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高一第一学期期末考试数学试卷(人教B版必修1+必修2)


中恒学校高一第二学期卓越班第一次数学测试卷
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
x 2 1.集合 M ? y y ? 2 , x ? R? , N ? y y ? x , x ? R? ,则 M

?

?

N 为(



(A) M

(B) N 则

(C)

?2,4?

(D) ?(2, 4),(4,16)? ( )

2.若 loga 2 ? logb 2 ? 0 A, 0 ? a ? b ? 1

B, 0 ? b ? a ? 1

C, a ? b ? 1

D, b ? a ? 1

3.已知函数 f ( x) 定义域为 {x ? R x ? 0} ,且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若 f (4) ? 8 , 则

f (2) ? (

) (A)2

(B)4

(C)-2 )

(D)-4

4.在空间中,给出下面四个命题其中正确命题个数为 ( ①过平面 ? 外两点有且只有一个平面与平面 ? 垂直,

②若平面 ? 内有不共线三点到平面 ? 的距离都相等,则 ? || ? , ③若直线 l 与平面 ? 内无数条直线垂直,则 l ? ? , ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行直线。 A. 0 B. 1 C. 2 D.
' '

3
' ' '

5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A B O ,若 O B ? 1 ,那么原 ?ABO 的面积是( ) A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2 2

6.已知函数 f ( x ) 定义域为 R,则 f ( x) ? f ( ?x) 一定为 A, 非奇非偶函数
3 2





B,奇函数

C,偶函数 D,既奇又偶函数

7.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下 表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
3 2

f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260

f(1.438)=0.165

f(1.4065)=-0.052

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( (A)1.2 (B) 1.3 (C)1.4 (D) 1.5 8.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 )



D. 3 : 3

9.设 m, n ? R ,函数 y ? m ? log n x 的图像如图,则有 (



Y 1 O


A. m ? 0,0 ? n ? 1 C. m ? 0,0 ? n ? 1

B. m ? 0, n ? 1 D. m ? 0, n ? 1

1 ●

X

10.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面, 下列命题中正确的是 ( ) A. 若 m || ? , n || ? , 则 m || n C.若 m || ? , m || ? 则 ? || ? B.若 ? ? ? , ? ? ? 则 ? || ? D.若 m ? ? , n ? ? 则 m || n )

11.若 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log x ( x2 ? 0.3),( x ? 1) 则 a, b, c 的大小关系为( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. b ? a ? c

12.定义 A ? B ? ? z | z ? xy ?

? ?

? x , x ? A, y ? B ? , A ? ?0,2?, B ? ?1,2?, C ? ? 1? 则集合 y ?


( A ? B) ? C 的所有元素之和为 (
A, 3 B, 9 C, 18 D, 27

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 集 合

A ? x | y ? 1 ? x2 , x ? Z

?

?

,

B ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? A} , 则

A ? B ? ____________.
14. 如 图 所 示 , 侧 棱 长 为 2 3 的 正 三 棱 锥 V ? ABC 中 ,

?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 30 ? ,过 A 作截面 AEF ,则截面三角形
AEF 周长的最小值是______________.
2 2 15. 由 点 P ?1, ?2 ? 向 圆 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 所 引 的 切 线 方 程 是

_________________________ 16.设函数 f ? x ? ? x x ? bx ? c ,给出下列 4 个命题: ① c ? 0 时, y ? f ? x ? 是奇函数;② b ? 0 ,c ? 0 时,方程 f ? x ? ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ? x ? 的图像关于点 ? 0 ,c ? 对称;④方程 f ? x ? ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为_______________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过点 P(5, 5) ,且和圆 C : x2 ? y 2 ? 25 相交,截得的弦长为 4 5,求直线 l 的方 程.

18.(本小题满分 12 分) 已知命题 p: f
?1

( x) 是 f ( x) ? 1 ? 3x 的 反 函 数 , 且 f ?1 ? a ? ? 2 , 命 题 q : 集 合

2 A ? ? x| x ?? a?2? x?1 ? 0 , x ??R B , ? ?x | x ? 0?, 且A ? B ? ? , 求实 数 a 的 取

值范围,使命题 p, q 中有且只有一个是真命题.

19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M 、 N 分别为 A1 B 和 B1C1 的中点, (1)求证:直线 MN ∥平面 AA1C1C ; ⑵若 A1 B ⊥ B1C , A1 N ⊥ B1C1 ,
B1

A1 N

C1

求证: B1C ⊥ AC1 。
M

A B (第20题图)

C

20. (本小题满分 12 分) 一个几何体的三视图如右图所示,已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是 一个长为 3 ,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形。 ⑴求该几何体的体积 V; ⑵求该几何体的表面积 S。
1

3

主视图 1 俯视图

左视图

21.(本小题满分 12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2kx ? k ? 1 .
2

(Ⅰ)若函数在区间 ?1, 2? 上有最小值 ?5 ,求 k 的值. (Ⅱ)若同时满足下列条件①函数 f ( x ) 在区间 D 上单调;②存在区间 ? a, b? ? D 使得

f ( x) 在 ? a, b? 上 的 值 域 也 为 ? a, b? ; 则 称 f ( x) 为 区 间 D 上 的 闭 函 数 , 试 判 断 函 数
是否为区间 ?k , ??? 上的闭函数?若是求出实数 k 的取值范围, 不是 f ( x) ? x2 ? 2 kx? k? 1 说明理由.

2013-2014 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷 参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本题解答不同,可根据试题的主要 ........ 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 。 ................... 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分;如果后继部分的解答有较重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ABBAC CCAAD BC

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)把答案直接写在横线上.
1 ○ 2 ○ 3 13. { 1 } 14. 15. x=1 或 5x-12y-29=0 16. ○ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 解: 当 l 的斜率不存在时,方程为 x =5,与圆 C 相切,不满足题目要求,??????? 1 分 设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程 y ? kx ? 5k ? 5 ? 0 . ???????.2 分

如图所示,设 OH 是圆心到直线 l 的距离,

OA 是圆的半径,则 AH 是弦长 AB 的一半,
在 Rt ?AHO 中, OA =5. 1 1

AH =2 AB =2×4 5=2 5???????4 分
所以 又知

OH ?

OA ? AH ? 5 ,????? 6 分

2

2

OH ?

5(k ? 1) k 2 ?1

? 5,
8分 10 分

解得 k =

1 或 k = 2 ???????.. 2

所以满足条件的直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0或2 x ? y ? 5 ? 0 ………………….. 18.(本小题满分 12 分) 解:若 f
?1

( x) 是 f ( x) ? 1 ? 3x 的反函数,则 f ?1 ( x ) ?

1? x 3

?1 由 f ?a? ? 2 得

1? a ? 2 即 ?5 ? a ? 7 -------------3 分 3

2 若 A ? x | x ? ? a ? 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R , B ? ?x | x ? 0?, 且A ? B ? ?

?

?

则 A 中的方程无解或两根都是非正根

?? ? (a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? 即 ? ? (a ? 2)2 ? 4 ? 0 或 ??(a ? 2) ? 0 解得 a ? ?4 --------------6 分 ?1 ? 0 ? 因为 p , q 中有且只有一个是真命题,即“ p 真 q 假”或“ q 真 p 假” ,
所以 ?

??5 ? a ? 7 ?a ? ?5或a ? 7 或? , -----------10 分 ?a ? ?4 ?a ? ?4

即 ?5 ? a ? ?4或a ? 7 -----------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)连接 AB1 ,则 M 为 AB1 中点,又 N 为 B1C1 中点 , MN ∥ AC1

AC1 ? 平面 AA1C1C , MN ? 平面 AA1C1C ,
? 直线 MN ∥平面 AA1C1C
⑵? BB1 ? 平面A1 B1C1 ? B1 B ? A1 N ? A1 N ? B1C1 ,

? A1 N ? 平面B1 BCC1 ? A1 N ? B1C ? A1B ? B1C ,? B1C ? 平面A1 BN
又MN ? 平面A1BN ? B1C ? MN
20. (本小题满分 12 分) 解:由已知,该几何体是平行六面体 ⑴? 侧视图长为 3 ? 几何体的高为 3 ? V ? 1?1? 3 ? 3 ⑵几何体左右两个侧面的高为

? B1C ? AC1

? 3?

2

? 12 ? 2 ,则

S ? 1? 1? 2 ? 1? 3 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 2 3
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) . 由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 5 ,所以 即 4m ? 29 ? 25 . 因为 m 为整数,故 m ? 1 .

4m ? 29 ? 5, 5

故所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 . (Ⅱ)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 .代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 .
由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点, 故 ? ? 4(5a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 .
2 即 12a ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ?

5 . 12

所以实数 a 的取值范围是 (

5 , ? ?) . 12 1 , a

(Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ?

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 , 即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a
由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上. 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 由于

3 . 4

3 5 3 ? ( , ? ?) ,故存在实数 a ? ,使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB . 4 12 4

22.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 ? ( x ? k )2 ? k 2 ? k ? 1 ,对称轴 x ? k ① 当 k ? 1 时, f min ( x) ? f (1) ? 1 ? 2k ? k ? 1 ? ?5 ,解得 k ? 7 , (舍去) ②当 1 ? k ? 2 时 , fmin ( x) ? f (k ) ? ?k 2 ? k ?1 ? ?5 ,解得 k ? ?2或3 , (舍去) ③当 k ? 2 时, f min ( x) ? f (2) ? 4 ? 4k ? k ? 1 ? ?5 ,解得 k ?

10 . 3

由①②③可得 k ?

10 3

-----------------------------------4 分

(Ⅱ)当 k ? (?1, ?

3 3 ) ( ,1) 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 在 ?k, ??? 上是闭函数. 2 2
------------------------------------6 分

∵函数开口向上且对称轴为 x ? k ,

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

∴ f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 在 ?k , ??? 上单调递增. 设存在区间 ? a, b? ? ? k , ??? 使得 f ( x ) 在 ? a, b? 上的值域也为 ? a, b?
2 ? ?a ? 2ka ? k ? 1 ? a 2 则有 ? 2 ,即方程 x ? 2kx ? k ? 1 ? x 在 ?k , ??? 有两不同实数根 ? ?b ? 2kb ? k ? 1 ? b

-------------------------------------8 分

?(2k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 0 ? 3 3 ? 2k ? 1 ?k ∴? ,解得 ?1 ? k ? ? 或 ? k ?1 2 2 2 ? 2 ? ?k ? k (2k ? 1) ? k ? 1 ? 0

∴ k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ( ,1) 2 2

------------------------------------------10 分


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