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1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词(李用)


1.4.1

全称量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间 有什么关系? (1) x ? 3 ; (2)2x+1是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3; (4)对任意一个
x ? Z,

2x+1是整数.

短语“对所有的””对任意一 短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 ”表示.含有全称 ?“ 量词的命题,叫做全称命题. ,
常见的全称量词还有: “所有的”,“任意一个”,“对一 切”,“对每一个”,“任给”, “凡” 例如: 等.
1 )对任意n ?, 2n ? 1是奇数。 2)所有的正方形都是矩形。

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

符号
全称命题“对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x)
读作”对任意x属于M,有p(x)成 立”.

例 1 判断下列全称命题的真假. (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? M , x 2 ? 1 ? 1 ; ( 3 )对每一个无理数 x , x2 也是无理数; (4)每个指数函数都是单调函数.

?

要判断一个全称命题为真,必须对在给定集 合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判 断一个全称命题为假时,只要在给定的集合 中找到一个元素x,使命题p(x)为假。

1.4.2 存在量词

思考:下列语句是命题吗?⑴与⑶,⑵与⑷之 间有什么关系? ⑴2x+1=3; ⑵x 能被 2 和 3 整除; ⑶存在一个 x0∈R,使 2x0+1=3; ⑷至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除.

存在量词: 短语“存在一个” “至少有一个” ,这些词 语都是表示整体的一部分的词通常叫做存在 量词。用符号“ ? ”表示 常用的存在量词还有: “存在一个” , “有一个” , “有些” , “至少有一个” , “ 至多有一个”, “某些” , “有的”等.
例如: 1 )有一个素数不是奇数。 2)有的平行四边形是菱形。

含有存在量词的命题叫做特称命题 (或存在命题)

特称命题“存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为

x ∈ M, p(x ) 0 0 ?

读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.

课 前 练 习:
假 假 真

, a是向量




1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说 法正确的是( ) ? A.?x,y∈R,都有x2+y2≥2xy ? B.?x0,y0∈R,使x+y≥2x0y0 ? C.?x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy ? D.?x0<0,y0<0,使x+y≤2x0y0 ? 解析: 这是一个全称命题,且x,y∈R,故 选A. ? 答案: A
?

2.下列全称命题中假命题的个数是( ) ? ①2x+1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R,x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 ? A.0 B.1 ? C.2 D.3
?

1 3 解析: 对于①,当 x=4时,2x+1=2不是整数,假命 题.对于②,当 x=0 时,0<3,假命题.对于③,当 x∈Z 时,2x2 是偶数,进而 2x2+1 是奇数,所以①②是假命题, 故选 C.
?

答案: C

3 .下列命题,是全称命题的是 ________ ;是 特称命题的是________. ? ①正方形的四条边相等; ? ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ? ③正数的平方根不等于0; ? ④至少有一个正整数是偶数. ? 解析: ①③是全称命题,②④是特称命题. ? 答案: ①③ ②④
?

4 .指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些 是特称命题,并判断真假: ? (1) 当 a > 1 时,则对任意 x ,曲线 y = ax 与曲线 y =logax有交点. ? (2)?x∈R,使得x2-x+1≤0. ? (3)被5整除的整数的末位数字都是0. ? (4)有的四边形没有外接圆.
?

解析:

(1)、(3)是全称命题,(2)、(4)是特称命题,对

(1)当 a>1 时,y=ax 与 y=logax 都是增函数且两函数是互为 反函数;图象关于直线 y=x 对称故没有交点. ∴(1)是假命题. 对于(2),∵x
2

? 1?2 3 3 -x+1=?x-2? + ≥ 恒成立, 4 4 ? ?

∴(2)是假命题. 对于(3),∵末位数字是 5 的整数也能被 5 整除. ∴(3)是假命题.

对于 (4) , ∵ 只有对角互补的四边形才有外接 圆, ? ∴(4)是真命题.
?

判断下列语句是全称命题还是特称命题, 并判断真假. ? (1)有一个实数α,tan α无意义; ? (2)任何一条直线都有斜率吗? ? (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径; ? (4)圆内接四边形,其对角互补; ? (5)指数函数都是单调函数.
?

[解题过程]

π (1)特称命题. α=2时, tan α 不存在, 所以,

特称命题“有一个实数 α,tan α 无意义”是真命题. (2)不是命题. (3)含有全称量词,所以该命题是全称命题,又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径, 所以,全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题.

(4)“ 圆内接四边形,其对角互补”的实质是 “所有的圆内接四边形,其对角都互补”, ? 所以该命题是全称命题且为真命题. ? (5) 虽然不含逻辑联结词,其实 “ 指数函数都 是单调函数”中省略了“所有的”, ? 所以该命题是全称命题且为真命题.
?

1.判断下列语句是全称命题还是特称命题: ? (1)没有一个实数α,tan α无意义. ? (2)存在一条直线其斜率不存在. ? (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 吗? ? (4)圆外切四边形,其对角互补. ? (5)有的指数函数不是单调函数.
?

解析: (1)为全称命题. ? (2)为特称命题. ? (3)不是命题. ? (4)为全称命题. ? (5)为特称命题.
?

将下列命题用量词符号“?”或“?”表 示,并判断真假. ? (1)实数的平方是非负数; ? (2)整数中1最小; ? (3) 方程 ax2 + 2x + 1 = 0(a<1) 至少存在一个负根; ? (4)对于某些实数x,有2x+1>0; ? (5)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.
?

?

[解题过程]

题号
(1) (2) (3) (4) (5)

符号表示
?x∈R,x2≥0 ?x∈Z,x≥1 ?x<0,有ax2+2x+1= 0(a<1) ?x∈R,有2x+1>0 若?a?α,l⊥a,则l⊥α

真假判 断 真 假 真 真 真

?

[题后感悟] 同一个全称命题或特称命题,可 能有不同的表述方法,现列表总结如下,在 实际应用中可以灵活选择:

特称命题“?x∈A, 命题 全称命题“?x∈A,p(x)” p(x)” ①所有的x∈A,p(x)成 ①存在x∈A,使p(x)成 立 立 ②对一切x∈A,p(x)成 ②至少有一个x∈A, 立 使p(x)成立 表述 ③对每一个x∈A,p(x) ③对有些x∈A,p(x)成 立 方法 成立 ④任意一个x∈A,p(x) ④对某个x∈A,p(x)成 成立 立 ⑤凡x∈A,都有p(x)成 ⑤有一个x∈A,使p(x) 立 成立

2.(1)用“量词”表述下列命题,并判断真假: ①存在实数对(x,y),使 2x+3y+2<0 成立; ②有些三角形不是等腰三角形; ③至少有一个实数使不等式 x2-3x+6<0 成立; ④对所有正实数 t, t为正且 t<t. (2)用文字语言表述下列命题: ①?x∈R,x2≥0;②?α∈R,sin α=cos α.

解析: (1)①?x∈R,y∈R,2x+3y+2<0.真命题; ②?x∈{三角形},x 不是等腰三角形,真命题; ③?x∈R,x2-3x+6<0.假命题; ④?t 为正实数, t>0 且 t<t.假命题. (2)①a.对任意实数 x,都有 x2≥0; b.对所有实数 x,都有 x2≥0; c.对每一个实数 x,都有 x2≥0.

②a.存在角α∈R,使sin α=cos α成立; ? b.至少有一个角α,使sin α=cos α成立; ? c.对于有些角α,满足sin α=cos α.
?

判断下列命题的真假: (1)?x∈R,x2+2x+1>0; (2)?x0∈R,|x0|≤0; (3)?x∈N*,log2x>0; π (4)?x0∈R,sin x0=2.

?
? ?

?
? ?

[规范作答] (1)∵当x=-1时,x2+2x+1=0, ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 3分 (2)∵当x=0时,|x|≤0成立, ∴原命题是真命题. … … … … … … … … … … … 6分 (3)∵当x=1时,log2x=0, ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 9分

π (4)∵当 x∈R 时,sin x∈[-1,1],而2>1, π ∴不存在 x0∈R,使 sin x0=2, ∴原命题是假命题. ………………………………12 分

[ 题后感悟 ] (1) 要判定全称命题“ ? x∈M , p(x)” 是真命题,必须对限定集合 M 中的每个 元 素 x 验 证 p(x) 成 立 ; 但 要 判 定 全 称 命 题 “ ? x∈M , p(x)” 是假命题,只要能举出一个 反例,即在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. ? (2) 要判定特称命题 “ ? x0∈M , p(x0)” 是真命 题,只需要找到集合 M中的一个元素 x0使 p(x0) 成立即可.只有当对集合M中的任意一个元素 x,p(x)都不成立时,才说明这个特称命题是假 命题.
?

3. 本例 (1) 中“ >” 改为“ ≥ ”, (2) 中“ ≤ ”改为 “<”,两命题的真假性如何? ? 解析: (1)?x∈R,x2+2x+1≥0是真命题. ? (2)?x0∈R,|x0|<0是假命题.
?

4.判断下列命题的真假: (1)?x∈R,sin x+cos x≤ 2. (2)?x∈{3,5,7},3x+1 是偶数;
2 (3)?x0∈Q,x0 =3;

(4)?x0∈R,x2 0-x0+1=0.

解析: (1)∵sin x+cos x=

? x? 2sin?x+4?≤ ? ?

2恒成立,

∴对任意的实数 x,sin x+cos x≤ 2都成立, 故该命题是真命题. (2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值, 都有 3x+1 是偶数, 所以“?x∈{3,5,7},3x+1 是偶数”是真命题. (3)由于使 x2=3 成立的实数只有± 3,且它们都不是有 理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于 3, 所以“?x0∈Q,x2 0=3”是假命题.
?

(4)因为对于x2-x+1=0,Δ<0,所以方程x2- x + 1 = 0 无实数根,所以“ ? x0∈R , x - x0 + 1 =0”是假命题.

◎?x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0恒成立, 求实数a的取值范围. ? 【错解】 令 t = 2x ,则不等式 4x - 2x + 1 + 2 - a<0化为:t2-2t+2-a<0,① ? 由已知①式有解. ? ∴Δ≥0, ? 即(-2)2-4(2-a)≥0,解得a≥1.
?

不等式不是在 R 内有解,而是在[-1,2]内恒成立. t 的取值范围,缺少了约束条件. ?换元后,没有求解 【错因】

用 t 替换 2 后,据 x∈[1,2],求出

x

?1 ? t∈?2,4?,确定原来命题 ? ?

?1 ? 的等价命题:?t∈?2,4?,a>t2-2t+2 ? ?

恒成立,进而求解.

【正解】 令 t=2
x

已知不等式化为:22x-2· 2x+2-a<0①

?1 ? ,∵x∈[-1,2],∴t∈?2,4?, ? ?

则不等式①化为:t2-2t+2-a<0, 即 a>t2-2t+2,
?1 ? 原命题等价于:?t∈?2,4?,a>t2-2t+2 ? ?

恒成立,

令 y=t2-2t+2=(t-1)2+1, 当
?
?1 ? t∈?2,4?时,ymax=10. ? ?

所以只需a>10即可. ? 即所求实数a的取值范围是(10,+∞).

例2 判断下列特称命题的真假
? 有一个实数x,使

x ? 2 x ? 3 ? 0;
2

? 存在两个相交平面垂直于同一条直线;

? 有些整数只有两个正因数.

?

要判断一个特称命题为真,只要在给定的集 合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判 断一个特称命题为假,必须对在给定集合的 每一个元素x,使命题p(x)为假。

练习:P23:第2题

练 习:

(1 )下列全称命题中,真命题是:( A. 所有的素数是奇数 B. ?x ? R, ( x ? 1) ? 0
2



1 C. ?x ? R, x ? ? 2 x 1 D. ?x ? (0, ),sin x ? ?2 2 sin x

?

(2)下列特称命题中,假 命题是:( A . ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 B. 至少有一个x ? Z,x能被2和3整除 C. 存在两个相交平面垂直 于同一直线 D. ?x ? { x是无理数}, x 是有理数
2



(3)用符号“?”“?”表示下列含有量词的命题:
① 实数的平方大于等于0; ② 存在一对实数,使2 x ? 3 y ? 3 ? 0成立.

1 (4)已知:对?x ? R , a ? x ? 恒成立,则a x 的取值范围是 .
?

变式:已知:对 ?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0恒成立, 则a的取值范围是 .
2

?

变式2:已知:对?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0恒成立,
2

则a的取值范围是

.

6、全称命题与存在性命题的否定
全称命题: p: ? x∈A, p(x),

它的否定是: ¬p:
存在性命题:

?

x∈A, ¬p(x).

q: ? x∈A, q(x),

它的否定是:¬q: ?x∈A, ¬q(x).
全称命题的否定是存在性命题,

存在性命题的否定是全称命题.

例3. 写出下列命题的否定 (1) 所有能被3整除的数都是奇数; (2) x∈R, x2+1≥1; (3) 有的三角形是等边三角形; x∈R,x>0; (4) (5) 奇函数的图象关于原点对称.
解:(1)有些能被3整除的数不是奇数; (2) x∈R,x2+1<1; (3)所有的三角形都不是等边三角形; (4) x∈R,x≤0; (5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称.

例2. 写出下列命题的非,并判断其真假:

(1)p: ?x∈R,

x2-x+

1 ≥0; 4

(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: ? x∈R, x2+2x+2≤0;


4)s: 至少有一个实数x,使x3+1=0

解:(1) ¬p:

?

1 x∈R, x2-x+ 4

<0;(假)

(2)¬q: 至少存在一个的正方形不是矩形; (假)

(3)r: ? x∈R, x2+2x+2≤0; 解:¬r: ?x∈R, x2+2x+2>0; (真) (4)s: 至少有一个实数x,使x3+1=0 解:¬s: ?x∈R,x3+1≠0. (假)



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