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2013年河南中考数学试卷及答案(word解析版)


2013 年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷 数 学

注意事项: 1. 本试卷共 8 页,三个大题,满分 120 分,考试时间 100 分钟,请用蓝、黑色水笔或圆珠 笔直接答在试卷上。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号

一 1~8

二 9~15 16 17 18 19

三 20 21 22 23

总分

参考公式:二次函数图像 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的顶点坐标为 (?
2

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

一、 选择题(每小题 3 分,共 24 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确 的,将正确答案的代号字母填在题后括号内。 1、-2 的相反数是【】

(A)2

(B) ? ?2

(C)

1 2

(D) ?

1 2

【解析】根据相反数的定义可知:-2 的相反数为 2 【答案】A

2、下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】

【解析】轴对称是指在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全 重合,这样的图形叫做轴对称图形。

中心对称图形是指平面内,如果把一个图形绕某个点旋转 180° 后,能与自身重 合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。

结合定义可知,答案是 D
-1-

【答案】D

3、方程 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 的解是【】

(A) x ? 2

(B) x ? ?3

(C) x1 ? ?2, x2 ? 3

(D) x1 ? 2, x2 ? ?3

【解析】由题可知: x ? 2 ? 0 或者 x ? 3 ? 0 ,可以得到: x1 ? 2, x2 ? ?3

【答案】D

4、在一次体育测试中,小芳所在小组 8 个人的成绩分别是:46,47,48,48,49,49, 49,50.则这 8 个人体育成绩的中位数是【】 (A) 47 (B)48 (C)48.5 (D)49

【解析】 中位数是将数据按照从小到大的顺序排列, 其中间的一个数或中间两个数的平均数 就是这组数的中位数。本题的 8 个数据已经按照从小到大的顺序排 列了,其中间的两个数是 48 和 49,它们的平均数是 48.5。因此中 位数是 48.5 【答案】C

5、如图是正方形的一种张开图,其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中,与 数字“2”相对的面上的数字是【】

(A)1

(B)4

(C)5

(D)6

【解析】将正方形重新还原后可知: “2”与“4”对应, “3”与“5”对应, “1”与“6”对 应。

【答案】B

6、不等式组 ?

?x ? 2 的最小整数解为【】 ?x ? 2 ? 1
-2-

(A) -1

(B) 0

(C)1

(D)2

【解析】不等式组的解集为 ?1 ? x ? 2 ,其中整数有 0,1,2。最小的是 0 【答案】B 7、 如图, 是 ? O 的直径, AB ? CD 于点 G, CD 弦 直线 EF 与 ? O 相切与点 D,则下列结论中不一定正确的是【】 (A) AG ? BG (C)AD∥BC (B) AB ∥ EF (D) ?ABC ? ?ADC

【解析】由垂径定理可知: (A)一定正确。由题可知: EF ? CD ,又因为 AB ? CD ,所

AC 以 AB ∥ EF ,即(B)一定正确。因为 ?ABC和?ADC 所对的弧是劣弧 ? ,根据同弧
所对的圆周角相等可知(D)一定正确。

【答案】C

8、在二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的图像中,若 y 随 x 的增大而增大,则 x 的取值范围是【】
2

(A) x ? 1

(B) x ? 1

(C) x ? ?1

(D) x ? ?1

【解析】二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的开口向下,所以在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大,
2

二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的对称轴是 x ? ?
2

b 2 ?? ? 1 ,所以, x ? 1 2a 2 ? (?1)

【答案】A

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分)

9、计算: ?3 ? 4 ?

【解析】原式= 3 ? 2 ? 1
-3-

【答案】1

10 、 将 一 副 直 角 三 角 板 ABC 和 DEF 如 图 放 置 ( 其 中 ) ?A ? 6 0? , F ? 4?5 ,使点 E 落在 AC 边上,且 ED∥BC , ? 则 ?CEF 的度数为 【解析】有图形可知: ?ACB ? 30?, ?DEF ? 45? 。因为 ED∥BC ,

所以 ?DEC ? ?ACB ? 30? ,∴ ?CEF ? ?DEF ? ?DEC ? 45? ? 30? ? 15? 【答案】15

11、化简:

1 1 ? ? x x( x ? 1) ( x ? 1) ? 1 x 1 ? ? x( x ? 1) x( x ? 1) x ? 1

【解析】原式=

【答案】

1 x ?1


12、已知扇形的半径为 4 ㎝,圆心角为 120°,则此扇形的弧长是

【解析】有扇形的弧长公式 l ?

n? r n? r 120 ? 4 ? ? 8 可得:弧长 l ? ? ? ? 180 180 180 3

【答案】 ?

8 3

13、现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字-1,-2,3,4。把卡片背面朝上洗匀, 然后从中随机抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是

【解析】任意抽取两张,数字之积一共有 2,-3,-4,-6,-8,12 六种情况,其中积 为负数的有-3,-4,-6,-8 四种情况,所以概率为

4 2 ,即 6 3

-4-

【答案】

2 3

14、如图,抛物线的顶点为 P(?2, 2), 与 y 轴交于点 A(0,3) ,若 平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P (2, ?2) ,点 A 的对应
'

点为 A' ,则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为

【解析】阴影部分 PAA ' P ' 可认为是一个平行四边形,

PP ' ? [2 ? (?2)]2 ? (?2 ? 2) 2 ? 4 2

过 A 作 AB ? PP ' ,则 AB ? OA? 45? ? 3 ? sin

2 3 2 ? 2 2

∴阴影部分 PAA ' P ' 的面积为 S ? PP '? AB ? 4 2 ?

3 2 ? 12 2

【答案】12

15、如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 4 ,点 E 是 BC 边 上一点,连接 AE ,把 ?B 沿 AE 折叠,使点 B 落在点 B ' 处, 当△ CEB ' 为直角三角形时, BE 的长为 【解析】

①当 ?EB ' C ? 90? 时,由题可知:?ABE ? ?AB ' E ? 90? ,即: A, B ', C 在同一直线上, 此时, BE ? x , B 'E ?x ,CE ? 4 ? x, B ' C ? AC ? AB ' ? 2 , 设 则 B ' 落在对角线 AC 上, 在 Rt? B ' EC 中,解得 x ?

3 2

②当 ?B ' CE ? 90? 时,即 B ' 落在 CD 上, AB ? AB ' ? 3 ,此时在 Rt? ADB ' 中, 斜边 AB ' 大于直角边 AD ,因此这种情况不成立。
-5-

③当 ?B ' EC ? 90? 时,即 B ' 落在 AD 上,此时四边形 ABEB ' 是正方形,所以

AB ? BE ? 3,

【答案】 3或

3 2

三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16、 分)先化简,再求值: (8

( x ? 2)2 ? (2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 4 x( x ? 1) ,其中 x ? ? 2
【解答】原式 ? ( x ? 4 x ? 4) ? (4 x ? 1) ? (4 x ? 4 x)
2 2 2

? x2 ? 4x ? 4 ? 4x2 ?1 ? 4 x2 ? 4 x ? x2 ? 3
当 x ? ? 2 时,原式= ? 2

?

?

2

?3? 5

17、从 2013 年 1 月 7 日起,中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了 解“雾霾天气的主要成因” ,随机调查了该市部分市民,并对调查结果进行整理,绘制了如 下尚不完整的统计图表

组别 A B C D E

观点 大气气压低,空气不流动 地面灰尘大,空气湿度低 汽车尾气排放 工厂造成的污染 其他

频数(人数) 80

m n
120 60

请根据图表中提供的信息解答下列问题: (1) 填空:m ? ,n ?

, 扇形统计图中 E 组所占的百分比为

%。

-6-

(2)若该市人口约有 100 万人,请你估计其中持 D 组“观点”的市民人数 (3) 若在这次接受调查的市民中, 随机抽查一人, 则此人持 C 组 “观点” 的概率是多少? 【解析】 (1)由 A 组的频数和 A 组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数:

8 0? 2 0 % ?

400

∴ m ? 400 ?10% ? 40 , n ? 400 ? 80 ? 40 ?120 ? 60 ? 100

E 组所占百分比是 60 ? 400 ? 0.15 ? 15%
(2)由题可知:D 组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为

120 ? 400 ? 0.3 ? 30%
∴ 100 ? 30% ? 30 (万人)

(3)持 C 组“观点”的概率为

100 1 ? 400 4
(3)

【答案】 (1)40;100;15%

(2)30 万人

1 4

18、 分)如图,在等边三角形 ABC 中, BC ? 6cm ,射线 (9 点 AG∥BC , E 从点 A 出发沿射线 AG 以 1cm / s 的速度运动, 同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm / s 的速度运动, 设运动 时间为 t (s)

(1)连接 EF ,当 EF 经过 AC 边的中点 D 时,求证: ? ADE ??CDF 证明:∵ AG∥BC ∴ ?EAD ? ?ACB ∵ D 是 AC 边的中点 ∴ AD ? CD
-7-

又∵ ?ADE ? ?CDF ∴ ? ADE ??CDF (2)填空:

①当 t 为

s 时,四边形 ACFE 是菱形;

②当 t 为

s 时,以 A, F , C, E 为顶点的四边形是直角梯形。

【解析】①∵当四边形 ACFE 是菱形时,∴ AE ? AC ? CF ? EF 由题意可知: AE ? t , CF ? 2t ? 6 ,∴ t ? 6

②若四边形 ACFE 是直角梯形,此时 EF ? AG 过 C 作 CM ? AG 于 M, AG ? 3 ,可以得到 AE ? CF ? AM , 即 t ? (2t ? 6) ? 3 ,∴ t ? 3 ,

此时, C与F 重合,不符合题意,舍去。

若四边形若四边形 AFCE 是直角梯形,此时 AF ? BC , ∵△ABC 是等边三角形,F 是 BC 中点,

∴ 2t ? 3 ,得到 t ?

3 2

经检验,符合题意。

【答案】① t ? 6

②t ?

3 2

19、 分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大 (9 坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米,以抬高蓄水位,如图是某
-8-

一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为 BE ,背水坡坡角 ?BAE ? 68 ,新坝 体的高为 DE ,背水坡坡角 ?DCE ? 60? 。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度

?

AC .
(结果精确到 0.1 米,参考数据: sin 68 ? 0.93, cos 68 ? 0.37, tan 68 ? 2.50, 3 ? 1.73 )
? ? ?

【解答】

在 Rt△BAE 中, ?BAE ? 68 ,BE=162 米

?

∴ AE ?

BE 162 ? ? 64.80 (米) tan ?BAE 2.50

在 Rt△DEC 中, ?DCE ? 60? ,DE=176.6 米

∴ CE ?

DE 176.6 ? ? 102.08 (米) tan ?DCE 3

∴ AC ? CE ? AE ? 102.08 ? 64.80 ? 37.28 ? 37.3 (米) 即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约为 37.3 米

20、 分)如图,矩形 OABC 的顶点 A, C 分别在 x 轴和 y 轴 (9 上,点 B 的坐标为 (2, 3) 。双曲线 y ?

k ( x ? 0) 的图像经过 x

BC 的中点 D ,且与 AB 交于点 E ,连接 DE 。
(1)求 k 的值及点 E 的坐标; (2)若点 F 是边上一点,且 ? FBC ?? DEB ,求直线 FB 的 解析式

【解答】 (1)在矩形 OABC 中,

∵B 点坐标为 (2,3) ,∴ BC 边中点 D 的坐标为(1,3)
-9-

又∵双曲线 y ?

k 的图像经过点 D(1,3) x

∴3 ?

k ,∴ k ? 3 1

∵ E 点在 AB 上,∴ E 点的横坐标为 2. 又∵ y ?

3 经过点 E , x
3 3 ,∴ E 点纵坐标为 (2, ) 2 2 3 , BC ? 2 , 2

∴ E 点纵坐标为

(2)由(1)得, BD ? 1, BE ?

3 BD BE 1 ∵△FBC∽△DEB,∴ ,即 ? ?2。 CF CB CF 2
∴ CF ?

4 5 5 ,∴ OF ? ,即点 F 的坐标为 (0, ) 3 3 3 5 3

设直线 FB 的解析式为 y ? k1 x ? b ,而直线 FB 经过 B(2,3), F (0, )

2 ? ?3 ? 2k1 ? b ? k1 ? 3 ? ? ∴ ?5 ,解得 ? ?3 ? b ?b ? 5 ? ? 3 ?
∴直线 FB 的解析式为 y ?

2 5 x? 3 3

21、 (10 分)某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器,购买 2 个 A 品牌和 3 个 B 品牌 的计算器共需 156 元;购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 122 元。 (1)求这两种品牌计算器的单价;

(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下:A 品牌计算 器按原价的八折销售, 品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售。 B 设购买个 A 品牌
- 10 -

的计算器需要元,购买个 B 品牌的计算器需要元,分别求出关于的函数关系式‘ (3) 小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器, 若购买计算器的数量超过 5 个, 购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由。

【解答】 (1)设 A 品牌计算机的单价为 x 元, B 品牌计算机的单价为 y 元,则由题意可知:

?2 x ? 3 y ? 156 ? ?3 x ? y ? 122

? x ? 30 ?? ? y ? 32

即 A , B 两种品牌计算机的单价为 30 元,32 元 (2)由题意可知: y1 ? 0.8 ? 30 x ,即 y1 ? 24 x

当 0 ? x ? 5 时, y2 ? 32 x

当 x ? 5 时, y2 ? 32 ? 5 ? 32( x ? 5) ? 0.7 ,即 y2 ? 22.4 x ? 48

(3)当购买数量超过 5 个时, y2 ? 22.4 x ? 48 。

①当 y1 ? y2 时, 24 x ? 22.4 x ? 48,? x ? 30

即当购买数量超过 5 个而不足 30 个时,购买 A 品牌的计算机更合算 ②当 y1 ? y2 时, 24 x ? 22.4 x ? 48,? x ? 30

即当购买数量为 30 个时,购买两种品牌的计算机花费相同。 ③当 y1 ? y2 时, 24 x ? 22.4 x ? 48,? x ? 30

即当购买数量超过 30 个时,购买 B 品牌的计算机更合算 22、 10 分)如 图 1 ,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中 (
- 11 -

?C ? 90?, ?B ? ?E ? 30? .

(1)操作发现

如图 2,固定 ? ABC ,使 ? DEC 绕点 C 旋转。 当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空: ① 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ;

② 设 ? BDC 的面积为 S1 , ? AEC 的面积为 S 2 。 则 S1 与 S 2 的数量关系是 。

【解析】①由旋转可知:AC=DC,

∵ ?C ? 90?, ?B ? ?E ? 30? ,∴ ?A ? ?D ? 60?

∴△ADC 是等边三角形,∴ ?ACD ? 60? ,又∵ ?CDE ? 60? ∴ DE ∥ AC ②过 D 作 DN⊥AC 交 AC 于点 N,过 E 作 EM⊥AC 交 AC 延长线于 M,过 C 作 CF⊥AB 交 AB 于点 F。

由①可知:△ADC 是等边三角形, DE ∥ AC ,∴DN=CF,DN=EM ∴CF=EM

∵ ?C ? 90?, ?B ? 30? ,∴ AB ? 2 AC ,又∵ AD ? AC

∴ BD ? AC ∵ S1 ?

1 CF ?BD 2

S2 ?

1 A C E M ∴ S1 = S 2 ? 2

- 12 -

(2)猜想论证

当 ? DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时,小明猜想(1) 中 S1 与 S 2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了 ? BDC 和 ? AEC 中 BC , CE 边上的高,请你证明小明的猜想。

【证明】∵ ?DCE ? ?ACB ? 90?,??DCM ? ?ACE ? 180?

又∵ ?ACN ? ?ACE ? 180?,??ACN ? ?DCM

又∵ ?CNA ? ?CMD ? 90?, AC ? CD

∴△ANC≌△DMC

∴AN=DM

又∵CE=CB,∴ S1 ? S2

(3)拓展探究 已 知 ?ABC ? 60? , 点 D 是 其 角 平 分 线 上 一 点 , ,若在射线 BA BD ? CD ? 4 , OE∥AB 交 BC 于点 E (如图 4) 上存在点 F ,使 S? DCF ? S? BDC ,请直接写出相应的 BF 的长 ....

【解析】如图所示,作 DF1 ∥ BC 交 BA 于点 F1 ,作 DF2 ? BD 交 BA 于点 F2 。

按照(1) (2)求解的方法可以计算出

BF1 ?

4 3 3

BF2 ?

8 3 3

23、 (11 分)如图,抛物线 y ? ? x ? bx ? c 与直线
2

- 13 -

y?

1 7 x ? 2 交于 C , D 两点,其中点 C 在 y 轴上,点 D 的坐标为 (3, ) 。点 P 是 y 轴右侧 2 2

的抛物线上一动点,过点 P 作 PE ? x 轴于点 E ,交 CD 于点 F . (1)求抛物线的解析式;

(2)若点 P 的横坐标为 m ,当 m 为何值时,以

O, C, P, F 为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。
(3)若存在点 P ,使 ?PCF ? 45? ,请直接写出 相应的点 P 的坐标 【解答】 (1)∵直线 y ?

1 x ? 2 经过点 C ,∴ C (0, 2) 2
2

∵抛物线 y ? ? x ? bx ? c 经过点 C (0, 2) , D (3, )

7 2

?2 ? c ? ∴ ?7 2 ? 2 ? ?3 ? 3b ? c ?

7 ? ?b ? ?? 2 ?c ? 2 ?
2

∴抛物线的解析式为 y ? ? x ?

7 x?2 2

(2)∵点 P 的横坐标为 m 且在抛物线上 ∴ P(m, ?m ?
2

7 1 m ? 2), F (m, m ? 2) 2 2

∵ PF ∥ CO ,∴当 PF ? CO 时,以 O, C, P, F 为顶点的四边形是平行四边形

① 当 0 ? m ? 3 时, PF ? ?m ?
2

7 1 m ? 2 ? ( m ? 2) ? ?m2 ? 3m 2 2

∴ ?m ? 3m ? 2 ,解得: m1 ? 1, m2 ? 2
2

即当 m ? 1或 2 时,四边形 OCPF 是平行四边形

- 14 -

② 当 m ? 3 时, PF ? ( m ? 2) ? (?m2 ?

1 2

7 m ? 2) ? m2 ? 3m 2

m2 ? 3m ? 2 ,解得: m1 ?

3 ? 17 3 ? 17 (舍去) , m2 ? 2 2

即当 m1 ?

3 ? 17 时,四边形 OCFP 是平行四边形 2

(3)如图,当点 P 在 CD 上方且 ?PCF ? 45? 时, 作 PM ? CD, CN ? PF ,则

△PMF∽△CNF,∴

PM CN m ? ? ?2 MF FN 1 m 2

∴ PM ? CM ? 2CF

∴ PF ? 5FM ? 5CF ? 5 ?

5 5 5 CN ? CN ? m 2 2 2
2

又∵ PF ? ?m ? 3m
2

∴ ?m ? 3m ?

5 m 2

解得: m1 ?

1 , m2 ? 0 (舍去) 2
23 13 , ) 6 18

∴ P( , ) 。

1 7 2 2

同理可以求得:另外一点为 P(

- 15 -


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