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高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算


§ 3.1.3

空间向量的数量积运算

知识点一 求两向量的数量积 如图所示,已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a, 求? AB · OC .?.

??? ?

????

??? ? CA 〉= 120°?,? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ? ? AB · OC =? AB · OA ?CA )? ( ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? = AB · OA ? ? AB ·? CA ,?
= a2cos120° ? ? a2cos120°=0

???? ??? ? 解 由题意知 |? AB | = | AC

?

AO ?〉 120°?, AB , | = | AO | = a, 〈 AB ?, 且 = 〈

????

??? ?

????

??? ?

【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点,如 ??? → ? ??? ? → 〈 AB ,AC〉=60° 〈 AB ,CA〉=120° 时, .
已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为 AB1 的中点, F 为 A1D1 的中点,试计算:

??? ? ???? ? ??? ? ???? (2)? BF · AB1 ; ? ??? ???? ? (3) EF · FC 1 .? ??? ? → → 解 如图所示,设 AB =a,AD=b,AA1=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
(1)? BC · ED1 ;

1 (c ? a )+b]= | b |2 = 42 = 16 ..? 2 ??? ? ???? 1 (2)? BF · AB1 = (c ? a + b )( a + c )= | c |2 ? | a |2 = 22 ? 22 = 0.? · 2 ? ??? ???? ? 1 1 1 1 1 1 1 (3) EF · FC 1 = [ (c-a)+ b]· b+a)= (-a+b+c)· b+a)=- |a|2+ |b|2=2. ( ( 2 2 2 2 2 2 4
(1) BC · ED1 = b· [ 知识点二 利用数量积求角

??? ?

???? ?

1

如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC= 45° ,∠OAB=60° ,求 OA 与 BC 所成角的余弦值.

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? 所以 OA · BC =? OA · AC ? ? OA · AB ?? ??? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? =| OA || AC |cos〈 OA , AC 〉 ? | OA | | AB | cos〈 OA , AB 〉?
解 . 因? BC ? AC ? AB ,? =8×4×cos135° ? 8×6×cos120°

? ?16 2 ? 24, → → ??? ? ??? ? OA· BC 所以? cos〈 OA ,? BC 〉= .?
→ → |OA||BC| = 24-16 2 3-2 2 = . 5 8×5

3-2 2 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5

【反思感悟】 在异面直线上取两个向量,则两异面直线所成角的问题可转 化为两向量的夹角问题. 需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能 互补.
在二面角 α-l-β 中,A,B∈α,C,D∈l,ABCD 为矩形,P∈β,PA⊥α, 且 PA=AD,M、N 依次是 AB、PC 的中点. (1)求二面角 α-l-β 的大小; (2)求证:MN⊥AB; (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小. (1)解 ∵PA⊥α ,l?α ∴PA⊥l,又∵AD⊥l,PA∩AD=A, ∴l⊥平面 PAD,∴l⊥PD, 故∠ADP 为二面角α -l-β 的平面角, 由 PA=AD 得∠ADP=45°. ∴二面角α -l-β 的大小为 45°. ??? → → ? (2)证明 PC =PD+DC, ???? 1 → 1 → 1 → 1 → → 1 → PN =2PC=2PD+2DC=2(AD-AP)+2DC, ???? → → → → AN =PN-PA =PN +AP, ???? 1 ???? 1 → 1 → ∴ AN = AD + AP+ DC, 2 2 2

???? → → ? 1 ???? 1 → 1 → 1 → MN =AN-AM = AD +2AP+2DC-2DC 2 ???? 1 → 1 = AD +2AP,∵AD⊥AB,AP⊥AB 2 ? ? → ??? → ??? ∴ AD· AB = 0,AP· AB =0,

∴ MN⊥AB. (3)解 设 AP=a,

2

1 ???? 1 → AD +2AP 2 ??? ???? 1 ???? → 1 → → 1 2 ? AP AP AN AP · = AD · +2AP· =2a , 2 ??? ? → | AP |=|AD|=a, ???? ? 1 → 1→ 1 → 2 1→2 2 | MN |= ( AD+ AP)2= AD + AP = a, 2 2 4 4 2 ??? ? ? ??? ???? ? AP· ???? 2 ? ∴ cos< AP , MN >= ??? ???? AN = , 2 | AP | AN
由(2)得 MN = 即异面直线 PA 与 MN 所成角为 45° . 知识点三 利用数量积证明垂直关系 如图所示,m,n 是平面 α 内的两条相交直线.如果 l⊥m,l⊥n,

???? ?

求证:l⊥α

.

证明 在 α 内作任一直线 g,分别在 l,m,n,g 上取非零向量 l,m,n,g. 因为 m 与 n 相交,所以向量 m,n 不平行. 由向量共面的充要条件知,存在惟一的有序实数对(x,y),使 g=xm+yn. 将上式两边与向量 l 作数量积, 得 l· g=xl· m+yl· n. 因为 l· m=0,l· n=0,所以 l· g=0, 所以 l⊥g.即 l⊥g. 这就证明了直线 l 垂直于平面 α 内的任意一条直线, 所以 l⊥α.

【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直,即证 明两向量数量积为零.
已知:在空间四边形 OABC 中,OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB. 证明 ∵OA⊥BC,OB⊥AC,∴? OA · BC = 0, OB · AC = 0.? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? → ∵ OC · =( OB + BC )· AC + CB ) ( AB ??? → → → → → → → ? = OB · +OB· +BC· +BC· AC CB AC CB ??? → → → → ? = OB ·CB+BC· +CB) (AC ??? → → ??? → ??? → → → ? ? ? = OB · +BC· =BC · AB +BO)=BC· =0, CB ( AO AB ???? → ∴ OC ⊥AB ,∴OC⊥AB. 课堂小结: 空间两个向量 a,b 的数量积,仍旧保留平面向量中数量积的形式,即:a· b=|a||b|cos 〈a,b〉 ,这里〈a,b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a,b〉≤π).空间向量的数量积具 有平面向量数量积的运算性质. 应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题, 可以求两直线 夹角问题和线段长度问题.即(1)利用 a⊥b?a· b=0 证线线垂直(a,b 为非零向量).(2)利用 a· b a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 ,cosθ= ,求两直线的夹角.(3)利用|a|2=a· a,求解有关线段的长 |a|· |b| 度问题.
3

??? ?

??? ?

??? ?

????

一、选择题 1.若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a· b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b| ?cos〈a,b〉=1?〈a,b〉=0, 当 a 与 b 反向时,不能成立. 2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+3b|等于( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 答案 C 解析 |a+3b|2=(a+3b)2 =a2+6a· b+9b2=1+6· cos60° +9=13. 3.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是( ) A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c 答案 B 解析 A 中若 a⊥b,则有 a· b=0,不一定有 a=0,b=0. C 中当|a|=|b|时,a2=b2,此时不一定有 a=b 或 a=-b. D 中当 a=0 时,a· b=a· c,不一定有 b=c. → → → → → → → → 4.已知四边形 ABCD 满足:-*6]· · >0,BC· >0,CD· >0,DA· OC BC CD DA -*6]· >0, OC 则该四边形为( ) A.平行四边形 B.梯形 C.平面四边形 D.空间四边形 答案 D 5.已知 a、b 是平面 α 内的两个不相等的非零向量,非零向量 c 在直线 l 上,则 c· a=0 且 c· b=0 是 l⊥α 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题 6.已知向量 a、b 满足条件:|a|=2,|b|= 2,且 a 与 2b-a 互相垂直,则 a 与 b 的夹 角为________. 答案 45° 解析 因为 a 与 2b-a 垂直,所以 a· (2b-a)=0. 2 即 2a· b-|a| =0,所以 2|a||b|· cos〈a,b〉-|a|2=0, 2 所以 4 2cos〈a,b〉-4=0?cos〈a,b〉= , 2 所以 a 与 b 的夹角为 45° . 7. 已知线段 AB,BD 在平面α 内,∠ABD=120°,线段 AC⊥α ,如果 AB=a,BD=b,AC=c,则 | CD |为____________.
4

??? ?

a2+b2+c2+ab ??? ? ??? → → ? 解析 | CD |2=| AB +BD-AC|2 ??? ? ??? → ? ??? → ? → → → → = AB 2+BD2+AC2+2 AB · -2 AB · -2BD· =a2+b2+c2+2abcos60° 2+b2 BD AC AC =a 2 +c +ab. 答案 | CD |= a2+b2+c2+ab.= a2+b2+c2+ab. 8.已知|a|=3 2,|b|=4,m=a+b,n=a+λb, 〈a,b〉=135° ⊥n,则 λ=________. ,m 3 答案 - 2 解析 由 m· n=0,得(a+b)· (a+λb)=0, 3 列方程解得 λ=- . 2 三、解答题 9. 如图, 已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点,试求向量 A1C 1 与 DE ? 所成角的余弦值.?

??? ?

?????

??? ?



??? ? → → AB =a,AD=b,AA1=c,

设正方体的棱长为 m,

则|a|=|b|=|c|=m. a· b=b· c=c· a=0. ????? → ??? → ? → 又∵ A1C 1 =A1B1+B1C1= AB +AD=a+b, ??? ? → 1 → → 1 → DE =DD1+D1E=DD1+2D1C1=c+2a. ????? → 1 ∴ A1C 1 · =(a+b)· DE (c+ a) 2 1 2 1 1 2 1 2 =a· c+b· a + a· a = m . c+ b= 2 2 2 2 ????? → 又∵| A1C 1 |= 2m,|DE|= 2m,

????? → ∴? cos〈 A1C 1 ,DE 〉=
1 2 m 2

????? ???? A1C1 ????? ???? ? DE | A1C1 | DE

10 = . 10 5 2m· m 2 10.已知在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD =90° ,∠BAA′=∠DAA′=60° . = (1)求 AC′的长(如图所示);

5

???? → ? (2) 求 AC ' 与AC的夹角的余弦值.
???? ??? ? ? ???? ? ??? ???? ? ∴| AC ' |2 = ( AB + AD ??? ? ???? =| AB |2 + | AD |2+ |
∴| AC ' | = 解 (1)∵ AC ' = AB + AD + AA ' ,?

= 42 + 32 + 52 +2(0+10+7.5)= 85.?

???? ???? ???? + AA ' ?)2 ? ???? 2 ??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? AA ' | + 2 ( AB · AD +? AB · AA ' + AD ?· AA ' )

???? ?

85.

(2) 方法一 设? AC ' 与 AC 的夹角为θ ,? ∵四边形 ABCD 是矩形,∴| AC | = 3 ? 4 ? 5 。 ∴由余弦定理可得? AC′2+AC2-CC′2 85+25-25 85 cosθ= = = . 10 2AC′· AC 2· 85· 5 ??? ? → → 方法二 设 AB =a,AD=b,AA′=c,
2 2

???? ?

????

????

依题意 AC ' · (a+b) AC = (a+b+c)· 2 2 =a +2a· b+b +a· c+b· c =16+0+9+4· cos60° 5· 5· +3· cos60° 15 85 =16+9+10+ = . 2 2 85 ???? ? ???? 2 AC ' 85 ? AC ∴ cos θ= ???? ???? · = = . 85· 10 5 | AC ' | | AC |

???? ???? ?

6


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