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贵州省遵义市航天高级中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


贵州省遵义市航天高级中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学 试卷
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M={x|x ﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=() A.(0,4] B.[0,4) C.[﹣1,0)
2

D.(﹣1,0]

2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=() A.7 B. 8 C.15 D.16 3.在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 4.等比数列{an}中,a1+a2=40,a3+a4=60,那么 7+a8=() A.9 B.100 C.135
2

D.等边三角形

D.80

5.若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m

﹣n=() A.5

B. 6

C. 7

D.8

6.数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1=()

A.

B.

C.

D.

7.若 a>b>0,c<d<0,则一定有() A. > B. < C. > D. <

8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b +c ﹣a ) ,则∠B=() A.90° B.60° C.45° D.30°
* 2 2 2

9.已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则 a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N )的取值范围 是()

A.[12,16)

B.[8,16)

C.

D.

10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m 等于() A.38 B.20 C.10 D.9 11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn

2

12.x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数

a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ ABC 中,已知 b=50 ,c=150,B=30°,则边长 a=. 14. (1999?广东)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是. 15.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的 高是 46m,则河流的宽度 BC 约等于 m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, ≈1.73)

16.数列{an}中,a1=1,an+an+1=( ) ,Sn=a1+4a2+4 a3+…+4 比数列前项和公式的方法,可求得 5Sn﹣4 an=.
n

n

2

n﹣1

an

,类比课本中推导等

三、解答题: 17.△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值.

18.知二次函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1(a∈z) ,在区间(﹣2,﹣1)上恰有一个零点, 解不等式 f(x)>1. 19.已知等差数列{an}的公差 d>0,设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2?S3=36. (Ⅰ)求 d 及 Sn; * (Ⅱ)求 m,k(m,k∈N )的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65. 20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA= ,求△ ABC 的面积. ,cos A﹣
2

2

21.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°, (Ⅰ)若 ,求 PA;

,BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠BPC=90°

(Ⅱ)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.

22.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,4Sn=an?an+1 (1)求{an}的通项公式. (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: <Tn< .

贵州省遵义市航天高级中学 2014-2015 学年高一下学期 期中数学试卷
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 2 1.设集合 M={x|x ﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=() A.(0,4] B.[0,4) C.[﹣1,0) 考点: 交集及其运算.

D.(﹣1,0]

专题: 集合. 分析: 求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解. 解答: 解:由 x ﹣3x﹣4<0,得﹣1<x<4. 2 ∴M={x|x ﹣3x﹣4<0}={x|﹣1<x<4}, 又 N={x|0≤x≤5}, ∴M∩N={x|﹣1<x<4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4) .
2

故选:B. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题. 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=() A.7 B. 8 C.15 D.16 考点: 等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先根据“4a1,2a2,a3 成等差数列”和等差中项的性质得到 3 者的关系式,然后根据 等比数列的性质用 a1、q 表示出来代入以上关系式,进而可求出 q 的值,最后根据等比数列 的前 n 项和公式可得到答案. 解答: 解:∵4a1,2a2,a3 成等差数列 ∴ ,

∴ ∴q=2 ∴S4= =

,即

=15

故选 C 点评: 本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质.属基础题. 3.在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形
2

D.等边三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 2 2 2 2 2 2 分析: 由余弦定理且 B=60°得 b =a +c ﹣ac,再由 b =ac,得 a +c ﹣ac=ac,得 a=c,得 A=B=C=60°,得△ ABC 的形状是等边三角形 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac,又 b =ac, 2 2 2 ∴a +c ﹣ac=ac,∴(a﹣c) =0,∴a=c,∴A=B=C=60°, ∴△ABC 的形状是等边三角形. 故选 D.

点评: 本题考查三角形的形状判断,用到余弦定理,在一个式子里面未知量越少越好.是 基础题. 4.等比数列{an}中,a1+a2=40,a3+a4=60,那么 7+a8=() A.9 B.100 C.135 考点: 专题: 分析: 解答: ∴q =
2

D.80

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 6 由题意可得等比数列的公比 q,而 7+a8=(a1+a2)q ,代值计算可得. 解:设等比数列{an}的公比为 q, = = ,
6

∴7+a8=(a1+a2)q =40×

=135,

故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题.

5.若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m

﹣n=() A.5

B. 6

C. 7

D.8

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A, 直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 A(﹣1,﹣1) ,此时 z=﹣2﹣1=﹣3,此时 n=﹣3, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 B(2,﹣1) ,此时 z=2×2﹣1=3,即 m=3, 则 m﹣n=3﹣(﹣3)=6,

故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关 键.

6.数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1=()

A.

B.

C.

D.

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的递推关系进行求解即可. 解答: 解:∵an+1= ,a8=2,

∴an=1﹣



则 a7=1﹣ = ,a6=1﹣ =1﹣2=﹣1,

a5=1﹣

=1+1=2,a4=1﹣



即 a5=a8,a4=a7, 即数列{an}是周期为 3 的周期数列, 则 a1=a4= , 故选:A. 点评: 本题主要考查递推数列的应用,根据条件推出数列是周期数列是解决本题的关键. 7.若 a>b>0,c<d<0,则一定有() A. > B. < C. > D. <

考点: 专题: 分析: 解答: 则

不等关系与不等式. 不等式的解法及应用. 利用特例法,判断选项即可. 解:不妨令 a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1, ,

∴C、D 不正确; =﹣3, =﹣ ∴A 不正确,B 正确. 解法二: ∵c<d<0, ∴﹣c>﹣d>0, ∵a>b>0, ∴﹣ac>﹣bd, ∴ ∴ . ,

故选:B. 点评: 本题考查不等式比较大小,特值法有效,带数计算正确即可. 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b +c ﹣a ) ,则∠B=() A.90° B.60° C.45° D.30°
2 2 2

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得 sinC 的值,进 而求得 C,然后利用三角形面积公式求得 S 的表达式,进而求得 a=b,推断出三角形为等腰 直角三角形,进而求得∠B. 解答: 解:由正弦定理可知 acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B) =2RsinC=2RsinC?sinC ∴sinC=1,C=
2


2 2

∴S= ab= (b +c ﹣a ) , 解得 a=b,因此∠B=45°. 故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用. 作为解三角形常用的定理, 我们应熟练记忆和掌 握正弦定理公式及其变形公式.

9.已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则 a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N )的取值范围 是() A.[12,16) B.[8,16) C. D.

*

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先根据等比中项性质可知(a2) =a1?a3=4,进而根据 a1+a3=5 求得 a1 和 a3,进而 根据 q =
2

求得 q.根据 a1a2+a2a3+…+anan+1 是数列{anan+1}的前 n 项和,且数列{anan+1}是 (1﹣ ) ,可

以 8 为首项, 为公比的等比数列.进而可得前 n 项和的表达式为 Sn= 知 Sn<

,由已知{an}是递减等比数列可知{Sn}的最大项为 S1,进而得到答案.
2

解答: 解: (a2) =a1?a3=4,a1+a3=5, 2 ∴a1 和 a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根,解得 x=1 或 4 ∵{an}是递减等比数列,∴a1>a3, ∴a1=4,a3=1 ∴q =
2

=

∵{an}是递减等比数列,∴q>0 ∴q=

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=a1 q+a1 q +a1 q …+a1 q ∵{an}是递减等比数列, ∴{Sn}的最小项为 S1=8 ∴a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N )的取值范围是
*

2

2 3

2 5

2 2n﹣1

=

=

(1﹣

) <

故选 C 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.数列内容 2015 届高考必考内容之一,选择题主 要考查等差、等比数列的性质(尤其是中项公式) 、定义,以及前 n 项和 Sn 的简单应用. 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m 等于() A.38 B.20 C.10 D.9 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.
2

分析: 可得:am﹣1+am+1=2am,代入 am﹣1+am+1﹣am =0 中,即可求出第 m 项的值,再由 求和公式代入已知可得 m 的方程,解之可得. 解答: 解:根据等差数列的性质可得:am﹣1+am+1=2am, 2 则 am﹣1+am+1﹣am =am(2﹣am)=0, 解得:am=0 或 am=2, 若 am 等于 0,显然 S2m﹣1= =(2m﹣1)am=38 不成立,故有 am=2, ∴S2m﹣1=(2m﹣1)am=4m﹣2=38, 解得 m=10. 故选 C 点评: 本题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值 的能力,属中档题.

2

11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 选出正确选项. 解答: 解:∵ , … ∴ = 故选:A. 点评: 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等,这种办法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确 递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项. , ,用迭代法整理出结果,约分后

12.x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数

a 的值为()

A. 或﹣1

B. 2 或

C. 2 或 1

D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率 的变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ ABC 中,已知 b=50 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由余弦定理可得 = ,解一元二次方程求出 a ,c=150,B=30°,则边长 a=100 .

的值. 2 2 2 解答: 解:由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB,即 = ∴a= , ,

故答案为 . 点评: 本题考查余弦定理的应用,一元二次方程的解法,求 a 的值,是解题的难点. 14. (1999?广东)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是[9,+∞) . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据基本不等式可知 a+b≥2 ,代入题设等式中得关于 求得 的范围,则 ab 的最大值可得. 解答: 解:∵a+b≥2 ,ab=a+b+3, ∴ab﹣2 ﹣3≥0 ∴ ≥3 或 ≤﹣1(空集) ∴ab≥9

不等式方程,进而

故答案为:[9,+∞) 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 考查了学生对基本不等式的整体 把握和灵活运用. 15.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的 高是 46m,则河流的宽度 BC 约等于 60m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, ≈1.73)

考点: 余弦定理的应用;正弦定理;正弦定理的应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线,垂足为 D,分别在 Rt△ ACD、Rt△ ABD 中利 用三角函数的定义,算出 CD、BD 的长,从而可得 BC,即为河流在 B、C 两地的宽度. 解答: 解:过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线,垂足为 D, 则 Rt△ ACD 中,∠C=30°,AD=46m, AB= 得 BC= 故答案为:60m. ,根据正弦定理, = =60m. ,

点评: 本题给出实际应用问题, 求河流在 B、 C 两地的宽度, 着重考查了三角函数的定义、 正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.
n 2 n﹣1

16.数列{an}中,a1=1,an+an+1=( ) ,Sn=a1+4a2+4 a3+…+4 比数列前项和公式的方法,可求得 5Sn﹣4 an=n. 考点: 类比推理. 专题: 推理和证明.
n

an

,类比课本中推导等

分析: 先对 Sn=a1+a2?4+a3?4 +…+an?4 两边同乘以 4,再相加,求出其和的表达式,整 n 理即可求出 5Sn﹣4 an 的表达式. 2 n﹣1 解答: 解:由 Sn=a1+a2?4+a3?4 +…+an?4 ① 2 3 n﹣1 n 得 4?sn=4?a1+a2?4 +a3?4 +…+an﹣1?4 +an?4 ② 2 n﹣1 n ①+②得:5sn=a1+4(a1+a2)+4 ?(a2+a3)+…+4 ?(an﹣1+an)+an?4 =a1+4× +4 ?( ) +…+4
n 2 2 n﹣1

2

n﹣1

?( )

n﹣1

+4 ?an

n

=1+1+1+…+1+4 ?an n =n+4 ?an. n 所以 5sn﹣4 ?an=n, 故答案为:n. 点评: 本题主要考查数列的求和,用到了类比法,关键点在于对课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法的理解和掌握. 三、解答题: 17.△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化 简,再利用诱导公式变形即可得证; (Ⅱ) 由 a, bc 成等比数列, 利用等比数列的性质列出关系式, 再利用余弦定理表示出 cosB, 将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c, 利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC, ∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , ∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C) ; (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列, 2 ∴b =ac, ∴cosB= = ≥ = ,

当且仅当 a=c 时等号成立, ∴cosB 的最小值为 . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟 练掌握定理是解本题的关键. 18.知二次函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1(a∈z) ,在区间(﹣2,﹣1)上恰有一个零点, 解不等式 f(x)>1. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数零点的判定定理. 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 由题意,f(﹣2)?f(﹣1)<0,从而求出 a=﹣1,从而化简不等式求解即可. 解:由题设易知: , 又∵a∈z, ∴a=﹣1, ∴f(x)=﹣x ﹣x+1?﹣x ﹣x+1>1, ∴不等式解集为(﹣1,0) . 点评: 本题考查了函数的零点的判断应用及一元二次不等式的解法,属于基础题. 19.已知等差数列{an}的公差 d>0,设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2?S3=36. (Ⅰ)求 d 及 Sn; * (Ⅱ)求 m,k(m,k∈N )的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65. 考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 根据等差数列通项公式和前 n 项和公式, 把条件转化为关于公差 d 的二次方 程求解,注意 d 的范围对方程的根进行取舍; (Ⅱ)由(Ⅰ)求出等差数列{an}的通项公式,利用等差数列的前 n 项和公式,对 * am+am+1+am+2+…+am+k=65 化简,列出关于 m、k 的方程,再由 m,k∈N 进行分类讨论,求 出符合条件的 m、k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 a1=1,S2?S3=36 得, (a1+a2) (a1+a2+a3)=36, 2 即(2+d) (3+3d)=36,化为 d +3d﹣10=0, 解得 d=2 或﹣5, 又公差 d>0,则 d=2, 所以 Sn=n =n (n∈N ) .
2 * 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由 am+am+1+am+2+…+am+k=65 得, 即(k+1) (2m+k﹣1)=65, ,

又 m,k∈N ,则(k+1) (2m+k﹣1)=5×13,或(k+1) (2m+k﹣1)=1×65, 下面分类求解: 当 k+1=5 时,2m+k﹣1=13,解得 k=4,m=5; 当 k+1=13 时,2m+k﹣1=5,解得 k=12,m=﹣3,故舍去; 当 k+1=1 时,2m+k﹣1=65,解得 k=0,故舍去; 当 k+1=65 时,2m+k﹣1=1,解得 k=64,m=﹣31,故舍去; 综上得,k=4,m=5. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,及分类讨论思想和方程思想,难 度较大,考查了分析问题和解决问题的能力. 20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA= ,求△ ABC 的面积. ,cos A﹣
2

*

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得 ,由 a≠b 得,A≠B,又 A+B∈(0,π) ,可得 ,即可得出. (2)利用正弦定理可得 a,利用两角和差的正弦公式可得 sinB,再利用三角形的面积计算 公式即可得出. 解答: 解: (1)由题意得, ∴ 化为 由 a≠b 得,A≠B,又 A+B∈(0,π) , 得 ∴ (2)由 ; ,利用正弦定理可得 ,故 . ,得 , , ,即 , , , ,

由 a<c,得 A<C,从而 ∴

点评: 本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°, (Ⅰ)若 ,求 PA;

,BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠BPC=90°

(Ⅱ)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)在 Rt△ PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△ PBA 中,利用余弦定理即可求得 PA. (II)设∠PBA=α,在 Rt△ PBC 中,可得 PB=sinα.在△ PBA 中,由正弦定理得 ,即 ,化简即可求出.

解答: 解: (I)在 Rt△ PBC 中, 在△ PBA 中,由余弦定理得 PA =PB +AB ﹣ 2PB?ABcos30°= ∴PA= .
2 2 2

= ,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.

= .

(II)设∠PBA=α,在 Rt△ PBC 中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα. 在△ PBA 中,由正弦定理得 ,即 ,

化为

.∴



点评: 熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键. 22.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,4Sn=an?an+1 (1)求{an}的通项公式. (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: <Tn< .

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)运用递推关系式得出 4Sn=an?an+1,4Sn﹣1=an﹣1?an,a1×a2=4a1,a2=4, 作差求解 an+1﹣an﹣1=4,n≥2,利用 a1=2,a2=4,判断出{an}为等差数列,即可求解通项公式. (2)运用数列的和得出前 n 项和为 Tn= 从通项公式放缩 = [ = [ ](n≥1) ](n≥2) , ,

得出正负项即可得证. 解答: 解: (1)∵正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,4Sn=an?an+1,① 4Sn﹣1=an﹣1?an,②,a1×a2=4a1,a2=4 ∴①﹣②得出:4an=an(an+1﹣an﹣1) , an+1﹣an﹣1=4,n≥2 ∴a2﹣a1=4﹣2=2, ∴数列{an}为等差数列,首项为 2,公差为 2, ∴an=2n. (2)∵ = ,

∴前 n 项和为 Tn= ∵ = [ = [ ∴Tn> [1﹣ Tn< ∴ [ <Tn< . + …+ ](n≥2) , ](n≥1) +…+ ]=



]= [1﹣ [1﹣ ]

]=

, = ,

点评: 本题综合考察了数列的定义性质, 通项公式的求解, 放缩法求解证明数列的和的不 等式,属于中档题,考察了学生的运算化简能力. .


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