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人教版高中数学必修四各章测试题汇编


高中数学必修四第一章《三角函数》测试题一
一。选择题 1. 把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移

?
2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是(



A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 2.若角α 满足条件 sin2α <0,cosα -sinα <0,则α 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.函数 y=2sinx 的单调增区间是( ) A.[2kπ -

?
2

,2kπ +

?
2

] (k∈Z)

B.[2kπ +

?
2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C.[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D.[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 5.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( ) A.(

?
4



? 2

)∪(π ,

5? ? ) B.( ,π ) 4 4

C.(

?
4



5? ) 4

D.(

?
4

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2


6.已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 4—1 所示,那么不等式 f(x)cosx<0 的解集是( A.(0,1)∪(2,3) B.(1,

?
2

)∪(

? 2

,3)

C.(0,1)∪(

?
2

,3)

D.(0,1)∪(1,3) 图 4—1

7.下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间(

?
2

,π )上为减函数的是(



A.y=cos2x

B.y=2|sinx|

C.y=(

1 cosx ) 3

D.y=-cotx )

8.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

9.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10. tan300°+cot405°的值是( ) A.1+

3

B.1-

3

C.-1-

3

D.-1+ )
1

3

11.已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是(

A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ 12.函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

B.若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ

13.函数 f(x)=Msin(ω x+ ? ) (ω >0) ,在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x) =Mcos(ω x+ ? )在[a,b]上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值- D.可以取得最小值-m

14.若 sinα >tanα >cotα (-

?
2

<α <

?
2

) ,则α

∈(



A.(-

?
2

,-

?
4



B.(-

?
4

,0)

C.(0,

?
4

) )

D.(

?
4



?
2



15.若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是( A.sinx B.cosx C.sin2x

D.cos2x )

16.已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内α 的取值范围是( A.(

?
2



3? 5? )∪(π , ) 4 4

B.(

?
4



?
2

)∪(π ,

5? ) 4

C.(

?
2



3? 5? 3? ? ? 3? )∪( , ) D.( , )∪( ,π ) 4 4 2 4 2 4 1 1 x ? π )在一个周期内的图象是( 2 3


17.函数 y=tan(

18.若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ -

) B.{x|2kπ +

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
<x<kπ +

?
4

<x<2kπ +

5 π ,k∈Z} 4

C.{x|kπ -

? 4

? 4

,k∈Z}

D.{x|kπ + )

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z} 4
3? ] 4

19.使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A.[-

3? ? , ] 4 4

B.[-

?
2



?
2



C.[-
2

?
4



D.[0,π ]

20.函数 y=4sin(3x+

?
4

)+3cos(3x+

?
4

)的最小正周期是(



A.6π

B.2π

C.

2? 3

D.

?
3


21.已知θ 是第三象限角,若 sin4θ +cos4θ =

5 ,那么 sin2θ 等于( 9
D.-

A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

2 3

2 3
对称,那么 a 等于( )

22.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

?
8

A.

2

B.-

2

C.1

D.-1 ) C.sin

23.设θ 是第二象限角,则必有( A.tan

? ? >cot 2 2

B.tan

? ? <cot 2 2

? ? >cos 2 2

D.sin

? ? -cos 2 2

二。填空题 24.若 f(x)=2sinω x(0<ω <1 ) 在区间[0,

?
3

]上的最大值是

2 ,则ω =

.

25. sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

.

26.

sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为_____. cos 7? ? sin 15? sin 8?

27. tan20°+tan40°+ 28.函数 y=sin(x-

3 tan20°?tan40°的值是_____.
)cosx 的最小值是 .

?
6

29.函数 y=sin

x x +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2
1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是 5
.

.

30.已知 sinθ +cosθ = 三。计算题 31.已知函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1,x∈R.(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; 2 2
3

(2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

32.已知函数 y=

3 sinx+cosx,x∈R.

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

(2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

33.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

34.已知 sinα =

1 3 ? ,α ∈( ,π ) ,tan(π -β )= ,求 tan(α -2β )的值. 2 5 2

4

35.已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,

?
2

) ,若 x1、x2∈(0,

?
2

) ,且 x1≠x2,证明 [f(x1)+f(x2) ]>f(

1 2

x1 ? x2 ). 2

36.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

⑴求它的定义域和值域;

⑵求它的单调区间;

⑶判断它的奇偶性;

⑷判断它的周期性.

5

37. 求函数 f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 的单调递增区间

38. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+ ⑴求 f(x)的最小正周期;

5 3 (x∈R) 2

⑵求 f(x)单调区间;

⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。

39 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。

6

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题二
一、选择题
? 1 2

1. sin 163 sin 223

0

0

? sin 253 sin 313 的值为(
0 0

) A.

1 B. 2

C.

?

3 2

3 D. 2

cos 2? 2 ?? π 2 ? ? sin ? ? ? ? 4 ? ? 2.若 ,则 cos ? ? sin ? 的值为(

) A.

?

7 2

B.

?

1 2

1 C. 2

7 D. 2

?x π? ? π ? y ? 2 cos ? ? ? a ? ?? , ? 2? ? 3 6 ? 的图象按向量 ? 4 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 3.将



?x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? A.

? x π? ?x π ? ?x π ? y ? 2cos ? ? ? ? 2 y ? 2 cos ? ? ? ? 2 y ? 2 cos ? ? ? ? 2 3 4 3 12 ? ? ? ? ? 3 12 ? B. C. D.

, ? 1) 的夹角为 ? ,则 4.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1

? ? ? 0, ?

? ?

?? ? ? 的概

率是(

5 ) A. 12

1 B. 2

7 C. 12

5 D. 6

x?

?x ? ? )(? ? 0) 5.已知 f ( x) ? sin( 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(
( ,0) A.关于点 3 对称

?

B.关于直线

x?

?
4 对称

( ,0 ) C.关于点 4 对称

?

?
3 对称

D.关于直线

6.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 ,

? ?

? 2 )的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则(
? ? 2,? ?
? 3



A.

? ? ,? ?

1 2

? 6

B.

? ? ,? ?

1 2

? 3

? ? 2,? ?
C.

? 6

D.

7.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则(



? ? A. f(sin 6 )<f(cos 6 )

2? 2? B. f(sin1)>f(cos1) C. f(cos 3 )<f(sin 3 )

D. f(cos2)>f(sin2)

? 8. 将函数 y=f(x) sinx 的图像向右平移 4 个单位后,再作关于 x 轴对称图形,得到函数
2 y=1- 2 sin x 的图像.则 f(x)可以是(

) (A)cosx

(B)sinx

(C)2cosx

(D)2sinx

二、填空题
x2 y2 ? ?1 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 ?ABC 顶 点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) , 顶 点 B 在 椭 圆 25 9 上,则

sin A ? sin C ? sin B _____________

.
7

cos ?? ? ? ? 10.已知 sin? ? sin ? ? a, cos? ? cos ? ? b, ab ? 0 , 则 =_______________。

2 tan( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 4 4 11.化简 的值为__________________.
sin( ? 2? ) 2 3 sin? ? ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), cos(? ? ? )

?

2 cos 2 ? ? 1

?

?

12.已知 三、解答题

则 θ 的值为________________.
?

2 13.已知 6 sin ? ?

sin? cos? ? 2 cos2 ? ? 0,? ?[ , ? ], 求 sin(2? ? ) 2 3 的值.

?

14.设 f ( x) ? 6cos x ? 3 sin 2 x .
2

(1)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期;

4 tan ? 5 的值. (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求

8

,x ? R . 15..已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1

? π 3π ? ? , ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最小值和最大值.

16.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

9

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题三
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={ ? | ? ?
n? 2 2n? 1 , n ? Z } {? | ? ? 2n? ? ? , n ? Z } ,B={ ? | ? ? , n ? Z } {? | ? ? n? ? ? , n ? Z } , 2 3 3 2

则 A、B 之间关系为 A. B ? A B. A ? B C.B A D.A B





2.函数 y ? log 1 sin(2 x ?
2

?
4

) 的单调减区间为
B. ( k ? ? D. ( k? ?





A. ( k ? ?

?
4 3

, k? ]

(k ? Z )

?
8

, k? ?

?
8 3

]

(k ? Z ) (k ? Z )


C. ( k ? ? ? , k ? ? ] 8 8 3.设角 ? ? ?

?

(k ? Z )

?
8

, k? ? ? ] 8
的值等于(

35 6

?,则

2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos 2 (? ? ? )

A.

3 3

B.-

3 3

C. 3

D.- 3 ( D. )

4.已知锐角 ? 终边上一点的坐标为( 2 sin 3,?2 cos3), 则 ? = A. ? ? 3 B.3 C.3-

? 2

? -3 2
( )

5.函数 y ? x ? sin x , x ? ? ?? , ? ? 的大致图象是

6.下列函数中同时具有①最小正周期是π ;②图象关于点(

7.已知 y ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形,该图形的面积是 ( A.4π B.2π
3? 4

? ,0)对称这两个性质的是( ) 6 ? ? x ? ? A. y=cos(2x+ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin( + )D.y=tan(x+ ) 2 6 6 6 6
) C.8 对称的曲线是( C. y ? ? sin x ) D. y ? ? cos x ( ) D.4

8.与正弦曲线 y ? sin x 关于直线 x ? A. y ? sin x B. y ? cos x

9. 若方程 cos x ? ax ? 1恰有两个解,则实数 a 的取值集合为

10

A. ? ?

? 2 ,? 2 ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 3? ? ?

B. ? ?

? 2 , 0? ?0 , 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??

C.

?? 2 , 2 ? ? ? ? ?? ?

D.

?

?

2

?

,

2

?

?

10.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内, x ? 解析式为( A. y ? 2 sin( )

?
9

时取得最大值

1 4 1 , x ? ? 时取得最小值- ,则该函数 2 9 2
D. y ?

x ? 1 ? ? ) B. y ? sin( 3 x ? ) 3 6 2 6

Cy?

1 ? sin( 3 x ? ) 2 6

11..函数 f ( x) ? tan wx( w ? 0) 的图象的相邻两支截直线 y ? A.0 B.1 C.-1

?

4 ? D. 4

所得线段长为

? ? ,则 f ( ) 的值是( 4 4

1 x ? sin( ? ) 2 3 6



12.函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0)在区间 [a, b] 上为减函数,则函数 g ( x) ? M cos(?x ? ? )在[a, b] 上( A.可以取得最大值 M B.是减函数 C.是增函数 D.可以取得最小值-M 二、填空题:本大题共 4 小题,把答案填在题中横线上. 13.已知 cos ? ? sin ? ? ?



3 2

,这 sin ? ? cos ? 的值为 个

x 14.在区间 [ ?2? , 2? ] 上满足 sin x ? sin 的 x 的值有 2

(x ? ?1 ) ? n c o s( ?x ? ? 2 ) , 其 中 m 、 n 、 ?1 、 ? 2 都 是 非 零 实 数 , 若 15 . 设 f ( x) ? m si n?
f (2005) ?
.

f (2001) ? 1, 则

16.设函数 f ( x) = sin(? x + ? )(? > 0, ①它的图象关于直线 x = ③它的周期是 ? ;

?
2

<? <

?
2

) ,给出以下四个论断:

?
12

对称;

②它的图象关于点 ( ④在区间 [ -

?
3

, 0) 对称;

? , 0) 上是增函数。 6

以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出你认为正确的两个命题: (1)_________________ ; (2)__________________.(用序号表示) 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若

1 ? cos x 1 ? cos x 2 ? ?? , 1 ? cos x 1 ? cos x tan x

求角 x 的取值范围.

11

18.说明函数 y ? tan( x ?

1 2

?
6

) 的图像可以由函数 y ? tan x 的图像经过怎样的变换得到。

19.已知 tan ? ? ?

3 ,求 2 ? sin ? cos? ? cos2 ? 的值。 4

20.设 f ( x) 满足 f ( ? sin x) ? 3 f (sin x ) ? 4 sin x ? cos x (1)求 f ( x) 的表达式;

(| x |?

?
2

),

(2)求 f ( x) 的最大值.

21.已知 sin x ? sin y ?

1 2 ,求 ? ? sin x ? cos y 的最值。 3

12

22. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ( 上是单调函数.求 ?和? 的值.

3? ? ,0) 对称, 且在区间 [0, ] 4 2

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题四
一、选择题:共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (48 分) 1、已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A C ) D.- ) D.- D.A=B=C )

2、将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是 ( A.

? 3
sin ? ? 2 cos ? 3sin ? ? 5 cos ?

B.-

? 3

C.

? 6

? 6

3、已知

? ?5, 那么tan? 的值为 (
B.2 C.

16 16 4、已知角 ? 的余弦线是单位长度的有向线段;那么角 ? 的终边 ( ) A.在 x 轴上 B.在直线 y ? x 上 C.在 y 轴上 D.在直线 y ? x 或 y ? ? x 上
5、若 f (cos x) ? cos2 x ,则 f (sin15?) 等于 ( 6、要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移 ) A. ?

A.-2

23

23

3 2

B. )

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象 (

? ? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 8 8
13

7、如图,曲线对应的函数是 A.y=|sinx| C.y=-sin|x| B.y=sin|x| D.y=-|sinx| (





8、化简 1 ? sin2160? 的结果是 A. cos160?

) C. ? cos160? D. ? cos160? ( )

B. ? cos160?

9、 A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 10、函数 y ? 2 sin( 2 x ? B. 钝角三角形

12 ,则这个三角形的形状为 25

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形 ( )

?
3

) 的图象

A.关于原点对称 B.关于点(- 11、函数 y ? sin( x ? A. [ ?

?
2

? ? ,0)对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 6
( )

), x ? R 是

? ?

, ] 上是增函数 B. [0, ? ] 上是减函数 C. [?? ,0] 上是减函数 2 2

D. [?? , ? ] 上是减函数 ( )

12、函数 y ? 2cos x ? 1 的定义域是 A. 2 k ? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

B. 2k? ?

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

二、填空题:共 4 小题,把答案填在题中横线上. (20 分) 13、已知 ? ? ? ? ? ?

4 ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? , 则2? 的取值范围是 3 3
.

.

14、 f ( x) 为奇函数, x ? 0时, f ( x) ? sin 2 x ? cos x, 则x ? 0时f ( x) ?

? 2 )( x ? [ , ? ]) 的最小值是 8 6 3 1 ? ? 16、已知 sin ? ? cos ? ? , 且 ? ? ? , 则 cos ? ? sin ? ? 8 4 2
15、函数 y ? cos( x ? 三、解答题:共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (8 分)求值 sin 120? ? cos180? ? tan 45? ? cos (?330?) ? sin(?210?)
2 2

?

. .

14

18、 (8 分)已知 tan ? ?

3 3, ? ? ? ? ? ,求 sin ? ? cos ? 的值. 2

19、 (8 分)绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋 转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

20、 (10 分)已知α 是第三角限的角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

21、 (10分)求函数 f1 (t ) ? tan2 x ? 2a tan x ? 5 在 x ? [

? ?

, ] 时的值域(其中 a 为常数) 4 2

15

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题五
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.化简 1 ? sin2160? 的结果是( A. cos160? B. ? cos160? ) C. ? cos160? ) B.k?360°+103°(k∈Z) D.k?360°-257°(k∈Z) D. ? cos160?

2.与-463°终边相同的角可表示为( A.k?360°+436°(k∈Z) C.k?360°+257°(k∈Z) 3.函数 y ? 2 sin( A.

?
4

,2,

?
4

1 ? x ? ) 的周期,振幅,初相分别是( ) 2 4 ? ? ? B. 4? ,?2,? C. 4? ,2, D. 2? ,2, 4 4 4
) D.tanα?tanβ=1 ) D.

4.若 α 、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ 5.函数 y ? cos( 2 x ? A. x ? ?

?
2

) 的图象的一条对称轴方程是(

?
2

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

x ??


6 要得到函数 y=sin(2x-

? )的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( 3 ? ? A.向左平行移动 个单位 B.向左平行移动 个单位 3 6 ? ? C.向右平行移动 个单位 D.向右平行移动 个单位 3 6


7.若 cos ? ? 0 ,且 sin 2? ? 0 ,则角 ? 的终边所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

(0, ) 8.在下列四个函数中,在区间 上为增函数,且以 ? 为最小正周期的偶函数是( 2
A.y=tanx B.y=sin|x| C.y=cos2x D.y=|sinx|

?

9.已知 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 4 ( a, b, ? , ? 为非零实数) , f (2007) ? 5 则 f (2008) ? ( A.1 B.3 C.5 D.不能确定 10. 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如图 3 所示, 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( 11.函数 y ? ? cos( ) A.2 ) B. 2 ?



2

C. 2 ? 2 2

D. ? 2 ? 2 2

x ? ? ) 的单调递增区间是( 2 3

4 2 ? ? A. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

4 2 ? ? B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

16

2 8 ? ? C. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?
12.与函数 y ?

D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ? )

?

2

8 ?

1 定义域相同的一个函数是( sin x

A. y ? sin x

B. y ? 1 ? cos 2x C. y ? lg?tanx ? D. y ? lg?sin x ?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.设扇形的半径长为 8cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是 14.设 f ( x) 是以 4 为周期的偶函数,且当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ,则 f (7.6) ? 15.函数 y ? cos2 x ? 2 sin x 的值域是 16.给出下列命题: ① 存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 1 ②函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数 ③ x?

?
8

3 2

是函数 y ? sin( 2 x ?

5 ? ) 的一条对称轴方程 ④若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? 4

其中正确命题的序号是_______________ 三、解答题: (本大题分 5 小题共 36 分) 17. (本题 7 分)已知 sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) ,求 tan x 的值

1 5

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 18. (本题 7 分)已知角 ? 终边上一点 P(?4a,3a), a ? 0 ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

17

19. (本题 7 分)已知函数 y ? a ? b cos ? 2x ?

? ?

3 1 ?? ? (b ? 0) 的最大值为 ,最小值为 ? . 2 2 6?

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 g ( x) ? ?4a sin(bx ?

?
3

) 的最小值并求出对应 x 的集合.

20. (本题 7 分) 函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 在同一个周期内, 当x ?

?
4

时 y 取最大值 1, 当x ?

7? 时, 12

y 取最小值 ? 1 。
(1)求函数的解析式 y ? f ( x). (2)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象?

18

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题一答案
1.答案:C 解析:将原方程整理为:y=

? 1 ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单位和 1 个单位,因 2 2 ? cos x

此可得 y=

1

2 ? cos( x ? ) 2
评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解,可直接化为: (y+1) cos(x-

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

?
2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项.

2.答案:B 解析:sin2α =2sinα cosα <0 ∴sinα cosα <0 即 sinα 与 cosα 异号,∴α 在二、四象限, 又 cosα -sinα <0 ∴cosα <sinα 由图 4—5,满足题意的角α 应在第二象限 图 4—5 3.答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 4.答案:A 解析:函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增区间. 5.答案:C 解法一:作出在(0,2π )区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标 答案.

?
4



5? ,由图 4—6 可得 C 4

图 4—6 图 4—7 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 4—7) 6.答案:C

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 解析:解不等式 f(x)cosx<0 ? ?cos x ? 0或?cos x ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ?

?1 ? x ? 3 ?0 ? x ? 1 ? ? ∴ ?? ∴0<x<1 或 <x<3 或? 2 ? x ? ? ?0 ? x ? 1 ? ?2
19

7.答案:B 解析:A 项:y=cos2x=

1 ? cos 2 x ? ,x=π ,但在区间( ,π )上为增函数. 2 2

B 项:作其图象 4—8,由图象可得 T=π 且在区间(

?
2

图 4—8 ,π )上为减函数.

C 项:函数 y=cosx 在( 增函数.

?
2

,π )区间上为减函数,数 y=(

? 1 x 1 ) 为减函数.因此 y=( )cosx 在( ,π )区间上为 2 3 3

D 项:函数 y=-cotx 在区间(

?
2

,π )上为增函数.

8.答案:C 解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数. 选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数. 9.答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°, ∴B>90°-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B. 10.答案:B 解析:tan300°+cot405°=tan(360°-60°)+cot(360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-

3.

11.答案:D 解析:因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除 A、C,在第二象限内正弦函数 与正切函数的增减性也相反,所以排除 B.只有在第四象限内,正弦函数与正切函数的增减性相同. 12.答案:D 解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x∈(0,

?
2

)时,y=-xcosx<0.

13.答案:C 解法一:由已知得 M>0,-

?
2

+2kπ ≤ω x+ ? ≤

?
2

+2kπ (k∈Z) ,故有 g(x)在[a,b]上不是增函数,

也不是减函数,且当ω x+ ? =2kπ 时 g(x)可取到最大值 M,答案为 C. 解法二:由题意知,可令ω =1, ? =0,区间[a,b]为[-

?
2



?
2

] ,M=1,则

g(x)为 cosx,由基本余弦函数的性质得答案为 C. 评述:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+ ? )的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正 用逆用) ;解法二取特殊值可降低难度,简化命题. 14.答案:B 解法一:取α =± 0) ,故答案为 B.
20

?
3

,±

?
6

代入求出 sinα 、tanα 、cotα 之值,易知α =-

?
6

适合,又只有-

?
6

∈(-

?
4



解法二:先由 sinα >tanα 得:α ∈(-

?
2

,0) ,再由 tanα >cotα 得:α ∈(-

?
4

,0)

评述:本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,1995 年、1997 年曾出现此类题型,运用特殊值法求 解较好. 15.答案:B 解析:取 f(x)=cosx,则 f(x) ?sinx=

1 sin2x 为奇函数,且 T=π . 2

评述:本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案:B 解法一:P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,有 tanα >0, A、C、D 中都存在使 tanα <0 的α ,故答案为 B. 解法二:取α =

?
3

∈(

? ?
4 2 ,

) ,验证知 P 在第一象限,排除 A、C,取α =

5? 3? ∈( ,π ) ,则 P 点不在 6 4

第一象限,排除 D,选 B. 解法三:画出单位圆如图 4—10 使 sinα -cosα >0 是图中阴影部分,又 tanα >0 可得

?
4

?? ?

?
2

或π <α



5? ,故选 B. 4

评述:本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用,突出考查了转化思想和转化方法的选择,采用排除法不失 为一个好办法. 17.答案:A 解析:y=tan(

1 1 1 2? 2? x ? π )=tan (x- ) ,显然函数周期为 T=2π ,且 x= 时,y=0,故选 A. 2 2 3 3 3

评述:本题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键. 18.答案:D 解析一:由已知可得 cos2x=cos2x-sin2x<0,所以 2kπ + ∈Z(注:此题也可用降幂公式转化为 cos2x<0). 解析二:由 sin2x>cos2x 得 sin2x>1-sin2x,sin2x>

?
2

<2x<2kπ +

3 ? 3 π ,k∈Z.解得 kπ + <x<kπ + π ,k 2 4 4

1 2 2 .因此有 sinx> 或 sinx<- .由正弦函数的图象(或单位 2 2 2

圆)得 2kπ +

?
4

<x<2kπ +

3 5 7 5 7 ? π 或 2kπ + π <x<2kπ + π (k∈Z) ,2kπ + π <x<2kπ + π 可写作(2k+1)π + 4 4 4 4 4 4

<x<(2k+1)π +

3? ? 3? ,2k 为偶数,2k+1 为奇数,不等式的解可以写作 nπ + <x<nπ + ,n∈Z. 4 4 4

评述:本题考查三角函数的图象和基本性质,应注意三角公式的逆向使用. 19.答案:Ass
21

解法一: 由已知得:

(x- 2 sin

?
4

) ≤0, 所以 2kπ +π ≤x-

?
4

≤2kπ +2π , 2kπ +

5? 9? ≤x≤2kπ + , 4 4

令 k=-1 得-

3? ? ≤x≤ ,选 A. 4 4

解法二: 取 x=

2? 3 2? 1 2? , 有 sin 排除 C、 D, ? , cos ?? , 3 3 2 3 2
图 4—11

取 x=

?
3

, 有 sin

?
3



3 ? 1 , cos ? ,排除 B,故选 A. 2 3 2

解法三:设 y=sinx,y=cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图 4—11,观察知答案 为 A. 解法四:画出单位圆,如图 4—12,若 sinx≤cosx,显然应是图中阴影部分,故应选 A. 评述:本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象,属基本求范围题,入手容易, 方法较灵活,排除、数形结合皆可运用. 20.答案:C 解析:y=4sin(3x+ 图 4—12

?
4

)+3cos(3x+

?
4

)=5[

? ? ? 4 3 sin(3x+ )+ cos(3x+ ) ]=5sin(3x+ + ? ) 4 4 4 5 5

(其中 tan ? =

3 ) 4

所以函数 y=sin(3x+ 故应选 C.

?
4

)+3cos(3x+

? 4

)的最小正周期是 T=

2? . 3

评述:本题考查了 asinα +bcosα = 及正弦函数的周期性. 21.答案:A

a 2 ? b2

sin(α + ? ) ,其中 sin ? =

b a2 ? b2

,cos ? =

a a2 ? b2



解法一:将原式配方得(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =

5 9

于是 1-

1 2 5 8 sin 2θ = ,sin22θ = ,由已知,θ 在第三象限, 2 9 9

故 2kπ +π <θ <2kπ +

3? 2

从而 4kπ +2π <2θ <4kπ +3π 故 2θ 在第一、二象限,所以 sin2θ =

2 2 ,故应选 A. 3
22

解法二:由 2kπ +π <θ <2kπ +

3? ,有 4kπ +2π <4kπ +3π (k∈Z) ,知 sin2θ >0,应排除 B、D,验 2

证 A、C,由 sin2θ =

4 5 2 2 ,得 2sin2θ cos2θ = ,并与 sin4θ +cos4θ = 相加得(sin2θ +cos2θ )2=1 成立, 9 3 9

故选 A. 评述:本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. 22.答案:D 解析:函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

?
8

对称,表明:当 x=-

?
8

时,函数取得最大值

a 2 ? 1 ,或

取得最小值-

a 2 ? 1 ,所以有[sin(-

?
4

)+a?cos(-

?
4

) ]2=a2+1,解得 a=-1.

评述:本题主要考查函数 y=asinx+bcosx 的图象的对称性及其最值公式. 23.答案:A 解法一:因为θ 为第二象限角,则 2kπ +

?
2

<θ <2kπ +π (k∈Z) ,即

? 为第一象限角或第三象限角,从单 2

位圆看是靠近轴的部分如图 4—13,所以 tan

? ? >cot . 2 2
?
4


解法二:由已知得:2kπ +

?
2

<θ <2kπ +π ,kπ +

? < 2

kπ +

?
2

,k 为奇数时,2nπ +

5? ? 3? < <2nπ + (n∈Z) ; 4 2 2
(n∈Z) ,都有 tan

k 为偶数时,2nπ +

?
4



? ? <2nπ + 2 2

? ? >cot ,选 A. 2 2

图 4—13

评述:本题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本. 24.答案:

3 4
2?

解析:∵0<ω <1 ∴T=

?

>2π

∴f(x)在[0,

?
3

]区间上为单调递增函数

∴f(x)max=f(

?
3

)即 2sin

??
3

? 2

又∵0<ω <1 ∴解得ω =

3 4

25.答案:cos

6 2? 7? π <sin <tan 5 5 5

23

解析:cos

6? 7? 2? ? <0,tan =tan ∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0 5 5 5 2

∴tan

2? 2? 7? 2? 6? >sin >0 ∴tan >sin >cos 5 5 5 5 5

26.答案:2- 解析:

3

sin 7? ? cos15? sin 8? sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? cos 7? ? sin15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8? cos15? cos 8?
1 ? cos 30? ? 2? 3. sin 30?

? tan15? ?

评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.答案:

3
tan 20? ? tan 40? ,∴tan20°+tan40°= 3 - 3 tan20°tan40°,∴tan20°+tan40°+ 3 1 ? tan 20? tan 40?

解析:tan60°=

tan20°tan40°= 28.答案:-

3.

3 4

解析:y=sin(x-

?
6

)cosx=

1 1 1 ? ? ? [sin(2x- )-sin ]= [sin(2x- )- ] 2 2 2 6 6 6 1 1 3 (-1- )=- . 2 2 4

当 sin(2x-

?
6

)=-1 时,函数有最小值,y 最小=

评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域). 29.答案: [?

3? ? , ] 2 2

解析:y=sin

x x ? x ? ? x ? +cos = 2 sin( ? ) ,当 2kπ - ≤ + ≤2kπ + (k∈Z)时,函数递增,此 2 2 2 2 4 2 2 4

时 4kπ -

? 3? 3? ? ≤x≤4kπ + (k∈Z) ,只有 k=0 时, [- , ] (-2π ,2π ). 2 2 2 2
3 4

30.答案:-

解法一:设法求出 sinθ 和 cosθ ,cotθ 便可求了,为此先求出 sinθ -cosθ 的值.

24

将已知等式两边平方得 1+2sinθ cosθ =

1 25

变形得 1-2sinθ cosθ =2-

1 , 25

即(sinθ -cosθ )2=

49 25

又 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) 5
图 4—14



?
2

<θ <

3? ,如图 4—14 4
7 ,于是 5

所以 sinθ -cosθ =

sinθ =

3 4 3 ,cosθ =- ,cotθ =- . 4 5 5
12 ,又θ ∈(0,π ) ,有 cosθ <0<sinθ ,且 cosθ 、sin 25

解法二:将已知等式平方变形得 sinθ ?cosθ =-

θ 是二次方程 x2-

1 12 3 x- =0 的两个根,故有 cosθ =- , 25 5 5

sinθ =

3 4 ,得 cotθ =- . 4 5 1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 2 2

评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活. 31.解: (1)y=



1 1 3 (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 4 4 4 1 3 5 cos2x+ sin2x+ 4 4 4 5 ? ? 1 (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 6 6 2 5 ? 1 sin(2x+ )+ 4 6 2
25







y 取得最大值必须且只需 2x+

?
6



?
2

+2kπ ,k∈Z,

即 x=

?
6

+kπ ,k∈Z.

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

?
6

+kπ ,k∈Z}.

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

y=sin(2x+

?
6

)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

y=

1 ? sin(2x+ )的图象; 2 6 5 1 5 ? 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图象; 4 2 4 6

④把得到的图象向上平移

综上得到函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 的图象. 2 2

评述:本题主要考查三角函数的图象和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力. 32.解: (1)y=

3 sinx+cosx=2(sinxcos

?
6

+cosxsin

?
6

)=2sin(x+

?
6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

?
6



?
2

+2kπ ,k∈Z,

即 x=

?
3

+2kπ ,k∈Z.

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)变换的步骤是:

?
3

+2kπ ,k∈Z}

26

①把函数 y=sinx 的图象向左平移

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

?
6

)的图象;

经过这样的变换就得到函数 y=

3 sinx+cosx 的图象.

评述:本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 33.解:原式=

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



1 3 -sin70°sin30°+ sin70° 2 4 1 3 1 3 - sin70°+ sin70°= . 2 4 2 4
3 ? ,α ∈( ,π ) , 5 2



评述:本题考查三角恒等式和运算能力. 34.解:由题设 sinα =

可知 cosα =-

4 3 ,tanα =- 5 4

又因 tan(π -β )=

1 1 2 tan ? 4 ?? ,tanβ =- ,所以 tan2β = 2 2 2 1 ? tan ? 3

3 4 ? ? tan? ? tan 2 ? 7 tan(α -2β )= ? 4 3? 1 ? tan? tan 2 ? 1?1 24
35.证明:tanx1+tanx2=

sin x1 sin x2 sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2

?

sin(x1 ? x2 ) 2 sin(x1 ? x2 ) ? cos x1 cos x2 cos(x1 ? x2 ) ? cos(x1 ? x2 )

因为 x1,x2∈(0,

?
2

) ,x1≠x2,

所以 2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,且 0<cos(x1-x2)<1, 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2) ,
27

由此得 tanx1+tanx2>

2 sin(x1 ? x2 ) , 1 ? cos(x1 ? x2 )

所以

x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 2 2



x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2

36.解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? ,k∈Z∴ 函数定义域为 4 4
(2k? ? ? 5 , 2k? ? ?) , k ∈ Z ∵ 4 4

? ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ∴ 当 x ∈ (2k? ? ? , 2k? ? 5 ? ) 时 , 0 ? s i n x? ( ≤) ∴ 1 4 4 4 4
1 , ?? ) 2

0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1 2 ? ? 1 ∴ 函数值域为[ ?
2

2

(3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x) 不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平 分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号 37.解:∵f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 令 t ? 1 x ? ? ,∴y= log
3 4

1 2

cos t ,t 是 x 的增函数,又∵0<

1 <1,∴当 y= log 1 cos t 为单调 2 2

递增时 ,cost 为单调递减 且 cost>0, ∴ 2k?≤ t<2k?+

? ? 3? 3? 1 ? (k?Z), ∴ 2k?≤ x ? <2k?+ (k?Z) ,6k?≤ x<6k?+ 2 2 4 4 3 4
(k?Z)

1 ? 3? 3? (k?Z),∴f (x)= log1 cos( x ? ) 的单调递减区间是[6k?,6k?+ ) 4 4 3 4 2

38.解: (1)T=π (2)增区间[kπ (3)对称中心(
? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12

k? ? k 5 ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0 ) 2 12 2 6
4 8

39.解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴ a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? 1 ) 2 ? 17 ,∵?

a min ? ? 1≤sinx≤1 ,∴ 当sin x ? ? 时,

1 4

17 17 ; 当sin x ? 1 时, amax ? 1, ∴a 的取值范围是[ ? , 1 ] 8 8

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题二答案
一、选择题
0 0 0 0 0 0 0 0 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 )

? ? sin 17 0 sin 43 00 ? cos 17 0 cos 43 0 ? cos(17 0 ? 43 0 ) ? cos 60 0 ?
28

1 2

cos2 a ? sin 2 a 2 (sin a ? cos a) 2.原式可化为 2

??

2 2
,化简,可得

sin a ? cos a ?

1 2 ,故选 C.

命题立意:本题主要考查三角函数的化简能力. ? ? ? x ? x? ? , 4 ? x ? x? ? y ? 2 cos( ? ) y? ? 2 cos( ? ) ? 2 ? y ? y? ? 2 3 6 ? 3 4 3.将 代入 得平移后的解析式为 . 故选 A.命题立意:本题考查向量平移公式的应用.
cos? ? a ?b ? ab , ? ? (0, ) 2 m ?n ? 2 ,∴只需
2 2

m?n

?

4.∵

m ? n ? 0 即可,即 m ? n ,

36 ? 6 ?6 21 7 P? 2 ? ? 6 ? 6 36 12 .故选 C. ∴概率

命题立意:本题考查向量的数量积的概念及概率. 5.由题意知 ? ? 2 ,所以解析式为
f ( x) ? sin(2 x ?

?

) 3 .21 世纪教育网



( ,0 ) 经验许可知它的一个对称中心为 3 .故选 A

?

命题立意:本小题主要考查三角函数的周期性与对称性. ? 2? ? ?? ?? ? ? 3 ? 2 sin ? f ( 0 ) ? 3 ? ? 2 3 .故选 D 2 ,∴ 6. ? ,∴ .又∵ ,∴ .∵ 命题立意:本题主本考查了三角函数中周期和初相的求法. 7.由题意知,f(x)为周期函数且 T=2,又因为 f(x)为偶函数,所以该函数在[0,1]为减函数,在[ ?1 ,0]为增函数 ,可 以排除 A、B、C, 选 D. 【点评】由 f(x)=f(x+T)知函数的周期为 T,本题的周期为 2, 又因为 f(x)为偶函数,从而可以知道函数在[0,1]为减函数, 在[ ?1 ,0]为增函数.通过自变量的比较,从而比较函数值的大小.

? ? 8.可以逆推 y=1-2 sin x =cos2x,关于 x 轴对称得到 y=-cos2x , 向左平移 4 个单位得到 y=-cos2(x+ 4 ) 即 y=-
2

? cos(2x+ 2 )=sin2x=2sinxcosx ? f(x)=2cosx

选(C)

点评: 本题考查利用倍角公式将三角式作恒等变形得到 y=cos2x,再作关于 x 轴对称变换,将横坐标不变,纵坐标变为相 ? y ? ? cos 2 x 反数, 得到 ,再左 4 平移.,通过逆推选出正确答案. 二、填空题
sin A ? sin C AB ? BC ? sin B AC 9. 解 析 : (1)A、C 恰为此椭圆焦点,由正弦定理得: ,又由椭圆定义得

sin A ? sin C 5 ? AB ? BC ? 2a ? 10, AC ? 2c ? 8 ,故 sin B 4.
10.解析: 设法将已知条件进行变形, 与欲求式发生联系, 然后进行求值。 将已知二式两边分别平方, 得
29

sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? a2
以上两式相加得
cos?? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 2
cos 2? 2 tan( ? ? ) sin2 [ ? ( ? ? )] 4 2 4 11.解析:原式=

cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos2 ? ? b2



?

?

?

?

cos 2? 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 4 4

?

?

?

cos 2? ?1 cos 2?

【点评】直接化简求值类型问题解决的关键在于抓住运算结构中角度关系(统一角) 、函数名称关系(切割化弦等 统一函数名称) ,并准确而灵活地运用相关三角公式. cos 2? 3 sin? ? ? cos? ? 1 2 ? cos? 12.解析:由已知条件得: .即 3 sin? ? 2 sin ? ? 0 .
sin? ? 3 3 或 sin? ? 0 sin? ? 2 2 ,21 世纪教育网 .由 0<θ<π 知
2? 3

解得



从而 三、解答题 13.解析:本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运 算技能. 方法一:由已知得: (3 sin? ? 2 cos? )(2 sin? ? cos? ) ? 0
? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0

??

?
3

或? ?

由已知条件可知

cos? ? 0, 所以? ?

?
2

? 2 , 即? ? ( , ? ). 于是 tan? ? 0,? tan? ? ? . 2 3

sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 3 3 3

?

?

?

3 sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? ? ? 2 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? ? sin ? cos? ?

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 ? 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求 sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 2 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 将 tan? ? ? 代入上式得 3 3 3
方法二:由已知条件可知
cos? ? 0, 则? ?

?

2

, 所以原式可化为

6 tan2 ? ? tan? ? 2 ? 0.即(3 tan? ? 2)(2 tan? ? 1) ? 0. ? 2 又 ? ? ? ( , ? ),? tan? ? 0.,? tan? ? ? .下同解法一 . 2 3
【点评】条件求值问题一般需先将条件及结论化简再求值,要注意“三统一”观,优先考虑从角度入手.

30

f ( x) ? 6 ?
14.解: (1)

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2 6 ? .故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ; ? ? ?
T?
最小正周期

2? ?? 2 .21 世纪教育网



?? ? ?? ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? ?1 6? 6? ? ? (2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 ,故 .
0 ?? ?

又由

? ? ? ? ? 5 ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? 6 6 ,故 6 2得 6 12 . ,解得

4 ? tan ? ? tan ? 3 5 3 从而 .
解析:本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质等基础知识,考查基本运算能力.

π? ? f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ?. ? (1)
因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π .

π? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? 在区间 ? (2) 解法一: 因为

? π 3π ? ? 3π 3π ? , ? , ? ? ? 8 4 ? 上为减函数, ? 8 8 ? 上为增函数, ? 在区间 又

?π? f ? ??0 ?8? ,

? 3π ? f ? ?? 2 ? 8 ? ,

π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 4 ? 4 ? ? 2 4? ,

? π 3π ? , ? ? f ( x ) 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . ? 故函数 在区间 π? ? ? π 9π ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , ? ? 4 8 4 ? 上的 ? ? ? 解法二:作函数 在长度为一个周期的区间
图象如下:

? π 3π ? ? , ? 由图象得函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为

? 3π ? f ? ? ? ?1 ? 4 ? .
sin B ? 1 2,

16.解: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以
31

由 △ ABC 为锐角三角形得

B?

π 6.

? ? ? ?? ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? (2) ?? ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 3?. ? 2 2
? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?B? ? ? ?A? ?B ? A? ? 2 6 3. 3 2 3 6, 由 △ ABC 为锐角三角形知, 2 , 2

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 3 ? 2 .由此有 2 3? 2 ? ? 所以 2 ,
? 3 3? ? ? ? 2 , 2? ?. 所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题三答案
1.C 2. B 3.C 4.C 5.C 6. A 7.B 8 D 9.D 10.B 11.A 12.A 13.

1 8

14. 5

15.-1

16.(1) ①③ ? ②④ (2) ②③ ? ①④

17.左 ? | 1 ? cos x | ? | 1 ? cos x | ? 2 cos x =右, | sin x | | sin x | | sin x |
? 2 cos x 2 cos x ?? , sin x ? 0,2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? | sin x | sin x (k ? Z ).

? ? ? 个单位,得到 y ? tan( x ? ) 的图像,再把 y ? tan( x ? ) 图像上 6 6 6 1 ? 的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,从而得到 y ? tan( x ? ) 的图像。 2 6
18.可先把 y ? tan x 的图像上所有点向右平移 19. 2 ? sin ? cos? ? cos ? ?
2

2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? sin ? cos? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

=

2 sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? 2 tan2 ? ? tan? ? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ?

9 3 3 3 ? ?1 2 ? (? ) 2 ? (? ) ? 1 22 4 4 = ?8 4 ? 3 9 25 1 ? (? ) 2 1? 4 16
20. f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4 sin x cos x 得 f (sin x) ? 3 f (? sin x) ? ?4 sin x cos x ① ②
32

由3 ? ①-②,得 8 f (sin x) ? 16sin x ? cos x , 故 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 . (2)对 0 ? x ? 1 ,将函数 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 的解析式变形,得

f ( x ) ? 2 x 2 (1 ? x 2 ) ? 2 ? x4 ? x2 = 2 ?( x 2 ? ) 2 ?
21.

1 2

1 2 ,当 x ? 时, f max ? 1. 2 4

1 1 sin x ? sin y ? ? sin x ? ? sin y 代入 ? 中,得 3 3 1 2 1 11 ? ? ? sin y ? (1 ? sin 2 y ) ? sin 2 y ? sin y ? ? (sin y ? ) 2 ? 3 3 2 12 2 1 4 ?1 ? sin x ? 1 ?? ? ? sin x ? 3 3 3 1 2 又 sin y ? ? sin x, 且 ? 1 ? sin y ? 1 ? ? ? sin y ? 1 3 3 1 11 2 4 ? ?min ? ? ( ) ? ? , ?max ? ? (? ) ? 2 12 3 9
即:

22.解:由 f(x)是偶函数,得 f(-x)= f(-x).

sin(??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ). 所以- cos? sin ?x ? cos? sin ?x

对任意 x 都成立,且 ? ? 0, 所以得 cos ? =0.依题设 0 ? ? ? ? ,所以解得 ? ? 由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f (

?
2



3? 3? 3? 3? 3? ? x) ? ? f ( ? x) .取 x=0,得 f ( ) =- f ( ) ,所以 f ( ) =0. 4 4 4 4 4

3? 3?? ? 3?? ) ? sin( ? ) ? cos . 4 4 2 4 3?? 3?? ? ? cos ? 0, 又? ? 0, 得 ? ? k? , k ? 0,1,2 ?. 4 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, ? 3 2 2 ? ? 当k ? 0时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 ? f( 当k ? 1时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? 当k ? 2时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? )在[0, ]上不是单调函数 . 3 2 2 2 所以, 综合得? ? 或? ? 2. 3

)在[0, ]上是减函数; 2 2

?

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题答四案
1. B 2. C 3. D 4. A 5. A 6.C 7.C 8.B 9.B 10. B 11.D 12.D 13. (0,? ) 14. sin 2 x ? cos x 15.

1 3 16. ? 2 2

33

17.原式 ? ( 18.

3 2 3 1 1 ) ? 1 ? 1 ? ( )2 ? ? 2 2 2 2

3 tan ? ? 3, 且? ? ? ? ? 2

? 3 sin ? ? ? ? ? ? ?sin ? ? 3 cos ? 2 ?sin ? ? cos? ? 1 ? 3 ?sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,由 ? 得? 2 2 2 ? ?sin ? ? cos ? ? 1 ?cos ? ? ? 1 ? ? 2
19.设需 x 秒上升 100cm .则 20。–2tanα 21. y ? tan2 x ? 2a tan x ? 5 ? (tan x ? a)2 ? a2 ? 5

x 15 ? 4 ? 2? ? 50 ? 100 ,? x ? (秒) 60 ?

x ? [ , ] ? tan x ? [1, ??] ? 4 2

? ?

当 a ? ?1 时, y ? ?a 2 ? 5 ,此时 tan x ? ? a

? 当 a ? ?1 时, y ? a 2 ? 5 ,此时 tan x ? 1

高中数学必修四第一章《三角函数》测试题五答案
一、选择题:BCCABD 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解:∵ sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) 故 cos x ? 0 两边平方得, 2 sin x cos x ? ? DDBCDD 14. 0 .4 15. ?? 2,2? 16. ②③

1 8 1 5

24 25 49 25

2 ∴ (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x ?

而 sin x ? cos x ? 0

7 1 3 4 与 sin x ? cos x ? ? 联立解得 sin x ? , cos x ? ? 5 5 5 5 sin x 3 ?? ∴ tan x ? cos x 4 y 3 18.解:∵ tan ? ? ? ? x 4
∴ sin x ? cos x ?

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 3 2 ∴ ? ? tan? ? ? 11? 9? ? sin ? ? cos? 4 cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

34

3 ? ? y max ? b ? a ? 2 ?? ? 19. 解:⑴ cos? 2 x ? ? ? ?? 1,1? ? b ? 0 ? ?b ? 0 , ? ; 1 6? ? ? y min ? ?b ? a ? ? 2 ? 1 ? a ? ,b ? 1 2
⑵由⑴知: g ?x ? ? ?2 sin ? x ?

? ?

??
? 3?

?? ? ? sin ? x ? ? ? ?? 1,1? ? g ?x ? ? ?? 2,2?? g ?x ? 的最小值为 ? 2 3? ?
对应 x 的集合为 ? x | x ? 2k? ?

? ?

5 ? ?,k ? Z? 6 ?

20. 解:(1)

?

2?

? ?? ? 3

? 2?(

7? ? ? ) 12 4

又因 sin( ? ? ? ) ? 1,?

3 4

3? ? ? ? ? 2k? ? , 4 2 ,

又? ? ?

?
2

,? ? ? ?

?
4

? 函数 f ( x) ? sin( 3 x ?

?
4

)

(2) y ? sin x 的图象向右平移

? ? 个单位得 y ? sin( x ? ) 的图象 4 4

再由 y ? cos( x ?

?

1 ? ) 图象上所有点的横坐标变为原来的 .纵坐标不变,得到 y ? sin( 3 x ? ) 的图象. 4 3 4

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题一
一、选择题 1.已知向量 a ? (?5,6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 ) A.1 B. 2 C. 2 D.4

2、已知向量 a ? (1 ,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( 3、若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a, b 的夹角为 60°,则 a ? a ? a ? b =______; 4、设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? (m, A. [ ?6,1] B. [4,8] C. (??,1]

m ? ? sin ? ), 其中 ? , m, ? 为实数.若 a ? 2b, 则 的取值范围是 ( 2 m D. [?1, 6]
)

)

5、在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是(
35

A. AC ? AC ? AB

2

B. BC ? BA ? BC

2

C. AB ? AC ? CD

2

D. CD ?

2

( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) AB
2

6、 在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则?=( (A)

1 3

)

2 3

(B)

1 3

(C) -

1 3

(D) -

2 3
)

7、设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则|FA|+|FB|+|FC|=( (A)9 (B)6 (C) 4 (D) 3

CD ? 8、在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB,
A.

1 CA ? ? CB ,则 ? ? ( 3



2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3


9.把函数 y ? e x 的图像按向量 a ? (2,0) 平移,得到 y ? f ( x) 的图像,则 f ( x) ? ( A. e x ? 2 B. e x ? 2 C. e x ? 2 D. e x ? 2

10、已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD



11、在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直角三角形 ABC 中, AB ? 2i ? j ,

AC ? 3i ? k j ,则 k 的可能值有(

) )

A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个

12、对于向量,a 、b、c 和实数 ,下列命题中真命题是( A 若 C 若 = ,则 a=0 或 b=0 ,则 a=b 或 a=-b B 若 D 若

,则 λ=0 或 a=0 ,则 b=c )

13、设 a, b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b) (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有( A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b | )

14、若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF ? OF ? OE B. EF ? OF ? OE

C. EF ? ?OF ? OE

D. EF ? ?OF ? OE

?x π? ? π ? ? 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 15、将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ) ?3 6? ? 4 ? ?x π? ? x π? ?x π ? ?x π ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ?

16、设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为

5 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|<1,则 b 为( 2
36



A.(2,14)

B.(2,-

2 ) 7

C.(-2,

2 ) 7

D.(2,8) ) C. 2b ? a ? ?b ) D. 2a ? a ? ?b ) D. 2b ? a ? 2b

17、若非零向量 a, b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2a ? ?a ? b B. 2a ? 2a ? b

18、若非零向量 a, b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2b ? a ? 2b B. 2b ? a ? 2b

C. 2a ? a ? ?b

19、已知平面向量 a ? (11) ,,b ? (1 , ?1) ,则向量 A. (?2, ? 1) B. (?2, 1)
?

1 3 a ? b ?( 2 2
D. (?1 , 2)

C. (?1 , 0)
?

20、如图, 在四边形 ABCD 中,| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD? DC ? 0, | AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 , 则 ( AB? DC ) ? AC 的值为( )
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

A.2

B. 2 2

C.4

D. 4 2 )

21、已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于(
? 3 2? (A) ? ? , ? ? 7 7? ? 2 4 ? (B) ? ? , ? ? 7 21 ? ?3 2? (C) ? ,? ? ?7 7? 4 ? ?2 (D) ? ,? ? ? 7 21 ?

22、若向量 a 与 b 不共线, a b ? 0 ,且 c = a - ? A.0 B.

?a a? ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为( ?a b?



π 6

C.

π 3

D.

π 2


23、若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a = ( A. (?1 , ? 2) B. (1 , ? 2) C. (?1 , 2) D. (1 , 2)

24、若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a = ( A. (1 , ? 2) B. (1 , 2) C. (1 , ? 2) D. (?1 , 2)



25、设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,则 ) (A) 4a ? 5b ? 3 (B) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ? 14 26、把函数 y=e 的图象按向量 a=(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= ( ) x-3 x+3 x-2 x+2 (A).e +2 (B).e -2 (C) .e +3 (D) e -3 二、填空题

a 与 b 满足的关系式为(
x

(D) 5a ? 4b ? 14

1、如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则 AD BC ? __________ .
A

B 37

D

C

2、在四面体 O-ABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c, D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE = (用 a,b,c 表示) 3、已知向量 a = ? 2,, 4? b = ?11 , ? .若向量 b ? (a + ? b) ,则实数 ? 的值是
? 4、若向量 a, b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a a ? b ?



?

?



A

5、 如图, 在 △ ABC 中, 点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB ,

AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值
为 .

N
B

O

C

6、在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为

M

O(0, 0) , B(11) , ,则 AB AC ?



三、解答题: 1、 (本小题满分 12 分)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现 测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

2、 (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分 12 分.

3、 (本小题满分 12 分)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值;(2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.
38

4、 (本小题满分 14 分)已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1)若 AB AC ? 0 ,求 c 的值;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值

5、 (本题 14 分)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

6、 (本小题满分 12 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船 位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航
? 行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
?

39

7、 (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

在 △ ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. 若 a ? 2, 8、 (本题满分 14 分) 求 △ ABC 的面积 S .

C?

π B 2 5 ,cos ? , 4 2 5

9、 (本小题满分 10 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A .
40

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

10、 (本小题满分 10 分)在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题二
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)· c=( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2.已知 a=(1,-1),b=(λ,1),a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( ) A.λ>1 B.λ<1 C.λ<-1 D.λ<-1 或-1<λ<1 →→ → → →→ → → 3.在四边形 ABCD 中,若AB· CD=-|AB|· |CD|,且BC· AD=|AD|· |BC|,则该四边形一定是( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
41

)

4.如果两个非零向量 a 和 b 满足等式|a|+|b|=|a+b|,则 a,b 应满足( A.a· b=0 B.a· b=|a|· |b| C.a· b=-|a|· |b| D.a∥b

)

→ → → → → → → → → → 5. 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、 AB 上的点,且DC=2BD,CE=2EA, AF=2FB,则AD+BE+CF与BC( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

)

→ → → → 6.在?ABCD 中,已知AC=(-4,2),BD=(2,-6),那么|2AB+AD|=( A.5 5 B.2 5 C.2 10 D. 85

)

→ → → → 7.如右图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且 E、F 分别为 AB、CD 的中点,则( → 1 A.EF =2(a+b+c+d) → 1 B.EF =2(a-b+c-d) → 1 C.EF =2(c+d-a-b) → 1 D.EF =2(a+b-c-d) |a| → 1 → → 1→ → → → → 8.在矩形 ABCD 中,AE=2AB,BF=2BC,设AB=(a,0),AD=(0,b),当EF ⊥DE时,求得|b|的值为( A.3 B.2 C. 3 D. 2 ) ) → → →→ 9.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上求一点 P,使AP· BP取最小值,则 P 点的坐标是( )

)

A.(3,0) B.(-3,0) C.(2,0) D.(4,0) 10.已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( A.1 B.2 B.2 3 C. 2 C.4 2 D. 2 ) D.12 )

11.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( A. 3

→ → → 12.设 e1 与 e2 为两不共线向量,AB=2e1-3e2,BC=-5e1+4e2,CD=e1+2e2,则(

A.A、B、D 三点共线 B.A、C、D 三点共线 C.B、C、D 三点共线 D.A、B、C 三点共线

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.与向量 a=(-5,12)共线的单位向量为________. →→ 14.在△ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,则AD· BC=________. 15.已知 a+b=2e1-8e2,a-b=-8e1+16e2,其中|e1|=|e2|=1,e1⊥e2,则 a· b=________. → → → 16.已知OA=(k,2),OB=(1,2k),OC=(1-k,-1),且相异三点 A、B、C 共线,则实数 k=________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 a=(1,1),且 a 与 a+2b 的方向相同,求 a· b 的取值范围.

42

18.(本题满分 12 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直?(2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

19.(本题满分 12 分)已知 a=3i-4j,a+b=4i-3j, (1)求向量 a、b 的夹角的余弦值; (2)对非零向量 p,q,如果存在不为零的常数 α,β 使 αp+βq=0,那么称向量 p,q 是线性相关的,否则称向量 p, q 是线性无关的.向量 a,b 是线性相关还是线性无关的?为什么?

20.(本题满分 12 分)已知正方形 ABCD,P 为对角线 AC 上任一点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥BC 于点 F. 求证:DP⊥EF.

43

21.(本题满分 12 分)设直线 l:mx+y+2=0 与线段 AB 有公共点 P,其中 A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数 m 的取值范围.

22.(本题满分 14 分)已知 a,b 是两个非零向量,夹角为 θ,当 a+tb(t∈R)的模取最小值时. (1)求 t 的值;(2)求 b 与 a+tb 的夹角.

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题三
一、选择题 1.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,则( A. AB 与 AC 共线 2.下列命题正确的是( B. DE 与 CB 共线 ).
(第 1 题)

). D. AD 与 BD 相等

C. AD 与 AE 相等

A.向量 AB 与 BA 是两平行向量 B.若 a,b 都是单位向量,则 a=b C.若 AB = DC ,则 A,B,C,D 四点构成平行四边形 D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

44

3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足 OC =?? OA +?? OB ,其中 ?, ). A.3x+2y-11=0 B.(x-1) +(y-1) =5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 4.已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是( ).
2 2

?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为(

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
).

5.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C),则 AP =( A.λ( AB + AD ),λ∈(0,1) C.λ( AB - AD ),λ∈(0,1) B.λ( AB + BC ),λ∈(0, D.λ( AB - BC ),λ∈(0,
2 ) 2 2 ) 2

6.△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,则 DF =( A. EF + ED B. EF - DE C. EF + AD

).

D. EF + AF ).

7.若平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)?(a-3b)=-72,则向量 a 的模为( A.2 B.4 C.6 D.12

8.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则点 O 是△ABC 的( A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点

).

CD =-5a-3b, 9. 在四边形 ABCD 中,AB =a+2b,BC =-4a-b, 其中 a, b 不共线, 则四边形 ABCD 为(
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 10.如图,梯形 ABCD 中,| AD |=| BC |, EF ∥ AB ∥ CD 则相等向量是( A. AD 与 BC 二、填空题 11.已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-k,10),且 A,B,C 三点共线,则 k= 12.已知向量 a=(x+3,x2-3x-4)与 MN 相等,其中 M(-1,3),N(1,3),则 x= . B. OA 与 OB C. AC 与 BD D. EO 与 OF
(第 10 题)

).

).



13.已知平面上三点 A,B,C 满足| AB |=3,| BC |=4,| CA |=5,则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值 等于 . 14.给定两个向量 a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),则实数 m 等于 15.已知 A,B,C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ABC 的 . .

16.设平面内有四边形 ABCD 和点 O, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,若 a+c=b+d,则四边形 ABCD 的形状 是 三、解答题 .

17.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点 P 满足 AP = AB +λ AC (λ∈R),试求 λ 为何值时,点 P 在第三 象限内?
45

18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是 AB,AC,BC 的中点,且 MN 与 AD 交于 F, 求 DF .

(第 18 题)

19.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).

(第 19 题)

20.已知向量 a=(cos θ,sin θ),向量 b=( 3 ,-1),则|2a-b|的最大值.

46

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题四
一.选择题 (1) 若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A 30° B 60° C 120° D 150° )

(2) P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 (3)已知平行四边形 ABCD 中, A (-

AD =(3, 7 ), AB =(-2, 3 ), 对角线 AC, BD 交于点 O, 则 CO 的坐标为(
C(



1 , 5) 2 5 (4) 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), | c |? 5 , 若(a ? b) ? c ? , 则a与c的夹角为 ( 2
B (D( A 30° B 60° C 120° D 150° (5)为了得到函数 y=sin(2x-

1 , 5) 2

1 , -5) 2

1 , -5) 2



? )的图像,可以将函数 y=cos2x 的图像 ( ) 6 ? ? ? ? A 向右平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向左平移 个单位长度 6 3 6 3

(6) 点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v =(4,-3) (即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为| v | 个单位.设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则 5 秒后点 P 的坐标为 ( A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10) (7) 在△ABC 中,∠C=90°, AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 k 的值是 ( (8) 已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | = ( ) ) C 3
2

A 5 B -5 ) A

D ?3 C

2

7

B

10

13

D4

(9) 已知点 A( 3 ,1) ,B(0,0)C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有 BC ? ?CE, 其中? 等于 ( ) A 2 B

1 2

C

-3

D



1 3


(10) 已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则 ( A

a⊥e

B

a ⊥( a - e )

C

e ⊥( a - e )

D

( a + e )⊥( a - e )

二.填空题 (11)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=___ (12)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且| a |=2, | b |=5,则(2 a - b )? a = .

(13 已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是_______ (14) 直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹方程是__________ 三.解答题
47

(15) 已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

是否存在实数 x ? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数 则求出 x 的值; 若不存在, ) ? 若存在, 则证明之.

(16)如图, 在 Rt△ABC 中, 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 PQ 与 BC 的夹角θ 取何值时,PQ ·BC 的值最大?并求出这个最大值. C a

A

B

(17)已知两点 M(-1,0), N(1, 0), 且点 P 使 MP ? MN,PM ? PN,NM ? NP 成公差小于零的等差数列. (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 的坐标为(x0, y0), 记θ 为 PM , PN 的夹角, 求 tanθ .

48

(18) ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 a、b、c 成等比数列,且 cos B ? (Ⅰ)求 cot A ? cot C 的值(Ⅱ)设 BA ? BC ?

3 4

3 ,求 a ? c 的值。 2

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题一答案
1.解. 已知向量 a ? (?5,6) , 则 a 与 b 垂直, 选 A。 2.答案:C 分析:2a ? b = (3, n) , b ? (6,5) ,a ? b ? ?30 ? 30 ? 0 ,

由 2a ? b 与 b 垂直可得: (3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 , a ? 2 。
1 3 3 3,答案: ;,解析: a ? a ? a ? b ? 1 ? 1?1? ? , 2 2 2
2 2 4. 【答案】 A 【分析】 由 a ? (? ? 2, ? ? cos ? ) , b ? (m,

?? ? 2 ? 2m m ? , 设 ?k ? sin ? ), a ? 2b, 可得 ? 2 2 2 m ?? ? cos ? ? m ? 2sin ?

2 ?km ? 2 ? 2m 2 ? 2k ? 2 ? 2sin ? , 再 化 简 得 代入方程组可得 ? 2 2 消去 m 化简得 ? ? ? cos ? ? 2 2?k ?2?k? ?k m ? cos ? ? m ? 2sin ?

49

1 4 ? 2 ? 2 ? 2sin ? ? 0 再令 ? t 代入上式得 (sin 2 ? ? 1)2 ? (16t 2 ? 18t ? 2) ? 0 ?2 ? ? ? cos ? ? k ? 2 k ? 2 k ?2 ? ?
可得 ?(16t 2 ? 18t ? 2) ?[0, 4] 解不等式得 t ?[?1, ? ] 因而 ?1 ?
2

2

1 8

1 1 ? ? 解得 ?6 ? k ? 1 .故选 A k ?2 8

5.【答案】:C.【分析】 : AC ? AC ? AB ? AC ? ( AC ? AB) ? 0 ? AC ? BC ? 0 ,A 是正确的,同理 B 也正确, 对于 D 答案可变形为 CD ? AB ? AC ? BC ,通过等积变换判断为正确. 6.解.在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则
2 2 2 2

1 3

CD ? CA ? AD ? CA ?

2 2 2 1 2 AB ? CA ? (CB ? CA) ? CA ? CB ,???= ,选 A。 3 3 3 3 3

7.解.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则 F 为△ABC 的重心, ∴ A、 B、 C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍, 即等于 3, ∴ |FA|+|FB|+|FC|= ( xA ? 1) ? ( xB ? 1) ? ( xC ? 1) ? 6 , 选 B。 8.解.在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则

1 3

CD ? CA ? AD ? CA ?

2 2 2 1 2 AB ? CA ? (CB ? CA) ? CA ? CB ,???= ,选 A。 3 3 3 3 3

9.解. 把函数 y=ex 的图象按向量 a =(2,3)平移, 即向右平移 2 个单位, 向上平移 3 个单位, 平移后得到 y=f(x)的图象,
x?2 f(x)= e ? 3 ,选 C。

10,解析: O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,∴ OB ? OC ? 2OD ,且 2OA ? OB ? OC ? 0 , ∴ 2OA ? 2OD ? 0 ,即 AO ? OD ,选 A 11.【答案】B 【解析】解法一: BC ? BA ? AC ? ?2i ? j ? 3i ? k j ? i ? (k ?1) j ?? (1) 若 A 为直角,则 AB ? AC ? (2i ? j )(3i ? k j ) ? 6 ? k ? 0 ? k ? ?6 ; (2) 若 B 为直角,则 AB ? BC ? (2i ? j )[i ? (k ?1) j ] ? 1 ? k ? 0 ? k ? ?1 ; (3) 若 C 为直角,则 AC ? BC ? (3i ? k j )[i ? (k ?1) j ] ? k 2 ? k ? 3 ? 0 ? k ?? 。? 所以 k 的可能值个数是 2,选 B 解法二:数形结合.如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1),C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角,C 不可能为直角.所以 k 的可能值个数是 2, 选B 12.解析:a⊥b 时也有 a?b=0,故 A 不正确;同理 C 不正确;由 a?b=a?c 得不到 b=c, 如 a 为零向量或 a 与 b、c 垂直时,选 B 13. 【答案】 A 【解析】 f ( x) ? ( xa ? b) (a ? xb) ? ?a bx ? (| a | ? | b | ) x ? a b ,若函数 f ( x ) 的图象是一条直线,
2 2 2

即其二次项系数为 0, ? a b = 0,

? a ⊥ b.
50

14.【答案】B 【解析】由向量的减法知 EF ? OF ? OE
' ' ' 15.答案:选A解析:法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点 P x , y , P ? x, y ? ,

?

?

? ' ? π ? ' ' ' ' ? 2 ? ? P P ? x ? x , y ? y ? x ? x ? , y ? y ? 2 ,带入到已知解析式中可得选A 则a ? ?? , 4 ? 4 ?

?

?

? ? π ? ? 2 ? 平移的意义可知,先向左平移 个单位,再向下平移 2 个单位。 法二 由 a ? ? ? , 4 ? 4 ?
16.答案:选 B 解析:设 a 在 b 的夹角为θ ,则有|a|cosθ = 结合图形可知选 B 17.【答案】 :C【分析】 :

5 2 ,θ =45°,因为 b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|<1, 2

a ? ?b ? a ? b+ b ? a + b ? b ? 2 b , 由于 a, b 是非零向量,则必有 a + b ? b, 故上

式中等号不成立 。 ∴ 2b ? a ? 2b 。故选 C.
C

B

18.【答案】 :A

O

A

【分析】 :若两向量共线,则由于 a, b 是非零向量,且 a ? b ? b ,则

必有 a=2b; 代入可知只有 A、 C 满足; 若两向量不共线, 注意到向量模的几何意义, 故可以构造如图所示的三角形, 使其满足 OB=AB=BC;令 OA ? a, OB ? b,则 BA ? a-b, ∴ CA ? a-2b 且 a ? b ? b ;又 BA+BC>AC ∴ a ? b ? b ? a ? 2b ∴ 2b ? a ? 2b 19.【答案】 :D【分析】 :

1 3 a ? b ? (?1, 2). 2 2
? ? ? ? ? 2

20.【答案】 :C【分析】 : ( AB? DC ) ? AC ? ( AB? DC ) ? ( AB ? BD ? DC ) ? (| AB | ? | DC |) .
? ? ? ? ?| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, ?| AB | ? | DC |? 2. ? ? ? ? ? ?| BD |(| AB | ? | DC |) ? 4,
D C

? ( AB ? DC ) ? AC ? 4.
21.【答案】 :D【分析】 :设 C( x, y) 联立解得 C ( , ? ).

?

?

?

A

B

OC ? OA, ? 4x ? 6 y ? 0, AC // OB ? 5( x ? 4) ? 3( y ? 6) ? 0,

3 7

2 7

51

22.解析:因为 a ? c ? a ? ( ?

? ?

?2

?2

) a ? b ? 0 ,所以向量 a 与 c 垂直,选 D ? a? b
' '

a

? ?

23,解析: 函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 为 y ? 2 ? f ( x ? 1) , 令 x ? x ? 1, y ? y ? 2 得平移公式, 所以向量 a = (?1 , ? 2) , 选A 24.解析: 函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 为 y ? 2 ? f ( x ? 1) ,令 x ? x ? 1, y ? y ? 2 得平移公式,所以向量 a = (1 , ? 2) ,
' '

选C 25.解析: 选 A. 由 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同, 可得: OA ? OC ? OB ? OC 即 4a ? 5 ? 8 ? 5b ,4a ? 5b ? 3 . 26.解.把函数 y=ex 的图象按向量 a =(2,3)平移,即向右平移 2 个单位,向上平移 3 个单位,平移后得到 y=f(x)的图
x?2 象,f(x)= e ? 3 ,选 C。

二、填空题 1. 【答案】? 【分析】 法一: 由余弦定理得 cos B ? 又 AD, BC 夹角大小为 ?ADB , cos ?ADB ?

8 3

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 13 ? 可得 BC ? 7 , AD ? , 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD 3

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 ?? ? ?? , 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91

所以 AD BC ?

AD ? BC ? cos ?ADB ? ?

8 3.

A

法二:根据向量的加减法法则有: BC ? AC ? AB

B 1 1 2 AD ? AB ? BD ? AB ? ( AC ? AB ) ? AC ? AB ,此时 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 8 1 8 AD · BC ? ( AC ? AB )( AC ? AB ) ? AC ? AC · AB ? AB ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 3 3 3 3 3

D

C

2.解析:在四面体 O-ABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c, D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, 则 OE = OA ? AE ? OA ?

1 1 1 1 1 1 1 AD ? OA ? ( AO ? OD ) = OA ? (OB ? OC ) ? a ? b ? c 。 2 2 2 4 2 4 4

3.解析:已知向量 a = ? 2,, 4? b = ?11 , ? .向量 a ? ?b ? (2 ? ?, 4 ? ?) ,b ? (a + ?b) ,则 2+λ+4+λ=0,实数 ? =-3. 4.【答案】
2 1 2 1 1 【解析】 a ? a ? b ? ? a ? a ? b ? a ? a ? b cos60? ? 1 ? ? 。 2 2 2

5.解析:由 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m=1,n=1,故 m+n=2,填 2 6.解析: AB AC ? (0,1) ? (?1,1) ? 0 ? (?1) ? 1?1 ? 1. 三、解答题: 1.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .由正弦定理得

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

52

所以 BC ?

CD sin ?BDC s · sin ? s · tan ? sin ? .在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . ? sin ?CBD sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

1 3 ? 4 5 ? ?1 .又 0 ? C ? π ,? C ? 3 π . 2.解: (Ⅰ) C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 4 1? ? 4 5
(Ⅱ)

C?

3 ? ?? ? , ? AB 边最大,即 AB ? 17 .又 tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? , 4 ? ??

sin A 1 ? ? , AB BC 17 ?tan A ? ? π? ? .由 ? 角 A 最小, BC 边为最小边.由 ? cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? sin C sin A 17 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得: BC ? AB

sin A ? 2 .所以,最小边 BC ? 2 . sin C
当 c=5 时, AC ? (2, ?4)

3. 解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)

cos ?A ? cos ? AC, AB ??

?6 ? 16 5? 2 5

?

1 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而

2 5 5
2

(2)若 A 为钝角,则 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0

25 解得 c> 3

25 显然此时有 AB 和 AC 不共线,故当 A 为钝角时,c 的取值范围为[ 3 ,+ ? )
4.解: (1)

AB ? (?3, ?4)

AC ? (c ? 3, ?4) 由 AB AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 得 c ?
AB AC AB AC ? ?6 ? 16 1 ? 5 20 5

25 3

(2) AB ? (?3, ?4) , AC ? (2, ?4) , cos ?A ?

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
,

2 5 5

5.解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 1 1 1 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? ,由余弦定理,得 cos C ? 2 6 3 2 AC BC

?

( AC ? BC )2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60 . 2 AC BC 2
20 ? 30 2 ? 10 2 , 60

6.解:如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ?

?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,在 ?A1B2 B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 2
53

B1B2 ? 10 2. 因此乙船的速度的大小为
7.解: (1)

10 2 ? 60 ? 30 2. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

sin C 1 ? 3 7 又 sin 2 C ? cos2 C ? 1 解得 cos C ? ? . tan C ? 0 , cos C 8 1 ? C 是锐角.? cos C ? . 8 5 5 2 2 2 2 (2) CB CA ? , ? ab cos C ? , ? ab ? 20 .又 a ? b ? 9 ? a ? 2ab ? b ? 81 . ? a ? b ? 41. 2 2 tan C ? 3 7, ?
?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .

4 ? 3π ? 7 2 3 8.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? , ?B?? 5 5 ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 , 7

? S ? ac sin B ? ? 2 ?

1 2

1 2

10 4 8 ? ? . 7 5 7

9.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .所以, b ?

7.

10.解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? .应用正弦定理,知 ? ?

AC ?

BC 2 3 BC ? 2? ? sin B ? sin x ? 4sin x , AB ? sin C ? 4sin ? ? x ? .因为 y ? AB ? BC ? AC , ? sin A sin A ? ? ? sin ?

所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 ?? ? 5? ? ? ?? cos x ? sin x ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ?, ? ? 2 ?? ? ? ? ? ?? ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ? 所以,当 x ?

? ? ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题二答案
1.[答案] C[解析] ∵a+2b=(-5,6),c=(3,2),∴(a+2b)· c=-5?3+6?2=-3. 2.[答案] D[解析] 由条件知,a· b=λ-1<0,∴λ<1,当 a 与 b 反向时,假设存在负数 k,使 b=ka,
?λ=k ?k=-1 ? ? ∴? ,∴? .∴λ<1 且 λ≠-1. ? ? ?1=-k ?λ=-1

→→ → → → → 3.[答案] A[解析] 由AB· CD=-|AB|· |CD|可知AB与CD的夹角为 180°,∴AB∥CD.
54

→→ → → → → 又由BC· AD=|AD|· |BC|知BC与AD的夹角为 0°,∴BC∥AD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 4.[答案] B[解析] 由|a|+|b|=|a+b|知,a 与 b 同向,故夹角为 0°,∴a· b=|a|· |b|cos0°=|a|· |b|. → → → → → → → → → → 1→ → 2→ 1 → → 5.[答案] A[解析] AD+BE+CF=AB+BD+BC+CE+BF-BC=AB+3BC+BC-3AC-3AB-BC 2 → → 1 → 2 → 1→ 1→ =3(AB-AC)+3BC=3CB+3BC=-3BC,故选 A. → → → → 6.[答案] D[解析] 设AB=a,AD=b,则 a+b=AC=(-4,2),b-a=BD=(2,-6), → → → → ∴b=(-1,-2),a=(-3,4),∴2AB+AD=2a+b=(-7,6),∴|2AB+AD|= (-7)2+62= 85. 1 → → → 1→ → 1 → → 1 → 1 7.[答案] C[解析] ∵EF=OF-OE=2(OC+OD)-2(OA+OB)=2(c+d)-2(a+b),∴EF=2(c+d-a-b). b? ?a b? → → → 1 → 1 → ?a ? ? 8.[答案] D[解析] 如图,∵EF=EB+BF=2AB+2AD= 2,0 + 0,2 = 2,2 .

?

? ?

? ?

?

a ? ?a a2 b2 |a| → → → → 1→ → → ? ? , 0 ,- b 又∵DE=DA+AE=-AD+2AB=(0,-b)+ 2 = 2 ,∵EF⊥DE,∴ 4 - 2 =0,∴|b|= 2.

?

? ?

?

→ → →→ 9.[答案] A[解析] 设 P(x0,0),且AP=(x0-2,-2),BP=(x0-4,-1),∴AP· BP=(x0-2)(x0-4)+2 →→ 2 =x2 BP取最小值. 0-6x0+10=(x0-3) +1,∴x0=3 时,AP· 10.[答案] C[解析] 由(a-c)(b-c)=0 得 a· b-(a+b)· c+c2=0,即 c2=(a+b)c, 故|c|· |c|≤|a+b|· |c|,即|c|≤|a+b|= 2,故选 C. 11.[答案] B[解析] ∵a=(2,0),∴|a|=2,|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a· b=4+4+4?2?1?cos60°=12, ∴|a+2b|=2 3,∴选 B. → → → → → → 12.[答案] A[解析] ∵BD=BC+CD=-4e1+6e2=-2(2e1-3e2)=-2AB,∴AB∥BD, → → ∵AB与BD有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. 13.[答案]

?- 5 ,12?和? 5 ,-12?[解析] ∵|a|=13,∴与 a 共线的单位向量为± a =±?- 5 ,12?. 13? |a| ? 13 13? ? 13 13? ?13

5 → 1→ → → → → 14.[答案] 2[解析] 由已知得AD=2(AB+AC),BC=AC-AB, 1 5 →→ 1→→ → → 1 → 2 → ∴AD· BC=2(AB· AC)· (AC-AB)=2(|AC| -|AB|2)=2(9-4)=2.
?a+b=2e1-8e2 ?a=-3e1+4e2 ? ? 15.[答案] -63[解析] 解方程组? 得,? , ? ? ?a-b=-8e1+16e2 ?b=5e1-12e2

∴a· b=(-3e1+4e2)· (5e1-12e2)=-15|e1|2+56e1· e2-48|e2|2=-63. 1 → → → → → → → → 16.[答案] -4[解析] AB=OB-OA=(1-k,2k-2), AC=OC-OA=(1-2k,-3), ∵A、 B、C 三点共线,∴AB∥AC,
55

1 1 ∴(1-k)· (-3)-(2k-2)· (1-2k)=0,∴k=1 或-4.∵A、B、C 是不同三点,∴k≠1,∴k=-4. 1 17.[解析] ∵a 与 a+2b 方向相同,且 a≠0,∴存在正数 λ,使 a+2b=λa,∴b=2(λ-1)a.

?1 ? 1 ∴a· b=a· 2(λ-1)a =2(λ-1)|a|2=λ-1>-1.即 a· b 的取值范围是(-1,+∞). ? ?
18.[解析] (1)ka+b=k?(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3?(-3,2)=(10,-4). 当(ka+b)· (a-3b)=0 时,这两个向量垂直.由 10(k-3)+(2k+2)(-4)=0, 解得 k=19.即当 k=19 时,ka+b 与 a-3b 垂直. (2)当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一的实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得,
?k-3=10λ, ? ? 解得 ? ?2k+2=-4λ,

?k=-3, ? 1 ?λ=-3
1

1 1 1 .即当 k=-3时,两向量平行.∵λ=-3,∴-3a+b 与 a-3b 反向.

3-4 a· b 2 19.[解析] (1)b=(a+b)-a=i+j,设 a 与 b 夹角为 θ,根据两向量夹角公式:cosθ=|a||b|= =- 10 . 5 2
? ? ?3α+β=0 ?α=0 (2)设存在不为零的常数 α,β 使得 αa+βb=0,那么? ?? , ?-4α+β=0 ? ? ?β=0

所以不存在非零常数 α,β,使得 αa+βb=0 成立.故 a 和 b 线性无关. → → 20.[证明] 以 A 为原点,AB、AD 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,设正方形边长为 1,则AB=(1,0),AD=(0,1).由 → → → → → → → 已知,可设AP=(a,a),并可得EB=(1-a,0),BF=(0,a),EF=(1-a,a),DP=AP-AD=(a,a-1), →→ → → ∵DP· EF=(1-a,a)· (a,a-1)=(1-a)a+a(a-1)=0.∴DP⊥EF,因此 DP⊥EF. 5 4 21.[解析] (1)P 与 A 重合时,m?(-2)+3+2=0,∴m=2.P 与 B 重合时,3m+2+2=0,∴m=-3. → → → → (2)P 与 A、B 不重合时,设AP=λPB,则 λ>0.设 P(x,y),则AP=(x+2,y-3),PB=(3-x,2-y). 3λ-2 x= ? ? λ+1 ,∴? 2λ+3 y= ? ? λ+1

?x+2=λ(3-x) ? ∴? ? ?y-3=λ(2-y)

2m-5 ,把 x,y 代入 mx+y+2=0 可解得 λ= , 3m+4

2m-5 4 5 4 ?5 ? 又∵λ>0,∴ >0.∴m<-3或 m>2.由(1)(2)知,所求实数 m 的取值范围是-∞,-3∪ 2,+∞ . ? ? 3m+4 |a|cosθ 22.[解析] (1)|a+tb|2=a2+2ta· b+t2b2=|b|2t2+2|a||b|cosθ· t+|a|2.∴当 t=- |b| 时,|a+tb|有最小值. |a|cosθ |a|cosθ (2)当 t=- |b| 时,b· (a+tb)=a· b+t|b|2=|a|· |b|cosθ- |b| · |b|2=0. ∴b⊥(a+tb),即 b 与 a+tb 的夹角为 90°.

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题三答案
一、选择题
56

(第 1 题)

1.B 解析:如图, AB 与 AC , AD 与 AE 不平行, AD 与 BD 共线反向. 2.A 解析:两个单位向量可能方向不同,故 B 不对.若 AB = DC ,可能 A,B,C,D 四点共线,故 C 不对.两向 量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故 D 也不对. 3.D 解析:提示:设 OC =(x,y), OA =(3,1), OB =(-1,3),?? OA =(3?,?),?? OB =(-?,3?), 又? OA +?? OB =(3?-?,?+3?),∴ (x,y)=(3?-?,?+3?),∴ ?

? x=3?-? ,又?+?=1, ? y=?+3?

由此得到答案为 D. 4.B 解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,∴(a-2b)?a=a2-2a?b=0,(b-2a)?b=b2-2a?b=0, ∴ a2=b2,即|a|=|b|.∴|a|2=2|a||b|cos θ=2|a|2cosθ.解得 cos θ=

1 π .∴ a 与 b 的夹角是 . 2 3

5.A 解析:由平行四边形法则, AB + AD = AC ,又 AB + BC = AC ,由 λ 的 范围和向量数乘的长度,λ∈(0,1). 6.D 解析:如图,∵ AF = DE ,∴ DF = DE + EF = EF + AF .
(第 6 题)

7. C 解析: 由(a+2b)? (a-3b)=-72, 得 a -a? b-6b =-72. 而|b|=4, a? b =|a||b|cos 60°=2|a|, ∴ |a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6. 8.D 解析:由 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,得 OA ? OB = OC ? OA , 即 OA ?( OC - OB )=0, 故 BC ? OA =0, BC ⊥ OA ,同理可证 AC ⊥ OB ,∴ O 是△ABC 的三条高的交点. 9.C 解析:∵ AD = AB + BC + CD =-8a-2b=2 BC ,∴ AD ∥ BC 且| AD |≠| BC |.∴ 四边形 ABCD 为梯 形. 10.D 解析: AD 与 BC , AC 与 BD , OA 与 OB 方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-
2 .解析:A,B,C 三点共线等价于 AB , BC 共线,? AB = OB - OA =(4,5)-(k,12)=(4-k,-7), 3

2

2

BC = OC - OB =(-k,10)-(4,5)=(-k-4,5),又 A,B,C 三点共线,∴ 5(4-k)=-7(-k-4),

∴ k=-

2 . 3

12. -1. 解析: ∵ M(-1, 3),N(1, 3),∴ MN =(2,0), 又 a= MN , ∴ ? ∴ x=-1.

? x+3=2
2

? x=-1 解得 ? ? x=-1或x=4 ? x -3 x-4=0

13.-25.解析:思路 1:∵ AB =3, BC =4, CA =5,∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC=90°,即 AB ⊥ BC ,

57

∴ AB ? BC =0, ∴ AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB = BC ? CA + CA ? AB = CA ? ( BC + AB )=-( CA )2 =- CA =-25.
2

思路 2:∵ AB =3, BC =4, CA =5,∴∠ABC=90°,∴ cos∠CAB=

AB CA



BC 3 4 ,cos∠BCA= = . 5 5 CA

根据数积定义,结合图(右图)知 AB ? BC =0, BC ? CA = BC ? CA cos∠ACE=4?5?(-

4 )=-16, 5

CA ? AB = CA ? AB cos∠BAD=3?5?(-
25.

3 )=-9.∴ AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB =0―16―9=- 5

14.

23 .解析:a+mb=(3+2m,4-m),a-b=(1,5).∵ (a+mb)⊥(a-b), 3 23 . 3

D (第 13 题)

∴ (a+mb)?(a-b)=(3+2m)?1+(4-m)?5=0 ? m=

15.答案:重心.解析:如图,以 OA , OC 为邻边作□AOCF 交 AC 于点 E,则 OF = OA + OC , 又 OA + OC =- OB ,∴ OF =2 OE =- OB .O 是△ABC 的重心. 16.答案:平行四边形.解析:∵ a+c=b+d,∴ a-b=d-c,∴ BA = CD . ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. 三、解答题 17.λ<-1. 解析:设点 P 的坐标为(x,y),则 AP =(x,y)-(2,3)=(x-2,3).
AB +λ AC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
(第 15 题)

=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
? x ? 5 ? 5? 即? ? y ? 4 ? 7?

? x ? 2 ? 3 ? 5? ∵ AP = AB +λ AC ,∴ (x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).∴ ? ? y ? 3 ? 1 ? 7? ?5 ? 5? ? 0 要使点 P 在第三象限内,只需 ? ?4 ? 7 ? ? 0

解得 λ<-1.

18. DF =(

7 ,2).解析:∵ A(7,8),B(3,5),C(4,3), AB =(-4,-3), 4 1 1 ( AB + AC )= (-4-3,-3-5) 2 2

AC =(-3,-5).又 D 是 BC 的中点,∴ AD =



1 7 (-7,-8)=(- ,-4). 2 2
58 (第 18 题)

又 M,N 分别是 AB,AC 的中点,∴ F 是 AD 的中点,∴ DF =- FD =- =-
1 7 7 (- ,-4)=( ,2). 2 2 4 1 1 b, ED =b- a. 2 2

1 AD 2

19.证明:设 AB =a, AD =b,则 AF =a+ ∴ AF ? ED =(a+

1 1 1 1 3 b)?(b- a)= b2- a2+ a?b.又 AB ⊥ AD ,且 AB = AD , 2 2 2 2 4
(第 19 题)

∴ a2=b2,a?b=0.∴ AF ? ED =0,∴ AF ⊥ ED . 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明. 20.分析:思路 1:2a-b=(2cos θ- 3 ,2sin θ+1), ∴ |2a-b|2=(2cos θ- 3 )2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-4 3 cos θ. 又 4sin θ-4 3 cos θ=8(sin θcos

π π π -cos θsin )=8sin(θ- ),最大值为 8, 3 3 3

∴ |2a-b|2 的最大值为 16,∴|2a-b|的最大值为 4. 思路 2:将向量 2a,b 平移,使它们的起点与原点重合,则|2a-b|表示 2a,b 终点间的距离.|2a|=2,所以 2a 的终点是以原点为圆心,2 为半径的圆上的动点 P,b 的终点是该圆上的一个定点 Q,由圆的知识可知,|PQ|的最 大值为直径的长为 4.

高中数学必修四第二章《平面向量》测试题四答案
一选择题: 1.C [解析]:若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,设向量 a 与 b 的夹角为 ? ∵ c ? a ,∴ (a ? b) ? a ? 0 ,

2 则 | a | ? | a | ? | b | cos? ? 0 ∴ cos ? ? ?

1 ?? ? 120 0 2

2.D

[解析]:∵ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则由 PA ? PB ? PB ? PC 同理 PA ? BC,

得 PB ? (PC ? PA) ? 0, 即PB ? AC ? 0, ? PB ? AC ,

PC ? AB ,即 P 是垂心

3.B [解析]: AD =(3, 7 ), AB =(-2, 3 ), AC ? AB ? AD ? (1,10) , 则 CO ? ? 4.C [解析]: 设a与c 的夹角为 ? ,∵ a ? (1,2),b ? (?2,?4) ,∴ b ? ?2a

1 1 AC ? (? ,?5) 2 2

(a ? b) ? c ? ?a ? c ? ? 5 ? 5 ? cos ? ?
[解析]:y=sin(2x-

5 2,

cos ? ? ?

1 ?? ? 120 0 2

5.B 6.C

? 2? ? )=cos(2x)=cos2(x),故选 B 3 6 3

[解析]:5 秒后点 P 的坐标为(-10,10)+5(4,-3)= (10,- 5)

7.A [解析]: ∠C=90°, AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则

BC ? (2 ? k,2) ∵∠C=90°
59

∴ AC ? BC ? 0 ? 2(2 ? k ) ? 6 ? 0 ? k ? 5 8.C [解析]:已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60°,那么 a ? b =
2 2

1 2

∴| a + 3 b |2= a ? 6a ? b ? 9b ? 13 9.C 那么 [解析]:设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,

BE AB AB ? AC 2 ? 1 ? ?? ? ? ?3 EC AC AC 1

10.C[解析]:已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e | 即 | a -t e |2≥| a - e |2 ∴ t ? 2a ? et ? 2a ? e ? 1 ? 0
2

2 即 ? ? (2a ? e) 2 ? 4(2a ? e ? 1) ? 0 即( a ? e ?1 ) ? 0 ?a ? e ?1 ? 0

a ? e ? e ? 0 ? e( ? a ? e) ?0
二填空题:

2

2 [解析]:向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) , 3 2 又 A、B、C 三点共线,故(4-k,- 7)= ? (- 2k,- 2) ∴k= ? 3
11. ? 12. 13 [解析]:

∴ AB ? (4 ? k ,?7), AC ? (?2k ,?2)

2 (2 a - b )? a =2 a 2- a ? b =2 ? 2 ? 2 ? 5 ? (? ) ? 13

1 2

13. [-6,2][解析]: a ? (?2,2), b ? (5, k ).

a ? b ? (3,2 ? k ) 则 | a ? b |? 9 ? (2 ? k ) 2

9? (2 ? k ) 2 ? 5

∴ ?6? k ? 2

14. x+2y-4=0[解析]: OP ? OA ? 4 ∴(1,2)?(x,y)=4,∴x+2y-4=0 三解答题 (15) 已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), . 2 2 4 2 4 2 4

x x x ? f ( x) ? a ? b ? 2 cos (sin ? cos ) ? 1, 2 2 2 x x x x x x ? f | ( x) ? ? sin (sin ? cos ) ? cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2
当 f ( x) ? f ?( x) ? 0 则 2cosx=0 答: x ?

?
2

时, f ( x) ? f ?( x) ? 0 .

(16)解法一:∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · AC =0. ∵ AP = - AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC , ∴ BP ·CQ =( AP - AB )?( AQ - AC )
60

C Q A

B

P

= AP ? AQ - AP ? AC - AB ? AQ + AB ? AC = -a - AP ? AC + AB ? AP
2

= -a - AP ?( AB - AC )
2

= -a +
2

2

1 PQ · BC 2
2

= -a + a cosθ . 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · CQ 最大,最大值为 0. 解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系. y 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(0,0),C(0,0). 且|PQ|=2a,|BC|=a. C Q 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x, -y), ∴ BP =(x-c, y), CQ =( -x, -y- b).

BC =(-c, b), PQ =(-2x, -2y).

A

B

x

BP ·CQ =( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x2+y2)+ c x- b y .
∵ cos θ =

PQ ? BC PQ BC

?

cx ? by P , ∴ c x- b y= a2 cos θ , ∴ 2 a

2 2 BP ·CQ = -a + a cosθ .

故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · CQ 最大,最大值为 0. (17)解(Ⅰ)记 P(x, y), 由 M(-1,0), N(1, 0)得 PM = - MP =(-1-x, -y) PN = - NP =(1-x, -y),

MN = - NM =(2, 0), ∴ MP · MN =2(1+x), PM · PN =x2+y2-1, NM · NP =2(1-x).
于是 MP ? MN,PM ? PN,NM ? NP 成公差小于零的等差数列等价于 x2+y2-1=

1 [2(1+x)+ 2(1-x)],且 2(1-x)- 2(1+x)<0, 解得 x2+y2=3 (x>0). 2

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 半径为 3 的右半圆. (Ⅱ) 点 P 的坐标为(x0, y0), PM · PN =x02+y02-1=2,

1 ? x0) ? y 0 ? (1 ? x0 ) ? y 0 ? | PM |· | PN |= (
2 2 2 2

2 (4 ? 2 x0 )( 4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 .

∴cosθ =

PM ? PN PM PN
2

?

1
2 4 ? x0

. ∵0< x0≤ 3 ,



1 ? < cosθ ≤1, 0≤θ < . 2 3

∵sinθ = 1 ? cos

? ? 1?

sin ? 1 2 ? 3 ? x0 ? |y0|. , ∴tanθ = 2 cos ? 4 ? x0
61

7 3 ?3? (18) 解: (Ⅰ)由 cos B ? 得 sin B ? 1 ? ? ? ? 由 b2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 4 4 ?4?
于是 cot A ? cot C ?

2

1 1 cos A cos C cos A sin C ? cos C sin A sin ? A ? C ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B ? sin B sin 2 B ? 1 sin B ? 4 7 7

(Ⅱ)由 BA ? BC ?

3 3 3 2 得 ca ? cos B ? ,由 cos B ? 可得 ca ? 2 ,即 b ? 2 2 2 4

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B 得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac ? cos B ? 5

?a ? c?

2

? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ∴ a ? c ? 3

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题一
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求 的) 1、已知 cos ? ? ? A、 ?

3 12 ?? ? , ? ? ? , ? ? , sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 cos ? ? ? ? ? 的值是( 5 13 ?2 ? 63 65
C、



33 65

B、

56 65

D、 ?

16 65

2、已知 ? 和 ? 都是锐角,且 sin ? ?

5 4 , cos ?? ? ? ? ? ? ,则 sin ? 的值是 13 5
( ) C、

A、

33 65

B、

16 65

56 65

D、

63 65


3、已知 x ? ? 2k? ? ? , 2k? ? A、 ?

? ?

3 4

??

3 ?? ? ? ? k ? Z ? ,且 cos ? ? x ? ? ? ,则 cos 2 x 的值是( 4? 5 ?4 ?
24 25
D、

7 25

B、 ?

24 25

C、

7 25


4、设 cos ? x ? y ? sin x ? sin ? x ? y ? cos x ? A、 ?

2 3

B、 ?

3 2

C、 ?

3 2

12 y ,且 y 是第四象限角,则 tan 的值是( 13 2 2 D、 ? 3
) A、 ? B、 2?

5、函数 f ? x ? ? sin

?
2

x ? cos

?
2

x 的最小正周期是 (

C、 1

D、 2

6.若函数 g ? x ? ? f ? x ? sin ?? x ? 为以 2 为最小正周期的奇函数,则函数 f ? x ? 可以是( A、 sin ?? x ? B、 cos ?



?? ?2

? x? ?

C、 sin ?

?? ?2

? x? ?
62

D、 sin ?

?? ?2

? x? ?

7、某物体受到恒力是 F ? 1, 3 ,产生的位移为 s ? ? sin t , ? cos t ? ,则恒力物体所做的功是( A、 3 ? 1 B、 2 C、 2 2 D、 3

?

?



8、已知向量 a ? ? 2cos ? , 2sin ? ? , ? ? 90 ,180 , b ? ?1,1? ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( A、 ? 9、已知 sin ? B、 ? ? 45 C、 135 ? ? ) D、 45 ? ? )

?

?

cos 2 x ?? ?? ? 12 ? ? 的值为( ? x ? ? ? ? x ? ? ,则式子 2? ?? ? ?4 ? 13 ? 4 cos ? ? x ? ?4 ?
B、

A、 ?

10 13

24 13

C、

5 13

D、 ?

12 13

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 ( ) 2 2 11 5? 5? ? A、 x ? ? B、 x ? C、 x ? ? D、 x ? ? 3 3 3 3 1 ? cos x ? sin x ? ?2 ,则 sin x 的值为 11、已知 ( ) 1 ? cos x ? sin x
10、函数 y ? sin A、

4 5

B、 ?

4 5

C、 ?

3 5

D、 ?

15 5

12、已知 ? ? ? 0,

1 1 ? ?? ? , ? ? ? 0, ? ? ,且 tan ?? ? ? ? ? 2 , tan ? ? ? 7 ,则 2? ? ? 的值是 ? 4?
( ) D、 ?

A、 ?

5? 6

B、 ?

2? 3

C、 ?

7? 12

3? 4

13、已知不等式 f ? x ? ? 3 2 sin 取值范围是 A、 m ? 3 ( B、 m ? 3

5? ? x x x 6 ? x ? 恒成立,则实数 m 的 cos ? 6 cos 2 ? ? m ? 0 对于任意的 ? 6 6 4 4 4 2
) C、 m ? ? 3 D、 ? 3 ? m ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在题中的横线上) 14、已知 sin x ?

1 , sin ? x ? y ? ? 1,则 sin ? 2 y ? x ? ? 3

15、函数 y ? sin 2 x ? 2 2 cos ? 16、函数 y ?

?? ? ? x ? ? 3 的最小值是 ?4 ?

1 ? cosx 图像的对称中心是(写出通式) sin x

17、关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题:①、若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ?
63

成立;②、 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? ?? ? , ? 上是单调递增;③、函数 f ? x ? 的图像关于点 ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 6 3? ? 12 ?
5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合. 12

④、将函数 f ? x ? 的图像向左平移

其中正确的命题序号 (注:把你认为正确的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18、 (本小题满分 12 分) 已知 0 ? ? ?

?
2

, tan

?
2

?

1 tan

?
2

?

?? 5 ? ,试求 sin ? ? ? ? 的值. 3? 2 ?

19、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? ? 3 sin ? x, cos ? x ,b ? ? cos ? x,cos ? x ? 求 ? 的值;求 f ? x ? 的单调区间.

?

?

令函数 f ? x ? ? a b , 且 f ? x ? 的最小正周期为 ? . ?? ? 0? ,

设 a ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? ,b ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? ,c ? ?1, 0 ? ,? ? ? 0, ? ? ,? ? ?? , 2? ? , 设 a 与 c 的夹角为 ?1 , 20、

b 与 c 夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

?
6

.求 sin

? ??
8

的值.

21、 (本小题满分 12 分)已知 tan ?

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ?? ? 的值. ? ? ? ? ? ,试求式子 1 ? tan ? 2 ?4 ?
64

? ? 1 2 ? 1 x? 3 22、 (本小题满分 12 分)已知 x ? R , f ? x ? ? sin x ? ? tan ? ? cos 2 x . x 2 2 2 ? tan ? ? 2 ?
若0 ? x ?

?
2

,求 f ? x ? 的单调的递减区间;若 f ? x ? ?

3 ,求 x 的值. 2

23、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 满足下列关系式: (i)对于任意的 x, y ? R ,恒有 2 f ? x ? f ? y ? ? f ?

?? ? ? x ? y?? ?2 ?

?? ? f ? ? x ? y ?; ?2 ?

(ii) f ?

?? ? (1) f ? 0? ? 0 ; (2) f ? x ? 为奇函数; (3) f ? x ? 是以 2? 为周期的周期函数. ? ? 1 .求证: ?2?

65

24、求

3 tan12 ? 3 的值. sin12 ? 4 cos 2 ? 2 ?

25、 (本小题满分 14 分) 将函数 f ? x ? ?

2 3 cos x ? 2sin x ?? ? ? 2 的图像按向量 a ? ? , ?2 ? 平移,得到函数 g ? x ? 的图像. 2 5 ? 2cos x ? 2 3 sin x cos x ?6 ?
? ? ?? 上的单调性; , ? 2 2? ?

化简 f ? x ? 的表达式,并求出函数 g ? x ? 的表示式;指出函数 g ? x ? 在 ? ?

已知 A ? ?2,

? ?

3? ? 9? ? , B ? 2, ? ,问在 y ? g ? x ? 的图像上是否存在一点 P ,使得 AP ? BP . 2? ? 2?
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66

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题二 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

4 1 ,则 tan(? ? ? ) 的值是 ( 3 4 3 2.已知 cos( ? ? x) ? , x ? (? ,2? ) ,则 sin x ? ( 5
1.已知 tan ? ? ? 3.下列命题中真命题是 ( ) A. y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ;

) )

A.-7 A. ?

B. ?

1 7 4 5

C.7 C.

D.

1 7 4 5

3 5

B. ?

3 5

D.

B.终边在 y 轴上的角的集合是 {x x ?

C.在同一坐标系中, y ? sin x 的图象和 y ? x 的图象有三个公共点;D. y ? sin( x ? 4.函数 y ? sin 2 x ? sin x cos x 的最小正周期 T= (
2 5.函数 y ? 2 cos ( x ?

?

k? , k ? Z} ; 2 2 ) 在 [0, ? ] 上是减函数.

) ) D. ( ?

A.2π

B.π

C.

?
4

? 2

D.

? 3

) ? 1 的一个单调递增区间是 (

4 4 2 2 4 sin ? ? cos ? 6.已知 tan ? ? ,则 的值为 ( ) 3 sin ? ? cos ? 3 7.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ? ,则 tan 2? ? ( 5

A. (

? 3?
2 , 2

)

B. (

? 3?
,

)

C. ( ?

? ?
,

)

, ) 4 4 1 A. 3
A.

? ?

B. ?

1 3

C.7

D. ? 7



24 7

B. ?

24 7


C.

7 24

D. ?

7 24

8.设函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ?1( x ? R) ,则 f ( x ) 的最小正周期为( A.2π B.π C.

? 2

D.

? 3

9.将函数 y ? cos 2 x 的图象上的所有点向左平移 的函数解析式是 ( A. y ? cos(2 x ? ) B. y ? cos(2 x ?

? 个单位长度,再把所得图像向上平移 1 个单位长度,所得图象 6
) ?1
C. y ? cos(2 x ?

?
6

) ?1

?
3

?
3

) ?1

D. y ? cos(2 x ?

?
6

) ?1

π π? ? π 3π 10.令 a ? tan ? , b ? sin ? , c ? cos ? ,若在集合 ?? ? ? ? ? , ? ? 0 , , ? 中,给 ? 取一个值, a, b, c 三数中 4 2? 4 4 ?
最大的数是 b ,则 ? 的值所在范围是( 11.已知函数 f ( x) ? ) A. ( ? , )

π π 4 2

B. (0,

π ) 2

C. (0 ,

3π ) 4

D. ( ,

π 3π ) 2 4

1 ? cos2 x 4 sin( ? x) 2

?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,则常数 a 的值为( 2 2
D. ? 10 ) A. ?



A. 15

B. ? 15

C. ? 15

2 2 12.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
67

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.把函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 不变) ,所得函数图象的解析式为

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 4
. .

14.若角 ? 的始边为 x 轴非负半轴,顶点是原点,点 P(?4,3) 为其终边上一点,则 cos 2? 的值为 15.已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x ?? ? cos ? sin sin ? 2 sin x cos x ,当 x ? ? , ? ? 时 f ( x) 的零点为 2 2 2 2 ?2 ?

.

16.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 析式为 .

?
2

, x ? R) 的图象的一部分如下图所示,则函数 f ( x) 的解

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)如图, A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,点 A 的坐标为 ( , ) , 三角形 AOB 为直角三角形. (1)求 sin ?COA , cos ?COA 的值; (2)求 cos ?COB 的值.

3 4 5 5

y
B O

A( , ) C

3 4 5 5

x

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 ? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? ? 6 2? ?

68

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 , (1)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (2)若 f (? ) ?

3 π ? ,求 cos 2 ? ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) = 3 cos2x+sin x cos x(1)求 f ( x) 的最小正周期;

3 2 ;

(2)求 f ( x) 的单调递增区间.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

2 sin x cos x ?

2 cos 2 x . 2

(1)在给出的直角坐标系中画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像; (2)根据画出的图象写出函数 y ? f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调区间和最值.

69

22. (本小题满分 14 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

? 2 )+sin x. 3
1 1 C ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 3 4

(2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题三
一、选择题 1.设 a ?

1 3 2 tan13 1 ? cos50 cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 则有( 2 2 2 1 ? tan 13 2
B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a
70



A. a ? b ? c

2.函数 y ?

1 ? tan 2 2 x 的最小正周期是( 1 ? tan 2 2 x

)

A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

3. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( 4.已知 sin(



A. ?

1 2
B.
17 9

B.

1 2
C.

C. ?

3 2
D.

D.

3 2

?

3 ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为( 4 5



A.

19 25
A.

16 25

14 25
17 9
C. ?

7 25
17 9
D.
17 3

5.若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ?
4 2

1 ,则 cos 2? ? ( 3


)

B. ? B.

C. ?

6.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为( 二、填空题

A.

? 4

? 2

D. 2?

1.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为



2.计算:

sin 65o +sin15o sin10 o 的值为_______. sin 25o -cos 15o cos 80 o

2x 2x ? ? cos( ? ) 的图象中相邻两对称轴的距离是 . 3 3 6 1 4.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 . 2 π 5.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在同一个周期内,当 x ? 时, f ( x) 取得最大值为 2 ,当 3
3.函数 y ? sin

x ? 0 时, f ( x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x) 的一个表达式为______________.
三、解答题
0 0 0 0 1. 求值: (1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ;

2 0 2 0 0 0 (2) sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 。

71

2.已知 A ? B ?

?
4

,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

3.求值: log 2 cos

?
9

? log 2 cos

2? 4? ? log 2 cos 。 9 9

4.已知函数 f ( x) ? a(cos x ? sin x cos x) ? b
2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间;

(2)当 a ? 0 且 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a , b 的值.

72

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题四
一、选择题
π? ? ? 0 <? < ? 2 ? 的值域为( 1.函数 y=sin +cos ?

).A.(0,1)

B.(-1,1)

C.(1, 2 ] C.ab<1

D.(-1, 2 )

? 2.若 0< < < 4 ,sin+cos=a,sin+cos=b,则(
1 - tan ? cos 2? 3.若 2+tan ? =1,则 1+sin 2? 的值为(

).A.a<b B.a>b

D.ab>2

).

A.3

B.-3
4 A. 3

C.-2
3 B. 4

1 D.- 2 3 C.- 4 4 D.- 3

4.已知

? 3π ? 24 ? ? π, ? 2 ? ? 25 ∈ ,并且 sin =- ,则 tan 2 等于(

).

5.已知 tan( + )=3,tan( - )=5,则 tan 2 =(

).

7 A.- 4

7 B. 4

4 C.- 7

4 D. 7

6.在△ABC 中,若 cos Acos B>sin Asin B,则该三角形是( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形 7 ? 1 2 3 7.若 0< < < < ,且 cos =- ,sin( + )= 9 ,则 sin 的值是(
1 A. 27 5 B. 27 1 C. 3 23 D. 27
2 A.- 3

).

1 8.若 cos( + )?cos( - )= 3 ,则 cos2-sin2 的值是( ). 1 9.锐角三角形的内角 A,B 满足 tan A- sin 2 A =tan B,则有(

1 B. 3

1 C.- 3

2 D. 3

A.sin 2A-cos B=0

B.sin 2A+cos B=0

). C.sin 2A-sin B=0

D.sin 2A+sin B=0

π? π? ? ? ? x- ? ? x+ ? 4 ? -sin2 ? 4 ? 是( 10.函数 f(x)=sin2 ?

). C.周期为 的偶函数 D.周期为 的奇函数

A.周期为 二、填空题

的偶函数 B.周期为 的奇函数

π? ? π? ? 3 ? 0, ? ?? ? ? 4 ?= 11.已知设 ∈ ? 2 ? ,若 sin = 5 ,则 2 cos ?
12.sin 50°(1+ 3 tan 10°)的值为 .
73



π? 7π ? ? ? 4 3 ?? ? ? ?? ? ? 6 ? +sin = 5 ,则 sin ? 6 ? 的值是 13.已知 cos ?



sin 2?-cos ?π ? 1 ? +? ? ? = 2 ,则 1 +cos 2? 14.已知 tan ? 4

2

?
的值为 .

3π ? ? ? 2? + ? 2 ? 的值等于 15.已知 tan =2,则 cos ?
?π ? ?π ? ?π ? 1 ? +? ? ? -? ? ? ,π? ? sin ? 4 ? = 6 , ∈? 2 ? ,则 sin 4 16.sin ? 4



的值为



三、解答题 17.求 cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值.

cos10? 2 cos10?-sin 20? 3 cos 20? 18.求值:①(tan10°- ) sin50? ;② .

?π ? sin 2 x+2 sin 2 x 3 7? 7? ? + x? ? = 5 , 12 <x< 4 ,求 1- tan x 19.已知 cos ? 4 的值.

74

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题五
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.sin105°cos105°的值为( ) 1 A.4 1 B.-4 ) 3 C. 4 3 D.- 4 3 3 3 3 A. 2 B.- 2 C.4 D.-4

1 π π 2.若 sin2α=4,4<α<2,则 cosα-sinα 的值是( 3.sin15°sin30°sin75°的值等于( )

1 3 1 3 A.4 B. 4 C.8 D. 8 ) 2 A. 2 B. 2 3 C. 2 D.2

4.在△ABC 中,A=15°,则 3sinA-cos(B+C)的值为( 1 1 5.已知 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ 等于( )

6 4 A.-5 B.-5

4 6 C.5 D.5

6.在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 2 3 7.设 a= 2 (sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c= 2 ,则( ) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c

8.三角形 ABC 中,若 C>90°,则 tanA· tanB 与 1 的大小关系为( ) A.tanA· tanB>1 B.tanA· tanB<1 C.tanA· tanB=1 D.不能确定

? π? ? π? 9.函数 f(x)=sin2 x+4 -sin2 x-4 是( ? ? ? ?

)

A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是( ) A.[-2,2] B.?

? 1+ 2 ? ,2? ? 2 ?
)

C.?

?1- 2 1+ 2? , 2 ? ? 2 ?

? 1 3? D. -2,2 ? ?

24 θ 11.已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)=25,则 cos2的值为(

3 4 3 4 A.35 B.5 C.±5 D.±5 )

12 3 12.若 α、β 为锐角,cos(α+β)=13,cos(2α+β)=5,则 cosα 的值为( 56 16 A.65 B.65 56 16 C.65或65 D.以上都不对

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上.) 1+tanα 1 13.若 =2010,则cos2α+tan2α=______. 1-tanα 1 14.已知 cos2α=3,则 sin4α+cos4α=________. sin?α+30°?+cos?α+60°? 15. =________. 2cosα
75

π π 16.关于函数 f(x)=cos(2x-3)+cos(2x+6),则下列命题:

? π 13π? ①y=f(x)的最大值为 2;②y=f(x)最小正周期是 π;③y=f(x)在区间 24, 24 上是减函数; ? ?
π ④将函数 y= 3cos2x 的图象向右平移24个单位后,将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 1 π π 17.(10 分)已知 tanα=2,tanβ=-3,其中 0<α<2,2<β<π.(1)求 tan(α-β)的值;(2)求 α+β 的值.

18.(12 分)已知向量 m=?cosα-

? ?

π ? 2 ? ?,n=(sinα,1),m,n 为共线向量,且 α∈? ?-2,0?.求 sinα-cosα 的值. 3 ,-1?

?π? 19.(12 分)已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求 f 3 的值;(2)求 f(x)的最大值和最小值. ? ?

76

20.(12 分)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0). π (1)求向量 b+c 的长度的最大值;(2)设 α=4,且 a⊥(b+c),求 cosβ 的值.

π? 2 ? π? ?π 3π? ? 21.(12 分)已知 cos x-4 = 10 ,x∈ 2, 4 .(1)求 sinx 的值;(2)求 sin 2x+3 的值.

?

?

?

?

?

?

2π 22.(12 分)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 3 . (1)求 ω 的值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的.求 y=g(x)的单调增区间.
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77

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题一答案
一,选择题 1、∵ cos ? ? ?

3 4 12 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,∴ sin ? ? ,又 sin ? ? ? , ? ? Ⅲ,∴ cos ? ? ? , 5 5 13 13 ?2 ?

∴ cos ? ? ? ? ? ? ?

5 ? 3 ? ? 12 ? 4 33 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 65
5 12 4 ? 3 ,∴ cos ? ? ,又 cos ?? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ? ,∴ sin ?? ? ? ? ? , 13 13 5 2 5

2、依题意,∵ sin ? ?

∵ sin ? ? sin[?? ? ? ? ? ? ] ,因此有, sin ? ?

3 12 ? 4 ? 5 56 ? ? ? ? ?? ? 5 13 ? 5 ? 13 65

3、∵ x ? ? 2k? ? ? ,2k? ? ? ,∴ cos x ? sin x ? 0 ,即 sin ? ? x ? ?

? ?

3 4

?? 4?

?? ?4

? ? 2 ? 4 ?cos x ? sin x ? ? 0 ,∴ sin ? ? ? x? ? , ?4 ? 5 ? 2

又∵ cos 2 x ? sin ?

4 ? 3? 24 ?? ? ?? ? ?? ? ? 2 x ? ? 2sin ? ? x ? cos ? ? x ? ,∴ cos 2 x ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5? 25 ?2 ? ?4 ? ?4 ?

12 12 x ? ? x ? y ?? ? ? sin y ? ,又∵ y 是第四象限角, 得 sin ? ? ? 13 13 5 y 1? 2sin 2 y 1 ? cos y 5 2 2 ? ∴ cos y ? ,∵ tan ? ? 13 ? ? 12 13 2 2sin y cos y sin y 3 ? 2 2 13
4、由 cos ? x ? y ? sin x ? sin ? x ? y ? cos x ? 5 因为 f ? x ? 1? ? sin

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? x ? 1? ? cos ? x ? 1 ? ? sin? ? ? x ? ? cos? ? x ? ? cos x ? ? sin x ? f ? x ? , 2 2 2 2 ?2 2 ? ? 2 2 ?
78

∴最小正周期是 T ? 1 ∵ g ? ?x ? ? ?g ? x ? , ∴ f ?? x ?s i n 6.、

x ??? f x? s i n ? ?? ? x ?? ? ,即得: f ? ?x? ? f ? x? 成立,∴ f ? x ? 为偶函数,

又∵ g ? x ? 2? ? g ? x ? ,∴ f ? x ? 2? ? f ? x ? ,即 f ? x ? 的周期为 2 ,选 C 7.∵功 w ? F s ? sin t ? 3 cos t ? 2sin ? t ?

? ?

??

? ,∴ w ? 2 3?

8.∵ a b ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 2 2 sin 45 ? ? , a ? 2 , b ? 因此, cos a, b ?

?

?

2,

ab a b

? ? sin ? 45 ? ? ? ? cos ? ?90 ? ? 45 ? ? ?? ? cos ?? ? 45 ? ,∴ a, b ? ? ? 45

9.∵

?
4

?x?

?
2

,∴

?
2

? x?

?
4

?

5? ?? 5 ? ,则 cos ? x ? ? ? ? , 4 4? 13 ?

?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? 2 x ? 2sin ? ? x ? cos ? ? x ? ?2 ?? ?4 ? ?4 ? ? 2sin ? ? ? x ? ? 2cos ? ? ? x ? 则式为 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?4 ? ?4 ? cos ? ? x ? cos ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
10.∵ y ? sin

x x x ? ? ? ?x ?? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? , 2 ?? 令 ? ? k? ? ?x ? k 2 2 2 3 2 3 ?2 3?

当 k ? ?1 时,x ? ? ?k ? Z ? ,

5? 3

x x ? x? x 2sin 2 ? ? ? 2sin cos 2 tan 1 ? cos x ? ? sin x ? x 2 2 2 ? ? 2 ??4 11.∵ ? ? tan ? ?2 ,∴ sin x ? x 5 2 ?1 ? cos x ? ? sin x 2cos2 x ? 2sin x cos x 1 ? tan 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ? ? 1 3 2 ? 1, 2 7 12.∵ tan ? ? tan ? ? ,∴ tan ? 2? ? ? ? ? tan ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 1 1 1 ? 1? 3 1? ? 1? ? ? ? ? 3 2 2 ? 7?
又∵ ? ? ? 0, ? ? , tan ? ? ?

1 3? ? ?? , ? ? ? 0, ? ,∴ ?? ? 2? ? ? ? 0 ,∴ 2? ? ? ? ? 7 4 ? 4?

13.∵ f ? x ? ?

5? ? ?x ?? ? x ? 恒成立,即 m ? f ? x ?max ? 3 6 sin ? ? ? ? m ? 0 对于 ? 6 6 ?2 6?

14.∵ sin ? x ? y ? ? 1,∴ x ? y ? 2k? ? ∴ sin ? 2 y ? x ? ? sin ?(2k? ?

?
2

,∴ y ? 2k? ?

?
2

?x,

? ?

?

? 1 ? ? ? ?? ? ?? ? ) ? y ? ? sin ? ? y ? ? cos y ? cos ? 2k? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? sin x ? 2 2 3 ? ? ? ?2 ? ?2 ?

79

15.令 t ? cos ?

?? ? ?? ? ?? ? ? x ? ,∴ y ? ? cos ? ? 2 x ? ? 2 2 cos ? ? x ? ? 3 ?2 ? ?4 ? ?4 ?
2 2

? ? 2? 2? ? ?2 ? t ? ? 5 ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? ?5 ? 2?2 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? cos x x ? tan ∴对称中心为 ? k? ,0?? k ? Z ? 16.∵ y ? sin x 2
17.∵ f ? x ? ? 2sin ?

5? ?? ? ? ? 2 x ? ? 2sin ? 2 x ? 6 ?6 ? ?

5? ? ? ? ? ? 2sin 2 ? x ? ? ,∴周期 T ? ? ,①正确; 12 ? ? ?

∵递减区间是

?
2

? 2x ?

5? 3? 5? k? 5? ? ? ?? ? ? k? ? x ? ? , 解之为 ? ? , ? , ②错误; ∵对称中心的横坐标 2 x ? , 6 2 6 2 12 ? 6 3? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 5 4 ? 3 5 ? ? ? sin ? ? ,又 0 ? ? ? ,∴ cos ? ? , ,得 sin ? sin ? 2 5 2 5 2

当 k ? 1 时,得③正确;应该是向右平移,④不正确. 18.解:由 tan

?
2

?

1 tan

?
2

?

所以 sin ? ? ?

? ?

??

4 1 3 3 4?3 3 ? ?? ? ? ? 3? 5 2 5 2 10

19.(1)∵ f ? x ? ? a b ,∴ f ? x ? ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos2 ? x

?

1 1 5? ? 1 ?? ? 1 ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? sin ? ? 2? x ? ? ,即 f ? x ? ? sin ? 2? x ? ?? , 2 2 6 ? 2 ?6 ? 2 ?

?

?

∴ 2? ?

2? 2? ? ? ? ?1; T ?

(2)令 2k? ?

?
2

? 2x ?

5? ? 2? ?? ? ? 2k? ? , k ? Z ,解之 f ? x ? 在 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 上递增; 6 2 3 6? ?

同理可求递减区间为 ? k? ? 20.依题意: cos ?1 ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

?k ? Z ? .

ab a b

?

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? ?? ? ? cos ,又 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? 0, ? ,∴ ?1 ? , 2 2 2 2 ? 2? 2 ? 2cos ?

同理 cos ? 2 ? sin

?

? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? cos ? ? ? ,因 ? ? ?? , 2? ? ,所以 ? ? ? 0, ? ,∴ ? 2 ? ? , 2 2 2 2 2 ? 2? ? 2 2?
?
6


将 ?1 、 ?2 代入 ?1 ? ? 2 ?

? ??
2

??

?
3

,从而有 sin

? ??
8

2? 6 ? ? ? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 4 ? 12 ? ?6 4?

80

21.

sin 2? ? 2 cos ? 1 ? tan ?
2

?

2cos ? ? tan ? ? 1? ?? ? ? 2cos2 ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? 4? ?
2

?? ? ? ?? cos ? ? ? ? ? ? ? 4 ?? 1 ? cos 2? ?2 ? ? ?2 2 ?? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? ? ? 4 ?? ?2 ?

?? ? 1? ? 4 ?? ? 4 tan ? ? ? ? 2 1 4? 2? ?? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?1 ? cos 2? ? ? 2 ? 2cos 2? ? 2 ? 2sin ? ? 2? ? ? 2 ? 2 ?? 5 ? ? ?? ?2 ? ? 1? 1 ? tan 2 ? ? ? ? tan ? ? ? ? 1? ? ? ? 4? 4? ? ? ? 2?
1 3 ? 1 ? cos x 1 ? cos x ? f ? x ? ? sin 2 x ? ? cos 2 x ?? 2 sin x ? 2 ? sin x 22.
1 2cos x 3 1 3 ?? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 sin x 2 2 2 3? ?
(1)∵ 0 ? x ?

?
2

,∴

?
2

? 2x ?

?
3

?

4? ? ? ?? ? ? ? x ? 时, f ? x ? 为减函数,故 f ? x ? 的递减区间为 ? , ? ; ,即 3 12 2 ?12 2 ?

(2)∵ sin ? 2 x ?

? ?

??

? 3 ,∴ x ? k? ? k ? Z ? ,或 x ? ? k? ? k ? Z ? . ?? 6 3? 2
?? ? ?? ?2? ?? ? f ? ? ? 0 ? f ? 0? ? 0 ; ?2?

23.(1)令 x ? y ? 0 , 2 f 2 ? 0 ? ? f ?

(2)令 x ?

?
2

, y?R ,2 f ?

?? ? ?? ? ? f ? y ? ? f ? y ? ? f ? ? y ? ,∵ f ? ? ? 1 ,∴ f ? y ? ? ? f ? ? y ? , ?2? ?2?

故 f ? x ? 为奇函数; (3)令 y ?

?
2

, x ? R ,有 2 f ? x ? 1 ? f

?? ? x? ? f ? ?x? ,即 f ?? ? x? ? f ? x ? ……①,再令 x ? ? 2 ,

?

y ? x 有 2 ? ?1? f ? x ? ? f ?? ? x ? ? f ?? ? x ? f ?? ? x ? ? f ? x ? ,即 f ?? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ? ,
令 x ? ? ? t ,则 x ? ? ? 2? ? t ,所以 f ? t ? ? f ? 2? ? t ? ,即 f ? x ? 是以 2? 为周期的周期函数.

24.原式 ?

3 sin12 ? 3cos12 4 3 sin12 cos60 ?cos12 sin 60 3 sin12 ? 3cos12 cos12 ? ? sin12 2 cos 24 sin 24 cos 24 2sin 24 cos 24

?

?

?4 3

sin ? ?48 sin 48

? ? ?4

3

81

? ? ? ? ? ?? 4cos ? x ? ? 4 ? cos cos x ? sin sin x ? 6 6 ? 6? ? ?2 ? ?2 25.(1) f ? x ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?1 ? cox2 x ? ? 3 sin 2 x 6 ? 2 ? cos cos 2 x ? sin sin 2 x ? 3 ? 3 ?
?? ? 2 cos ? x ? ? 2 cos x cos x ?? 6? ?? ? ? ? ? ? 2 ,∵ a ? ? , ?2 ? ,即 g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 ,∴ g ? x ? ? ? ; ?? 3 ? cos 2 x cos 2 x ? 1 ? 6? ?6 ? ? 3 ? cos ? 2 x ? ? 3? ?
(2) ∵ g??

1 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? , (i) 当 x ? ? ? , 0 ? 时,? cos x ? ? ? 0 ,当 x ? ? ? , ? 时,g ? x ? ? ? ?2 , 1 2 ? cos x ? ? ? ? 2? ? 2 2? cos x ? cos x
1 1 1 ? ?? ? ? ?? 2 时, ,∴ cos x ? ? g x ? ? ? ? ? ? 2 0 ,∴ g ? x ? 为减函数. cos x 2 ? ? ? ?

2 ,∴ ∴ g ? x ? ?0 (ii)当 x ? ?0, g ? x ? 为增函数;

(3)在 y ? g ? x ? 图像上存在点 P ? 0, ? ,使得 AP ? BP ,因为 g ? x ? ?

? ?

1? 2?

1 1 ,且 g ? 0 ? ? , 2 2

? 1? ?5? 所以圆 x ? ? y ? 3? ? ? ? 与 y ? g ? x ? 图像有唯一交点 P ? 0, ? . ? 2? ?2?
2 2

2

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题二答案
一、选择题

4 1 ? ?1 tan ? ? tan ? 1 1 3 4 ? 1.B;解析: tan(? ? ? ) ? ?? . 1 4 4 7 1 ? tan ? tan ? 1 ? (? ) ?1 4 3 3 3 3 2.B;解析:∵ cos(? ? x) ? ,∴ ? cos x ? ,即 cos x ? ? ;又 x ? (?,2 ?) ,∴ sin x ? ? 1 ?cos 5 5 5
3.A;解析:

2

x ??

4 ; 5

y ? sin 4 x ? cos4 x ? (sin 2 x ? cos2 x)(sin2 x ? cos2 x) ? sin2 x ? cos2 x ? ? cos 2x ,故最小正周期为 T ? ? .
2 4.B;解析: y ? sin x ? sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 2 2 4 2

∴最小正周期 T=π .
2 5.B;解析:∵ y ? 2 cos ( x ?

?

) ? 1 ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x , 4 4 2

?

?

∴找原函数的单调递增区间,就是找 y ? sin 2 x 的单调递减区间; 而 y ? sin 2 x 在区间 (

? 3?
4 , 4

) 上是减函数,

∴选 B.

82

4 ?1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3 6.C;解析: ? ? ?7. sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 ? 1 3 4 3 7.B;解析:由 ? 是第二象限角且 sin ? ? 得 cos ? ? ? ; 5 5 24 7 sin 2? 24 2 2 ?? . ∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ;∴ tan 2? ? 25 25 cos 2? 7 ? ? (x 2sin(2 ) ? 2sin(2 x? x) ?,∴ ), T ? ? . 8.B;解析:∵ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 xf ? 6 6 ? ? 9.C;解析:将函数 y ? cos 2 x 的图象上的所有点向左平移 个单位长度得函数 y ? cos 2( x ? ) 的图像, 6 6 ? ? 即 y ? cos(2 x ? ) 的图像;再向上平移 1 个单位长度得 y ? cos(2 x ? ) ? 1 得图像; 3 3
10.D;解析:由已知得 a ? tan ? 、 b ? sin ? 、 c ? cos ? 中最大的是 b ? sin ? ;即 ?

?sin ? ? tan? , ?sin ? ? cos? ,

π π? ? π 3π ? π 3π ? 又 ? ? ?? ? ? ? ? , ? ? 0 , , ? ;∴ ? ? ? , ? . 4 2 4 4 ? ?2 4 ? ?

2 cos 2 x x x 1 a 1 a2 1 ? a sin cos ? cos x ? sin x = 11.C;解析: f ( x) ? ? sin(? ? x),(其中tan ? ? ) ; 2 4 cos x 2 2 2 4 4 a

?

1 a2 ? ? 2, 4 4
2

? a ? ? 15 ;
sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = = ? . 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

12.D;解析: sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?
2

二、填空题 13. y ? cos x ;解析:把函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 个单位长度,得 y ? sin(2 x ? ) , 2 4

即 y ? cos 2 x 的图象,把 y ? cos 2 x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 得到 y ? cos x 的图象; 14.

7 y ;解析:由三角函数的定义知 sin ? ? ? 25 r 16 9 7 ? ? . 25 25 25

3 (?4) 2 ? 32

?

4 3 , cos ? ? ? ; 5 5

2 2 ∴ cos 2? ? cos ? ? sin ? ?

15. x ?

5? ? ;解析: f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ? ) ,令 f ( x) ? 0 , 8 4

得 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? , 4 ?2 ?
3? , 2
∴x ?

?

5? ? 9? ? ? 2x ? , 4 4 4

?

?
4

? 2x ?

5? 5? ,即函数 f ( x) 的零点是 x ? . 8 8
83

16. f ( x) ? 2sin(

?

2? ? ? ? ? 8 ,? ? ? ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ; x ? ) ;解析:由图像知 A ? 2. T ? 8 , T ? ? 4 4 4 4

又图象经过点(-1,0) , ∴ 2sin( ? 三、解答题

?

? ? ) ? 0 ,∵ ? | ? ? |? ,?? ? , 4 4 2 2

??

?

? f ( x) ? 2sin(

x? ) 4 4

?

?

17.解:(1) ∵ A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 x ? ∴ sin ?COA ?

3 4 5 5

3 4 , y ? , r ?1 ; 5 5

x 3 y 4 ? , cos ?COA ? ? . r 5 r 5

(2) ∵三角形 AOB 为直角三角形, ∴ ?AOB ? 900 , 又由(1)知 sin ?COA ?

4 4 3 ? , cos ?COA ? ; ∴ cos ?COB ? cos( ?COA ? 90 ) ? ? sin ?COA ? ? . 5 5 5

18.解: (1)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin xcos x ? sin 2 x ,∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (2)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?
2 sin(2 x ? ) , 4

2 19.解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ; 4 2 8 3 3 (2)由 f (? ) ? sin 2? ? cos2? ,及 f (? ) ? 得: sin 2? ? cos 2? ? , 5 5
∴当 2 x ? 两边平方得 1 ? sin 4? ?

16 9 16 ?π ? ?π ? ,即 sin 4? ? ;∴ cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 25 25 ?4 ? ?2 ?
3 2 = 3 1 ? 2 cos 2x + 2 sin 2x = sin(2x+ 3 ),

20.解:(1) f (x) = 3 cos2x+sin x cos x- ∴ f ( x) 的最小正周期 T ? ? ; (2) 由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,得 k? ?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? 21.解: (1) f ( x) ?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) . 12 12

5? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) , 12 12

2 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,列表: 2 2 4

x
2x ?

0

?
4

? 4

? 8 ? 2

3? 8

?

5? 8 3? 2

7? 8

?
9? 4

2?

84

sin(2 x ? ) 4

?

2 2

1

0

-1

0

2 2

描点得图像(图像略) ;

5? ? 5 , ? ] ;单调减区间: [ , ? ] ; 8 8 8 8 函数的最大值是:1 ;函数的最小值是: ? 1 .
(2)单调增区间: [0,

?

], [

22.解:

(1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2

∴函数 f(x)的最大值为

1? 3 ,最小正周期 ? . 2


(2)f(

C 1 1 3 2C 2C 3 )= ? =- ,∴ sin ,∵C 为锐角, sin ? 4 3 2 2 3 3 2 1 . 3

2C ? ? ? ,∴ C ? , 3 3 2

∴sinA =cosB=

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题三答案
一、选择题 1.C

a ? sin 300 cos6 ? cos300 sin 6 ? sin 240 , b ? sin 260 , c ? sin 250 ,
y? 1 ? tan 2 2 x 2? ? ? cos 4 x, T ? ? 2 1 ? tan 2 x 4 2

2.B

3.B 4.D 5.A

sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 ) ? cos17 cos 43 ? sin17 sin 43 ? cos600

? ? ? 7 sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 2 4 4 25 1 4 (cos ? ? sin ? ) 2 ? ,sin ? cos ? ? ? ,而 sin ? ? 0, cos ? ? 0 9 9
17 3

cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? )2 ? 4sin ? cos ? ? ?

1 17 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? ? (? ) 3 3
6.B

1 3 y ? (sin 2 x) 2 ? cos 2 x ? (sin 2 x) 2 ? sin 2 x ? 1 ? (sin 2 x ? ) 2 ? 2 4 1 3 1 3 ? cos 2 2 x ? ? (1 ? cos 4 x) ? 4 4 8 4

二、填空题 1.

? 6

(3sin A ? 4cos B)2 ? (4sin B ? 3cos A)2 ? 37, 25 ? 24sin( A ? B) ? 37
sin( A ? B) ? 1 1 ? ,sin C ? ,事实上 A 为钝角,? C ? 2 2 6
85

2. 2 ? 3

sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150
y ? sin

2x 2x ? 2x ? 2x ? 2x ? ? cos cos ? sin sin ? cos cos ? sin sin 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2x ? 2? ? cos( ? ), T ? ? 3? ,相邻两对称轴的距离是周期的一半 2 3 6 3 3 1 1 3 f ( x) ? ? cos 2 x ? cos x ? , 当 cos x ? 时, f ( x) max ? 4. 4 2 2 4 ? T ? 2? 2? ? ? , ? ? 3,sin ? ? ?1, 可取? ? ? 5. f ( x) ? 2sin(3 x ? ) A ? 2, ? , T ? 2 2 3 3 ? 2
3.

3? 2

三、解答题 1.解: (1)原式 ? sin 6 cos12 cos 24 cos 48 ?
0 0 0 0

sin 60 cos 60 cos120 cos 240 cos 480 cos 60

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 2 4 ? ? cos 60 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 ?8 ? 16 ? 16 ? 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16
(2)原式 ?

1 ? cos 400 1 ? cos1000 1 ? ? (sin 700 ? sin 300 ) 2 2 2

1 1 1 3 1 3 ? 1 ? (cos1000 ? cos 400 ) ? sin 700 ? ? ? sin 700 sin 300 ? sin 700 ? 2 2 4 4 2 4 ? tan A ? tan B ? 1, 2.证明: A ? B ? ,? tan( A ? B) ? 4 1 ? tan A tan B
得 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B, 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ? (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

2? 4? ? 2? 4? cos ), 而 cos cos cos ? 3.解:原式 ? log 2 (cos cos 9 9 9 9 9 9

?

sin

?
9

cos

?

2? 4? cos 9 9 9 ?1 ? 8 sin 9 cos

即原式 ? log 2

1 ? ?3 8

4.解: f ( x) ? a ? (1) 2k? ?

1 ? cos 2 x 1 2a ? a ? a ? sin 2 x ? b ? sin(2 x ? ) ? ? b 2 2 2 4 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k? ?

3? ? 3? ? ? x ? k? ? , [ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 8 8 8 8

(2) 0 ? x ?

? ?
2 4 ,

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? 1? 2 ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 , f ( x)min ? a ? b ? 3, f ( x)max ? b ? 4, 4 2 4 2

?a ? 2 ? 2 2, b ? 4
86

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题四答案
一、选择题 1.C 解析:∵ sin ?+cos ?= 2 sin(?+ 2.A 解析:∵ a= 2 sin(?+ 而 y=sin x 在[0, 3.A 解析:由
π ? ),又 ?∈(0, ),∴ 值域为(1, 2 ]. 4 2

? ? ? ? ? ? ),b= 2 sin(?+ ),又 <?+ <?+ < . 4 4 4 4 4 2

π ? ? ]上单调递增,∴ sin(?+ )<sin(?+ ).即 a<b. 4 4 2

1 - tan? 1 =1,解得 tan θ=- , 2 2+tan?
2 2

? 1? 1- ?- ? cos ? - sin ? cos 2? cos ? - sin ? 1- tan ? ? 2 ? =3. ∴ = = = = 2 ? 1? cos ? + sin ? 1+ tan ? 1+sin 2? (cos ? + sin ? ) 1+ ?- ? ? 2?

4.D 解析:sin ?=-

3π 24 24 7 ,?∈(π, ),∴ cos ?=- ,可知 tan ?= . 25 25 7 2

2 tan
又 tan ?=

?
2

1- tan 2

?
2



? ? ? ?π π? 4 24 ? .即 12 tan2 +7 tan -12=0.又 ∈ ? , ? ,可解得 tan =- . 2 7 3 2 2 2 ?2 4?

5.C 解析:tan 2?=tan[(?+?)+(?-?)]=

4 tan (?+? )+ tan (?-? ) =- . 7 1- tan (?+? )tan (?-? )

6.C 解析:由 cos Acos B>sin Asin B,得 cos(A+B)>0 ? cos C<0,∴ △ABC 为钝角三角形. 7.C 解析:由 0<?< 得 sin ?=
3 7 ? ? 1 <?<?,知 <?+?< ???且 cos ?=- ,sin(?+?)= , 9 2 2 3 2

4 2 2 2 1 ,cos(?+?)=- .∴ sin ?=sin[(?+?)-?]=sin(?+?)cos ?-cos(?+?)sin ?= . 3 9 3

1 1 8.B 解析:由 cos(?+?)?cos(?-?)= ,得 cos2??cos2 ?-sin2??sin2 ?= , 3 3 1 1 即 cos2 ?(1-sin2 ?)-(1-cos2 ?)sin2 ?= ,∴ cos2 ?-sin2 ?= . 3 3

9.A 解析:由 tan A-

sin ( A-B) 1 1 1 =tan B,得 =tan A-tan B ? = 2 sin A cos A sin 2 A sin 2 A cos A cos B

? cos B=2sin Asin(A-B) ? cos[(A-B)-A]=2sin Asin(A-B) ? cos(A-B)cos A-sin Asin(A-B)=0,即 cos(2A-B)=0.∵ △ABC 是锐角三角形,
∴ -

π ? <2A-B<π,∴ 2A-B= ? sin 2A=cos B,即 sin 2A-cos B=0. 2 2

π? ? ?π ? ?π ? 10.B 解析:由 sin2 ? x- ? =sin2 ? - x ? =cos2 ? + x ? , 4? ? ?4 ? ?4 ? π? π? ? ?π ? ? 得 f(x)=sin2 ? x+ ? -cos2 ? + x ? =-cos ? 2 x+ ? =sin 2x. 4? 2? ? ?4 ? ?

二、填空题
87

11.

1 3 4 1 π? ? π? ? .解析:由?∈ ? 0, ? ,sin ?= 得 cos ?= , 2 cos ? ? ? ? =cos ?-sin ?= . 5 5 5 5 4? ? ? 2?

?1 ? 3 2? cos 10?+ sin 10? ? ?2 ? 2 cos10?+ 3 sin10? ? 12.1.解析:sin50°(1+ 3 tan10°)=sin50°? =sin50°? ? cos10? cos 10?

=sin50°?

2 cos 50? sin 100 ? cos 10? = = =1. cos 10? cos 10 ? cos 10?

13.-

4 1 3 3 4 3 π? ? .解析:cos ? ? ? ? +sin ?= cos ?+ sin ?+sin ?= ( cos ?+ 3 sin ?)= , 5 2 6? 2 2 5 ?
8 7π 7π 7π ? ? .sin ? ? ? +cos ?sin ? =sin ?cos 5 6 6 6 ? ?

所以 cos ?+ 3 sin ?=

=-

1 1 4 3 sin ?- cos ?=- ( 3 sin ?+cos ?)=- . 2 2 5 2

π tan +tan? 1 1 5 1+tan? ?π ? 4 14.- .解析:由 tan ? + ? ? = = = ,解得 tan ?=- , 6 1-tan? 2 3 ?4 ? 1-tan π tan? 4

sin 2?- cos 2 ? 2 sin? cos?-cos 2 ? 1 1 1 5 2 sin?-cos? = = =tan ?- =- - =- . 2 1+ cos 2? 2 cos? 2 cos ? 2 2 6 3

15.

4 sin ? .解析:tan ?= =2,sin ?=2cos ?.又 sin2 ?+cos2 ?=1, cos ? 5 4 4 3π ? ? 2 ,又 cos ? 2? ? ? =sin 2?=2sin ?cos ?=sin ?= . 5 5 2 ? ?

所以 sin2 ?=

16.-

?π ? π 4 2 1 ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?? .解析:∵ sin ? - ? ? =sin ? - ? +? ?? =cos ? + ? ? ,∴ sin ? + ? ? sin ? - ? ? = 4 4 4 9 2 4 6 ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ?π ?4 ? ?

? sin ? + ? ? cos ? + ? ? =

?π ?4

1 1 ? ?π ? 1 ? sin ? + 2? ? = .∴ cos 2?= ,又 ?∈( ,π),∴ 2?∈(π,2π). 6 3 2 ?2 ? 3
2 2 4 2 ,∴ sin 4?=2sin 2?cos 2?=- . 3 9

∵ sin 2?=- 1 -cos2 2? =- 三、解答题

17.解:cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°=cos 43°cos 77°-sin 43°sin 77°=cos(43°+77°)=cos 120°=- 18.①解法 1: 原式=(tan 10°-tan 60°) 解法 2:
sin60? ? cos10? cos 10  ? sin (-50?) cos10? ? sin10? - =? = ? =-2. ? cos10? cos 60? sin 50? sin   50? ? cos10? cos60? ? sin50?

1 . 2

sin10?- 3cos10? ?  ? ? ? sin10? ? cos 10 ? - 3? 原式= ? =? ? ? cos10? 50? ? ? cos10? ? sin   ?

?1 ? 3 2? sin  10?- cos  10? ? ?2 ? 2 cos 10  ? 2 sin (10?-60?) ? = ? = =-2. sin  50? sin   50? sin   50?
88

2 cos (30?-20?) -sin   20? 2 cos 30? cos 20?+2 sin30? sin 20?-sin 20? 2 cos30? cos 20? = = = 3. cos 20? cos   20? cos 20? 7? 3 7? 5? ? 3? ? ?π ? 19.解:∵ <x< ,∴ < +x<2?.又 cos ? + x ? = >0,∴ < +x<2?, 4 2 4 12 6 4 ?4 ? 5

②解:原式=

4 4 ?π ? ?π ? ∴ sin ? + x ? =- ,tan ? + x ? =- . 5 3 ?4 ? ?4 ?

又 sin 2x=-cos ?

?π ? 7 ?π ? ?π ? + 2 x ? =-cos 2 ? + x ? =-2cos2 ? + x ? +1= , 4 4 25 ? ? ? ? ?2 ?

∴ 原式=

sin 2 x cos x+2 sin2 x cos x sin 2 x+2 sin2 x sin 2 x(cos x+sin x) sin 2 x(1+tan x) = = = sin x cos x-sin x cos x-sin x 1-tan x 1- cos x

=sin 2x?tan(

28 ? +x)=- . 4 75

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题五案
1 1 1 1.解析:原式=2sin210°=-2sin30°=-4. 答案:B 3 3 4=- 2 .答案:B

1 3 π π 2.解析:(cosα-sinα)2=1-sin2α=1-4=4.又4<α<2,∴cosα<sinα,cosα-sinα=- 1 1 1 1 1 3.解析:sin15°sin30°sin75°=sin15°cos15°sin30°=2sin30°sin30°=2×2×2=8.答案:C

3 1 4.解析:在△ABC 中,A+B+C=π, 3sinA-cos(B+C)= 3sinA+cosA=2( 2 sinA+2cosA) =2cos(60°-A)=2cos45°= 2.答案:A cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ 6 5.解析:原式= = = . 答案:D cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 π 6.解析:∵sin2A=sin2B,∴A=B 或 A+B=2.答案:D 2 2 3 7.解析:a= 2 sin17°+ 2 cos17°=cos(45°-17°)=cos28°,b=2cos213°-1=cos26°,c= 2 =cos30°, ∵y=cosx 在(0,90°)内是减函数,∴cos26°>cos28°>cos30°,即 b>a>c.答案:A 8.解析:在三角形 ABC 中,∵C>90°,∴A、B 分别都为锐角.则有 tanA>0,tanB>0,tanC<0. tanA+tanB 又∵C=π-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=- <0,易知 1-tanA· tanB>0 即 tanA· tanB<1.答案:B 1-tanA· tanB π? ? π? ? π? ?π ? ? π? ? π? ? π? ? 9.解析:f(x)=sin2 x+4 -sin2 x-4 =cos2 4-x -sin2 x-4 =cos2 x-4 -sin2 x-4 =cos 2x-2 =sin2x.答案:A

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1+cos2x 1 1 2? 2 2 π 2 ? 1 10.解析:y=cos2x+cosxsinx= +2sin2x=2+ 2 ? sin2x+ cos2x?=2+ 2 sin(2x+4).∵x∈R, 2 2 2 ? ? π? π? 1+ 2 1- 2 ? ? ∴当 sin 2x+4 =1 时,y 有最大值 2 ;当 sin 2x+4 =-1 时,y 有最小值 2

?

?

?

?

.∴值域为?

? 1- 2 1+ 2? , 2 ?.答案:C ? 2 ?

24 24 7 11.解析:由 sin(π-θ)=25,得 sinθ=25.∵θ 为第二象限的角,∴cosθ=-25.
89

θ ∴cos2=±

1+cosθ 2 =±

7 1-25 3 = ± 2 5. 答案:C

12 π 5 12.解析:∵0<α+β<π,cos(α+β)=13>0,∴0<α+β<2,sin(α+β)=13 3 π .∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=5>0,∴0<2α+β<2, 4 3 12 4 5 56 sin(2α+β)=5.∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=5×13+5×13=65.答案:A 1+sin2α sin2α+cos2α+2sinαcosα tan2α+1+2tanα ?tanα+1?2 1+tanα 1 13.解析:cos2α+tan2α= cos2α = = = = =2010. cos2α-sin2α 1-tan2α 1-tan2α 1-tanα 答案:2010 1 8 1 1 8 5 5 14.解:∵cos2α=3,∴sin22α=9.∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin22α=1-2×9=9.答案:9 15.解析:∵sin(α+30°)+cos(α+60°)=sinαcos30°+cosαsin30°+cosαcos60°-sinαsin60°=cosα. cosα 1 1 ∴原式=2cosα=2.答案:2 π?? π? π? π? π? π? ?π ? ? ? ? ? ? 16.解析:f(x)=cos 2x-3 +cos 2x+6 =cos 2x-3 +sin 2-?2x+6? =cos 2x-3 -sin 2x-3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

= 2?

π π? π? π? π?? 2 ? ? 2 ? ? ? cos 2x-3 - 2 sin 2x-3 ?= 2cos?2x-3+4?= 2cos?2x-12?, ? ? ? ?? ?2

∴y=f(x)的最大值为 2,最小正周期为 π,故①、②正确. π ? π 13π? ? π 13π? 又当 x∈ 24, 24 时,2x-12∈[0,π],∴y=f(x)在 24, 24 上是减函数,故③正确. ? ? ? ? π? ? π? ? 由④得 y= 2cos2 x-24 = 2cos 2x-12 ,故④正确.答案:①②③④ ? ? ? ? 1 2+3 tanα-tanβ 1 17.解:(1)∵tanα=2,tanβ=-3,∴tan(α-β)= = 2=7. 1+tanαtanβ 1-3 1 2-3 tanα+tanβ π π π 3π 5π (2)∵tan(α+β)= = 2=1,且 0<α<2,2<β<π,∴2<α+β< 2 ,∴α+β= 4 . 1-tanαtanβ 1+3 18.解:由 m,n 共线可得:?cosα-

? ?

2 7 2? ×1-(-1)sinα=0,∴cosα+sinα= 3 .平方得:2sinαcosα=-9. ? 3?

7 16 ? π ? ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+9= 9 ,∵α∈ -2,0 ,∴sinα<0,cosα>0,

?

?

4 ∴sinα-cosα<0,∴sinα-cosα=-3. 2π π π 1 3 9 ?π? ? 1? ? 3? 19.解:(1)f 3 =2cos 3 +sin23-4cos3=2× -2 +? ?2-4×2=-1+4-2=-4. ? ? ? ? ?2? 2? 7 ? (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3 cosx-3 2-3,∵x∈R,cosx∈[-1,1],

?

?

2 7 ∴当 cosx=-1 时,f(x)有最大值 6;当 cosx=3时,f(x)有最小值-3. 20.解:(1)解法 1:b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).
90

∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即 0≤|b+c|≤2,当 cosβ=-1 时,|b+c|=2,∴向量 b+c 的长度的最大值为 2. 解法 2:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.当 cosβ=-1 时,有 b+c=(-2,0),即|b+c|=2. ∴向量 b+c 的长度的最大值为 2. (2)解法 1:由已知可得 b+c=(cosβ-1,sinβ),a· (b+c)=cosα(cosβ-1)+sinαsinβ=cos(α-β)-cosα. π π π π ?π ? ∵a⊥(b+c),∴a· (b+c)=0,即 cos(α-β)=cosα.当 α=4时,得 cos 4-β =cos4,∴β-4=2kπ±4(k∈Z),

?

?

π ∴β=2kπ+2或 β=2kπ(k∈Z),于是 cosβ=0 或 cosβ=1. π 2? ? 2 解法 2:若 α=4,则 a=? , ?,又由 b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得 2 2 ? ? a· (b+c)=? 2 2 2 2? ? 2 (cosβ-1,sinβ)= 2 cosβ+ 2 sinβ- 2 .∵a⊥(b+c),∴a· (b+c)=0,∴cosβ+sinβ=1. , 2 ?· ?2 ?

又 cos2β+sin2β=1,解得 cosβ=0 或 cosβ=1.经检验知,cosβ=0 或 cosβ=1 即为所求. π ? π π? ?π 3π? ? π? 21.解:(1)解法 1:∵x∈ 2, 4 ,∴x-4∈ 4,2 ,于是 sin x-4 = ? ? ? ? ? ?

? π? 7 2 1-cos2 x-4 = 10 . ? ?

2 2 4 ?? π? π? ? π? π ? π? π 7 2 2 sinx=sin x-4 +4 =sin x-4 cos4+cos x-4 sin4= 10 × 2 + 10 × 2 =5. ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 2 1 解法 2:由题设得 2 cosx+ 2 sinx= 10 ,即 cosx+sinx=5.又 sin2x+cos2x=1,从而 25sin2x-5sinx-12=0, 4 3 4 ?π 3π? 解得:sinx=5或 sinx=-5,因为 x∈ 2, 4 ,所以 sinx=5.

?

?

?π 3π? (2)∵x∈ 2, 4 ,故 cosx=- 1-sin2x=- ? ? ? ?

3 24 ?4? 1- 5 2=-5.,sin2x=2sinxcosx=-25. ? ?

π? 24+7 3 7 π π ? cos2x=2cos2x-1=-25.∴sin 2x+3 =sin2xcos3+cos2xsin3=- 50 . π? ? 22.解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin 2ωx+4 +2.

?

?

2π 2π 3 依题意得 T=2ω= 3 ,∴ω=2. 5π? π 5π π ? ? π? π? ? (2)依题意得 g(x)= 2sin 3?x-2?+4 +2= 2sin 3x- 4 +2 由 2kπ-2≤3x- 4 ≤2kπ+2(k∈Z), ? ? ? ? π 2 7π? 2 π 2 7π ?2 解得3kπ+4≤x≤3kπ+12(k∈Z).故 g(x)的单调增区间为 3kπ+4,3kπ+12 (k∈Z). ? ?

91



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