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高考数学第一轮复习单元试卷4-三角函数的图象和性质


第四单元 三角函数的图象和性质
一.选择题 选择题 (1)下列函数中,最小正周期为 A. y = sin( 2 x ?

π
2

的是(



π

) B. y = tan(2 x ? ) C. y = cos(2 x + ) D. y = tan(4 x + ) 3 3 6 6

π

π

π

(2)将函数 y = sin 4 x 的图象向左平移 A. ?

π

π
12

B. ?

π
3


12

个单位,得到 y = sin( 4 x + ? ) 的图象,则 ? 等(

)

C.

π
3

D.

π
12

(3)下列命题中正确的是( A. y = tan x 为增函数 C. y =

B. y = sin x 在第一象限为增函数 D. y = sin x 的反函数为 y = arcsin x )

π
2

? arccos x 为奇函数

(4) y = 2 sin( A. [ kπ ? C. [ kπ ?

π π
3

? 2 x) 单调增区间为( , kπ + 5 π] 12 ]

π

12 3

B. [ kπ +

, kπ +

π

6

5 11 π , kπ + π ] 12 12 π 2 D. [ kπ + , kπ + π ]其中k ∈ Z 6 3
) y y

(5)函数 y = - xcosx 的部分图象是( y y O B

O A

x

x

O C

x

O D

x

(6) f ( x) = A sin(ωx + ? ) (A>0,ω>0)在 x=1 处取最大值,则 ( A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x + 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x + 1) 一定是偶函数



(7)已知 f ( x) = sin( x ? ? ) + cos( x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的一个取值( A.0 (8) f ( x) = sin A.3π B.π C.



π
2

D.

π
4


2 2 x + cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 C. π D. π B. π 3 2 6

1

(9)函数 y = sin( 2 x + A. x = ?

π
2

5 π ) 的一条对称轴方程( 2
B. x = ?

) C. x =

π

π
8

4

D. x =

5 π 4


(10)使 y = sin ωx (ω>0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则ω的最小值为( A. π 二.填空题 填空题 (11)把函数 y = cos(x+

5 2

B. π C.π

5 4

D. π

3 2

π
3

)的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的

最小值是_________。

2π )的图象与 x 轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是_______。 3 ?π (13) y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于 x = 对称,则 a 等于___________。 8 π 1 (14)①存在 α ∈ (0, ) 使 sin a + cos a = 2 3
(12)函数 y = -2sin(4x+ ②存在区间(a,b)使 y = cos x 为减函数而 sin x <0 ③ y = tan x 在其定义域内为增函数 ④ y = cos 2 x + sin( ⑤ y = sin | 2 x +

π
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

π
6

| 最小正周期为π

以上命题错误的为____________。 三解答题: 三解答题 15.函数 f ( x) = a sin ωx + b cos ωx + 1 最小正周期为π,最大值为 3,且

f ( ) = 3 + 1 (ab ≠0) ,求 f (x)的的解析式。 6 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 的最小正周期、最大值、最小值 2 ? sin 2 x

π

16.求 f ( x) =

17.P 为直径 AB=4 的半圆上一点,C 为 AB 延长线上一点,BC=2,△PCQ 为正△,问 ∠POC 为多大时,四边形 OCQP 面积最大,最大面积为多少? 18. f ( x) = 2 3 sin(3ωx +

π
3

) (ω>0)

(1)若 f (x +θ)是周期为 2π的偶函数,求ω及θ值 (2)f (x)在(0,

π
3

)上是增函数,求ω最大值。

2

答案 一选择题: 1. B [解析]:正弦、余弦型最小正周期为 T= 2.C [解析]:函数 y = sin 4 x 的图象向左平移 故? = 3.C [解析]:A、B、D 都是定义域的问题 而 f (? x) = 4.B [解析]:∵ y = 2 sin(



ω π
12

,正切型最小正周期为 T=

π ω π
12 ) 的图象,

个单位,得到 y = sin 4( x +

π
3

π
2

? arccos(? x) =

π
2

? (π ? arccos x) = ? f ( x) ,故选 C

π
3

? 2 x) = ? 2 sin(2 x ?

π
3

)

2 5 11 ∴ kπ + π ≤ x ≤ kπ + π 12 12
5.D

∴要求单调增区间就是解

π

+ 2kπ ≤ 2 x ?

π
3



3π + 2kπ 2

k∈Z

[解析]:∵函数 y = - xcosx 是奇函数,∴排除 A、C, 又当 x 取一个小正数时,y 的值为负,故选 D 6.D [解析]: ∵ f ( x ) = A sin(ωx + ? ) (A>0,ω>0)在 x=1 处取最大值 ∴ f ( x + 1) 在 x=0 处取最大值, 即 y 轴是函数 f ( x + 1) 的对称轴 ∴函数 f ( x + 1) 是偶函数 7.D [解析]:∵ f ( x ) = sin( x ? ? ) + cos( x ? ? ) 为奇函数 而 f ( x ) = sin( x ? ? ) + cos( x ? ? ) = 2 sin( x ? ? + ∴ ? 的一个取值为

π
4

)

π
4

8.C [解析]: ∵ f ( x ) = sin

2 2 2 π x + cos x = 2 sin( x + ) 3 3 3 4

3

2 π π 3π 3 + kπ x + = + kπ ,即 x = 3 4 2 8 2 3 故相邻的两条对称轴间距离为 π 2
∴图象的对称轴为 9.A [解析]:当 x = ? 10.A [解析]:要使 y = sin ωx (ω>0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值 只需要最小正周期 二填空题: 11.

(k ∈ Z )

π
2

时 y = sin( 2 x +

5 π) 2

取得最小值-1,故选 A

5 2π 5 ? ≤ 1,故 ω ≥ π 4 ω 2

2 π 3
[解析]:把函数 y = cos(x+

π
3

)的图象向左平移 m 个单位(m>0),

得到图象 y = cos(x+ 故 m 的最小值是 12.. (

π
3

+m),而此图象关于 y 轴对称

π
12

2 π 3

, 0)

[解析]:∵函数 y = -2sin(4x+

2π )的图象与 x 轴的相交 3 2π π kπ ∴4x+ = kπ , ∴ x = ? + k∈Z 3 6 4

当 k=1 时,交点离原点最近,坐标为( 13.-1 [解析]: y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于 x = 则 f ( 0) = f ( ? 14.①②③⑤ [解析]:①当 α ∈ (0,

π

12

, 0)。

π
4

)

即 a = sin( ?

π

?π 对称, 8
) = ?1

2

π
2

) 时 sin a + cos a > 1 ,故①错

②若 y = cos x 为减函数则 x ∈ [ 2kπ , π + 2kπ ] ③当 x 分别去 π ,2π 时,y 都是 0,故③错 ④∵ y = cos 2 x + sin(

k ∈ Z ,此时 sin x >0,故②错

π
2

? x) = 2 cos 2 x + cos x ? 1

∴既有最大、最小值,又是偶函数,故④对

4

⑤ y = sin | 2 x + 三解答题:

π
6

| 最小正周期为

π
2

,故⑤错

2 2 15.解: f ( x ) = a sin ωx + b cos ωx + 1 = a + b sin(ωx + ? ) + 1

又最小正周期为π,最大值为 3,且 f ( ) = 故

π



6

3 + 1 (ab ≠0) ,

ω

= π ,ω = 1

a 2 + b 2 +1=3, a sin
解得 a = 1, b =

π
6

+ b cos

π
6

+1 = 3 +1

3

因此 f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 16.解:

sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 2 ? sin 2 x 2 2 1 ? sin x cos x = 2 ? sin 2 x 1 1 ? sin 2 (2 x) 4 = 2 ? sin 2 x 1 = (2 + sin 2 x) 4 f ( x) =
故最小正周期、最大值、最小值分别为 π ,

3 1 , 4 4

17.解:设∠POC= α ,在ΔOPC 中由余弦定理得 PC2=20-16cos α S ?OPC =4sin α , S ?PCQ = 5 3 ? 4 3 cos α

S OCPQ = 4 sin α ? 4 3 cos α + 5 3 = 8 sin(α ?
故当 α = 18.解: (1) 因为 f (x +θ)= 2 3 sin(3ωx + 3θ + 又 f (x +θ)是周期为 2π的偶函数, 故ω =

π
3

)+5 3

5 π 时,四边形 OCQP 面积最大,最大面积为 8 + 5 3 6

π
3

)

1 π , θ = kπ + 3 6

k∈ Z

5

(2)因为 f (x)在(0,

π
3

)上是增函数,故ω最大值为

1 6

6



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