组有 2 名男生和 3 名女生.现从中任选 2 人参加表演,记 X 为选取女生的人数,求 X 的
[来源 _ 科 网 Z X_X _K ] :学 _ _

分布列及数学期望.

3. (本小题满分 10 分) 如图(1) ,等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE⊥AB 于 E,现将△ ADE 沿 DE 折起到△ PDE 的位置(如图(2). ) (Ⅰ)求证:PB⊥DE; (Ⅱ)若 PE⊥BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.
[来源:Z k.C m] xx o

4. (本小题满分 10 分) 数列 {2 n ? 1} 的前 n 项组成集合 An ? {1,3, 7, ???, 2n ? 1}(n ? N * ) , 从集合 An 中任取 k( k ? 1 , 3, 2, …, ,记 n )个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定乘积为此数本身)

Sn ? T1 ? T2 ? ??? ? Tn .例如:当 n ? 1 时,A1 ={1},T1 =1,S1 =1;当 n=2 时,A2 ={1,3},T1=1+3,T2=1×3,
S2 =1+3+1×3=7. (Ⅰ)求 S 3 ; (Ⅱ)猜想 S n ,并用数学归纳法证明.

高三数学开学检测参考答案
1.一 10. 2.1 3. ?

2013.8 7.1 8.

? 3

1 7

4.6 12.

5.① 13.2

6.145 14.9 =

2 9

9. y ? sin(2 x ?

?
6

)

11.{﹣1,2}

1 16

15. (Ⅰ) 因为 0<A<π,所以 则所以当 (Ⅱ)由题意知 又知 ,所以 ,即 .



时,f(A)取得最大值,且最大值为 ,所以 ,则 .因为

. .

,所以

,则





得,



16. (I)若 F 为 PE 的中点,由于底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE,故 E、 F 都是线段 PD 的三等分点. 设 AC 与 BD 的交点为 O,则 OE 是△ BDF 的中位线,故有 BF∥OE,而 OE 在平面 ACE 内,BF 不在平面 ACE 内,故 BF∥平面 ACE. (II)由于侧棱 PA 丄底面 ABCD,且 ABCD 为矩形,故有 CD⊥PA,CD⊥AD,故 CD⊥平面 PAE. 三 棱 锥 P ﹣ ACE 的 体 积 VP ﹣ ACE=VC ﹣ PAE = ?AB= ?PA?PD?AB= ?1?2?1= .
0.8, ? ? ∴ y ? ? 0.8x ? 100 , ? x ? 0 ? x ? 625, 625 ? x ? 1000 .

S△ PAE?CD=

?(

?S△ PAD ) ?AB=



?

?PA?PD )

17. (Ⅰ)∵500÷0.8=625

当 x=1000 时,y=

0.8 ?1000? 100 =0.7 1000

即购买标价为 1000 元的商品得到的实际折扣率为 0.7. (Ⅱ)当 x∈[2500,3500]时,0.8x∈[2000,2800] ①当 0.8x∈ ?2000,2500? 即 x∈ ?25003125 时, ? , ∴2500≤x<3000; …10 分
0.8x ? 500 2 ? x 3 0.8x ? 400 2 ? x 3

解得 x<3000

? , ? , ②当 0.8x∈ ?25002800 即 x∈ ?31253500 时,
解得 x<3750 ∴3125≤x≤3500; ……13 分 综上,2500≤x<3000 或 3125≤x≤3500

即顾客购买标价在 ? 2500,3000? ? ? 3125,3500? 间的商品,可得到的实际折扣率低于 18.解(Ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

2 . 3

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

2 2 y ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 x0 1 2 ( ,从而有 k1k 2 ? 0 ? ? ?? 。 ? y0 ? 1 , x0 ? 0 ) 2 x0 x0 x0 4 4

(Ⅱ)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? ( ?1) ? k 2 ( x ? 0) ,

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , 由? ?? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , 由? ?? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

? 3 ? ? 1 ? ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? ,?2 ? ,直线 BP 与直线 l 的交点 M ? ? ,?2 ? 。 ? k ? ? k ? ? 1 ? ? 2 ?
又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 , ,?| MN |? k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4
3 3 ,故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 ? 4 | k1 | 时取到,即 k1 ? ? 2 | k1 |

等号当且仅当

19.由已知,f '(x)=3x +a,g'(x)=2x+b,a,b?R; ⑴由题设“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 即,(3x2 +a)(2x+b)?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 因 a>0,所以,3x2 +a>0,所以,2x+b?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 即,b?-2x 在区间[-1,+?)上恒成立,而 y=-2x 在[-1,+?)上最大值 ymax=-2(-1)=2, 所以,b?2,即 b?[2,+?); ⑵由“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)?0 在以 a,b 为端点的开区间上恒成立, 即,(3x2 +a)(2x+b)?0 在以 a,b 为端点的开区间上恒成立,
[来源 :学科 ZXXK ] 网

2

a a b - ,x2 = - ,x3 =- ; 3 3 2 ①若 b>0,则开区间为(a,b),取 x=0,由 f '(0)g'(0)=ab<0 知,f(x)和 g(x)在区间(a,b)上单调性不一致,不符合 题设; 因 a<0,所以,由(3x +a)(2x+b)=0,得 x1 =-
2

②若 b?0,因 x2 ,x3 均为非负,故不在以 a,b 为端点的开区间内;所以,只有 x1 在区间上; 由 f '(x)g'(x)?0 在以 a, 为端点的区间上恒成立, x1 =- b 知 b 中的小者; 因为 a,b 都不大于 0,所以,(2x+b)?0,所以,由 f '(x)g'(x) ?0 知(3x +a)?0,所以-
2

a - 要么不小于 a, 中的大者, b 要么不大于 a, 3 a - ?x?0; 3

当 0>a>b?-

a - 时,由 f '(x)g'(x)?0 在区间(b,a)上恒成立,即(3x2 +a)(2x+b)?0 在区间(b,a )上恒成立,知|a 3 a - |,而由 a>- 3 a 1 - 解得 a>- ; 3 3

-b|最大值为|a+ 此时,|a+ 当 0?b >a?-

a 1 - |=|-( -a)2 + -a|,配方后知,取不到最大值; 3 3 a - 时, 显然, 此时, b=0, 当 a=- 3 a 1 1 1 - , b=0, 即 a=- 时, |a-b|取得最大值|0-(- )|= ; 3 3 3 3

1 综上,|a-b|的最大值为 ; 3 20.

附加题参考答案
1.展开式的通项公式为 Tr+1= ?x12
﹣2r

?x r=



?x12 =

﹣3r



令 12﹣3r=0,r=4,故该展开式中的常数项为 2.依题意,X 所有取值 0,1,2. P(X=0)= X 的分布列为: X P EX= . 0 1 ,P(X=1)=

=15.

= ,P(X=2)=

=



2

3.(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE, ∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面 PEB, 又∵PB?平面 PEB,∴BP⊥DE; (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图) , 设 PE=a,则 B(0,4﹣a,0) ,D(a,0,0) ,C(2,2﹣a,0) , P(0,0,a) ,…(7 分) 可得 设面 PBC 的法向量 , , ,



令 y=1,可得 x=1,z=

因此 ∵

是面 PBC 的一个法向量, ,PD 与平面 PBC 所成角为 30°,



,即



解之得:a= ,或 a=4(舍) ,因此可得 PE 的长为 .

4.(Ⅰ)当 n=3 时,A3 ={1,3,7},

T 1 =1+3+7=11,T 2 =1×3+1×7+3×7=31,T3 =1×3×7=21, 所以 S3 =11+31+21=63; (Ⅱ)由 S1 =1=21 ﹣1= ﹣1,S2 =7=23 ﹣1= ﹣1,S3 =63=26 ﹣1= ﹣1,

猜想

﹣ 1,下面证明:

(1)易知 n=1 时成立; (2)假设 n=k 时 ﹣1 ,

则 n=k+1 时,Sk+1 =T1 +T2 +T 3 +…+Tk+1 =[T1 ′+(2
k+1

﹣1)]+[T2 ′+(2

k+1

﹣1)T1 ′]+[T3 ′+(2

k+1

﹣1)T2 ′]+…+[Tk ′+(2

k+1

﹣1)

](其中

T i′,i=1,2,…,k,为 n=k 时可能的 k 个数的乘积的和为 Tk ) , =( ﹣1)+(2k+1 ﹣1)Sk =2k+1 ( ﹣1)+(2k+1 ﹣1) )+(2k+1 ﹣1)+(2k+1 ﹣1) ( )=Sk +(2k+1

=

﹣1=

﹣1,即 n=k 时

﹣1 也成立,

综合(1) (2)知对 n∈N*

﹣1 成立.

所以

﹣1.


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