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高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练教师版


概率部分知识点总结
事件:____________,确定性事件: _____________和____________ 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,当实验的 次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P A ? ____ 概率是频率的__________,频率是概率的_________ 概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有_________ ② 用W 和F分别表示必然事件和不可能事件, 则有P W = __, P F = __ ③如果事件 A和B互斥, 则有:P A + B = ________ 古典概率: ① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n ,则每一个基本事件发生的概率都是 __ , 如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为

( )

()

()

(

)

P ( A) = ___
求古典概型概率的方法:___________、___________、___________、___________ 几何概型:一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点,记事件“改点落在其内部的一个区 域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ( A) = __________(一般地,线段的测度为该线段的长度;平面多变形的测度为该图形
的面积;立体图像的测度为其体积 ) 几何概型的基本特点:① ____________ ② _______________ 互斥事件:___________________________称为互斥事件 对立事件:____________________________,则称两个事件为对立事件,事件 A 的对立事件 记为: A 注意:① 若 A , B 为互斥事件 , 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生,但不可

能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对 立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有 一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看: 表示互斥事件和 对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而两个互斥事件的并集 不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ,而两个互斥事件的概率之和小于或 者等于 1 ⑥ 若事件 A, B 是互斥事件,则有 P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦ 一般地,如果 ⑧

A1 , A2 ,..., An 两两互斥,则有 P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,..., An 中至少发生一个
⑩在具体做题中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照 那种概型的书写格式,最重要的是要设出所求的事件 事件 A 和事件 B 的和:_______________________________________________________
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??

事件 A 和事件 B 的积:_______________________________________________________

例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有一 个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路有 不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5)

? 2

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15
14 . 15

? ?

答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

6?5 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 2 4?3 ? 14 取 2 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? 2 14 14 所以 P ? A ? ? 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15 15
解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

?PA ?

? ?

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ? 3 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4?3 16 4 2 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ? ? 16 , 所以 P? A? ? ? 2 20 5 4 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5
解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ?
3

4 . 5

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次抽 取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”

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4? 2 ? 2? 4 4 2 4 4 2 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6?6 9 6 6 6 6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? (2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P31 P31 3 ? 3 3 ? ? ? ? 或者 P A ? ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P62 ? ? ? P32 1 ? 1 4 ? ? 或者P B ? P 2 ? 5 ? ? 则 P ?B ? ? 1 ? P B ? 1 ? 5 ? 5 6 ? ?
3 4 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 10 5
2

3 2 1 (2) P B ? ? ? 6 5 5

??

??

??

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

例 2.将一颗骰子向上抛掷两次,所得点数分别为 a 和 b ,则函数 y ? x ? 2 ? a ? b? x ?1 在

?5,7? 上不是单调函数的概率是(
A.

) D.

1 4

B.
2

1 6

C.

5 36

1 2

C.因为函数 y ? x ? 2 ? a ? b? x ?1 在 ?5,7? 上不是单调函数,所以对称轴落在区间内,则有

5? a?b ? 7 , 而 a? ? b

*

N, 得 a ? b ? 6 , 这 时

? a, b ?
5

的 取 值 有

?5,1? , ? 4,2? , ?3,3? , ? 2,4? , ?1,5? 共 5 种,总数有 36 种,故所求的概率为 36 .
变式训练 1:设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的
2

一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根” 。当 a ? 0, b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有
2 2

实 根 的 充 要 条 件 是 a ? b , 事件 A 中 包含 9 个 基本事 件 , 事 件 A 发 生 的概 率 为
2

P ? A? ?

9 3 ? 。 12 4

变式训练 2:有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

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1 总共的方法数为 3 ? 3 ? 9 ,甲、乙参加同一个兴趣小组的方法数为 C3 ,所以这两个同学参

加同一个兴趣小组的概率为

3 1 ? ,故选 A 9 3

变式训练 3:将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部 的概率. 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件. (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以 P ( A) ?

4 1 ? . 36 9

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件,所以

P( B) ? 1 ?

9 3 ? . 36 4

(3) 基本事件总数为 36, 点 (x,y) 在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C, 则 C 包含 8 个事 件, 所以P(C ) ?

8 2 ? . 36 9

变式训练 4. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个,从中每次任取 1 个.有放回地抽取 3 次,求: (1)3 个全是红球的概率. (2)3 个颜色全相同的概率. (3)3 个颜色不全相同的概率. (4)3 个颜色全不相同的概率.

1 1 8 2 ; (2) ; (3) ; (4) 27 9 9 9 例 2. 如图,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向
(1) 该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )

4 ?? 4 ?? A. B. 2 4 ? ?2 ? ?2 C. D. 2 4 【命题意图】几何概率问题 图2 【易错分析】若对图形的对称性把握不好,则较难求出 1 片 1 ? 2 2 阴影部分的面积,且易将其面积错算为 1 ? ? ?1 ? 1 ? ,以致错选答案 B 4 4 【 完 美 答 案 】 C. 设 正 方 形 的 边 长 为 2 , 则 1 片 阴 影 部 分 的 面 积 为

1 ? ? ? ?? ? 12 ? ?12 ? ? ?12 ? ? 2 ? ? 1 , 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 S A ? 4 ? ? 1? ? 2? ? 4 , 4 2 ? ? ?2 ?
P ? A? ?

? ?2
2

,故选 C.

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变式训练 1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍,向方框中投掷硬 币硬币完全落在正方形外的不计,求硬币完全落在正方形内的概率? 略解: P? A? ?

d 测度 D测度

?

22 4 ? 2 2 32 ? ? 4 ? 4 ? 1? 4 ? ? 1

变式训练 2:如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. 1 ? C.

2 π
D.

B.

1 1 ? 2 π

2 π

1 π

解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 , 围成 OC 为 S2 ,作对称轴 OD,则过 C 点。 S2 即为以 OA 为直径 的 半 圆 面 积 减 去 三 角 形
2

OAC

的 面 积 ,

S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 。 在扇形 OAD 中 1 为扇形面 S2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? 2 2 2 8
积减去三角形 OAC 面积和

S2 S 1 1 S ? ?2 2 , 1 ? ? ?1? ? ? 2 ? , 2 2 8 8 2 16 ? ?2 1 S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? ,选 A. 4 4

第 8 题图

变 式 训 练 3 : 如 图 , 已 知 矩 形 ABCD 中 , AB ? 5 , AC ? 7 , 在正方形内

任取一点 P , 求 ?APB ? 90? 的概率?
1 ?5? ?? ? 5? 2 ?2? 略解: P? A? ? ? 5? 7 56
变式训练 4:平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率? 解:设事件 A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 OM ,垂足 为 M , 线段 OM 的长度的取值范围为 ? 0 , a
2

A

B

P

D

C

M

?

,其长度就是 2a
r

几何概型所有的可能性构成的区域 D 的几何测度,只有当 0 ? OM ? a 时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满足 事件 A 的区域 d 的几何测度,所以

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P ? A? ?

?r, a?的长度 ? a ? r ?0, a?的长度 a
a?r a

答:硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

变式训练 5. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序 框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填 入( )

N 1000 4N B. P ? 1000 M C. P ? 1000 4M D. P ? 1000
A. P ? 【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000 表示落入正方形的点的个数, 则点落入扇形的概率为

M ? 4M ,由几何概型知,点落入扇形的概率为 ,则 P ? ? ? , 1000 1000 4

故选 D 例 3:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时即可 离去,求两人能会面的概率? 解:设“两人能会面”为事件 A ,以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充 要条件为: x ? y ? 15 在平面上建立如图所示的 坐标系,则 ? x, y ? 的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示, 由几何概型知, P? A? ?

S A 602 ? 452 7 ? ? 2 S? 16 60

答:两人能会面的概率

7 . 16

例 4: 如图, 在等腰直角三角形 ABC 中, 在斜边 AB 上任取一点 M , 求 AM ? AC 的概率? 【分析】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域

D ,当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM ? AC ,故线段

AC ' 即为区域 d
解: 在 AB 上截取 AC ? AC ,于是
'

P( AM ? AC) ? P AM ? AC ' ?

?

?

AC ' AC 2 ? ? AB AB 2
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答: AM ? AC 的概率为

2 2

变式训练:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ?ACB 内部任意作一条射线 CM ,与线 段 AB 交于点 M ,求 AM ? AC 的概率?

CB 内部任意作一条射线 CM ,满足条件的 M 看 错解: 在 AB 上截取 AC ? AC , 在 ?A
'

作是在线段 AC 上任取一点 M ,则有

'

AC ' AC 2 P( AM ? AC) ? P AM ? AC ? ? ? AB AB 2
'

?

?

正解: 在 ?ACB 内的射线是均匀分布的, 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的, 在 AB 上截取 AC ? AC ,则 ?ACC ? 67.5? ,故满足条件的概率为
' '

67 .5 ? 0.75 90

课堂练习: 一、选择题 1.任取两个不同的 1 位正整数,它们的和是 8 的概率是( A. ). D.

1 24

B.

1 6

C.

3 8

1 12
).

1 ? π π? - , ? 上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2.在区间 ? 2 ? 2 2?
A. C.

1 3
1 2

B. D.

2 π
2 3

3.从集合{1,2,3,4,5}中,选出由 3 个数组成子集,使得这 3 个数中任何两个数的和不 等于 6,则取出这样的子集的概率为( A. C. ). B. D.

3 10 3 5

7 10 2 5

4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 ( A. C. ).

3 10 1 10

B. D.

1 5 1 12

5.从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字

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之和等于 9 的概率为( A. C.

). B. D.

13 125 18 125

16 125 19 125

6.若在圆(x-2)2+(y+1)2=16 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为 ( A. C. ).

1 2 1 4

B. D.

1 3
1 16
).

7.已知直线 y=x+b,b∈[-2,3],则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是( A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中随机取点,则点落在四棱锥 O-ABCD(O 为正方体体对角 线的交点)内的概率是( A. C. ). B. D.

1 6 1 2

1 3
2 3

9.抛掷一骰子,观察出现的点数,设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为“出现 2 点” .已知 P(A)=P(B)= A. C.

1 ,则“出现 1 点或 2 点”的概率为( 6
B. D.

).

1 2 1 6

1 3
1 12

二、填空题 10.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台报时,假定电台每小时报时一次, 则他等待的时间短于 10 分钟的概率为___________. 11.有 A,B,C 三台机床,一个工人一分钟内可照看其中任意两台,在一分钟内 A 未被照 看的概率是 .

12.抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有 1~6 点),设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为“出 现 2 点” ,则“出现的点数大于 2”的概率为 .

?1 ? ?1 ? 13.已知函数 f(x)=log2 x, x∈ ? ,2 ? ,在区间 ? ,2 ? 上任取一点 x0,使 f(x0)≥0 的概率 ?2 ? ?2 ?




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14.从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三 角形的概率是 .

15.一颗骰子抛掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数 为 b.则 a+b 能被 3 整除的概率为 三、解答题 16. 射手张强在一次射击中射中 10 环、 9 环、8 环、 7 环、 7 环以下的概率分别是 0.24、0.28、 0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率; (3)射中环数小于 8 环的概率. .

17.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率.

18.同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有 1~6 个点数,抛掷后,以向上一面的点数 为准),试计算出现两个点数之和为 6 点、7 点、8 点的概率分别是多少??

19.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

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一、选择题 1.D 解析:1 位正整数是从 1 到 9 共 9 个数,其中任意两个不同的正整数求和有 8+7+6+5+4 +3+2+1=36 种情况,和是 8 的共有 3 种情况,即(1,7) , (2,6) , (3,5) ,所以和是 8 的概率是 2.A

1 . 12

1 ? π π? ? π π? 解析: 在区间 ?- , ? 上随机取一个数 x, 即 x∈ ?- , ? 时, 要使 cos x 的值介于 0 到 2 ? 2 2? ? 2 2? π π π π π 之间,需使- ≤x≤- 或 ≤x≤ ,两区间长度之和为 ,由几何概型知 cos x 的值 2 3 3 2 3
π 1 1 介于 0 到 之间的概率为 3 = .故选 A. π 2 3

3.D 解析:从 5 个数中选出 3 个数的选法种数有 10 种,列举出各种情形后可发现,和等于 6 的 两个数有 1 和 5, 2 和 4 两种情况, 故选出的 3 个数中任何两个数的和不等于 6 的选法有(10 -3×2)种,故所求概率为 4.A 解析:从五个球中任取两个共有 10 种情形,而取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况:即 1+2=3,2+4=6,1+5=6, ,故取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 为

4 2 = . 10 5

3 . 10

5.D 解析:由于一个三位数,各位数字之和等于 9,9 是一个奇数,因此这三个数必然是“三个 奇数”或“一个奇数两个偶数” .又由于每位数字从 1,2,3,4,5 中抽取,且允许重复, 因此,三个奇数的情况有两种:(1)由 1,3,5 组成的三位数,共有 6 种;(2)由三个 3 组成 的三位数,共有 1 种.一个奇数两个偶数有两种:(1)由 1,4,4 组成的三位数,共有 3 种; (2)由 3,2,4 组成的三位数,共有 6 种;(3)由 5,2,2 组成的三位数,共有 3 种.再将以 上各种情况组成的三位数的个数加起来, 得到各位数字之和等于 9 的三位数, 共有 19 种. 又 知从数字 1,2,3,4,5,中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数共有 53=125 种.因此,所求概率为 6.D
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19 . 125

解析:所求概率为 7.B

π ?12 1 = . 2 π?4 16

解析:区域Ω为区间[-2,3],子区域 A 为区间(1,3],而两个区间的长度分别为 5,2. 8.A 解析:所求概率即为四棱锥 O-ABCD 与正方体的体积之比. 9.B 解析:A,B 为互斥事件,故采用概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+(B)= 二、填空题 10.

1 1 1 + = . 6 6 3

1 . 6

解析:因为电台每小时报时一次,我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间,例 如(13∶00,14∶00),而且取各点的可能性一样,要遇到等待时间短于 10 分钟,只有当他 打开收音机的时间正好处于 13∶50 至 14∶00 之间才有可能,相应的概率是

10 1 = . 60 6

1 11. . 3
解析:基本事件有 A,B;A,C;B,C 共 3 个,A 未被照看的事件是 B,C,所以 A 未被照

1 看的概率为 . 3
12.

2 . 3

1 2 解析:A,B 为互斥事件,故采用概率的加法公式得 P(A+B)= ,1-P(A+B)= . 3 3
13.

2 . 3

解析:因为 f(x)≥0,即 log2 x0≥0,得 x0≥1,故使 f(x)≥0 的 x0 的区域为[1,2]. 14.

3 . 4
3 . 4

解析:从长度为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出 3 条共有 4 种不同的取法,其中可构成 三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三种,故所求概率 P=

1 15. . 3
解析:把一颗骰子抛掷 2 次,共有 36 个基本事件.设“a+b 能被 3 整除”为事件 A,有(1, 2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(3,6),(4,5),(5,4),(6, 3),(6,6),共 12 个.
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1 P(A)= . 3
三、解答题 16.解:设“射中 10 环” 、 “射中 9 环” 、 “射中 8 环” 、 “射中 7 环” 、 “射中 7 环以下”的事 件分别为 A,B,C,D,E,则 (1)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52. 所以,射中 10 环或 9 环的概率为 0.52. (2)P(A∪B∪C∪D)= P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87. 所以,至少射中 7 环的概率为 0.87. (3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29. 所以,射中环数小于 8 环的概率为 0.29. 17.解:这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船 到达码头的时刻分别为 x 与 y,A 为“两船都不需要等待 码头空出” ,则 0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要 等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达 1h 以上或乙比甲 早到达 2h 以上,即 y-x≥1 或 x-y≥2.故所求事件构 成集合 A={(x,y)| y-x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24], y∈[0,24]}. A 对应图中阴影部分,全部结果构成集合Ω 为边长是 24 的正方形. 由几何概型定义,所求概率为
A 的面积 P(A)= = ? 的面积
23 22

(24-1)2 ?

1 1 ?(24-2)2 ? 2 2 = 506.5 =0.879 34. 2 576 24

18.解:将两只骰子编号为 1 号、2 号,同时抛掷,则可能出现的情况有 6×6=36 种,即 n =36.出现 6 点的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3). ∴m1=5,∴概率为 P1=

m1 5 = . n 36

出现 7 点的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3). ∴m2=6,∴概率为 P2=

m2 6 1 = = . n 36 6

出现 8 点的情况有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4).? ∴m3=5,∴概率为 P3=

m3 5 = . n 36
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19.解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)。其中小括号内左边的字 母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品,用 A 表示“取出的两件中, 恰好有一件次品”这一事件,则 A={(a1,b),(a2,b),(b1,a),(b,a2)}, 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = . 6 3

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