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广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之数列专题四


1、(2007 深圳二模)设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 256,前 n 项和为 S n ,且 S n , S n?2 , S n?1 成等差数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的公比 q ; (Ⅱ)用 ? n 表示 ?an ? 的前 n 项之积,即 ? n ? a1 ? a2 ? ?? an , 试比较 ? 7 、 ? 8 、 ? 9 的大小.

Ks5u

2.已知 f ( x) ? ? 4 ?

1 1 ,点 Pn (an , ? ) 在曲线 y ? f ( x) 上 n ? N * , 且a1 ? 1, an ? 0. 2 an?1 x
2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
* (Ⅱ)设数列 {an 2 ? n?12 } 的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的 n ? N ,使得 S n ? t ? t ? a

1 恒成 2

立,求最小正整数 t 的值.

3、 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 且 Sn ? f (an ) , (n ? N ? ) .

1 2 1 3 x ? x? , 对于正数数列 ?an ? , 其前 n 项和为 Sn , 4 2 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2) 是否存在等比数列 ?bn ? , 使得 a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ? 2n?1 (2n ?1) ? 2 对一切正整数 n 都成立?若存在,请求出数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

1.解: (Ⅰ)解法一:? S n?1 ? S n ? an?1 , S n?2 ? S n ? an?1 ? an?2 ,

由已知 2S n?2 ? S n ? S n?1 , 得: 2(S n ? an?1 ? an?2 ) ? S n ? (S n ? an?1 ) ,

…………………………4 分

1 1 ? a n ? 2 ? ? a n ?1 , ??an ? 的公比 q ? ? . 2 2 (Ⅰ)解法二:由已知 2S n?2 ? S n ? S n?1 ,

…………………………8 分 ……………………2 分

当 q ? 1 时, S n?2 ? (n ? 2)a1 , S n?1 ? (n ? 1)a1 , S n ? na1 ,

则 2(n ? 2)a1 ? (n ? 1)a1 ? na1 , ? a1 ? 0 与 ?an ? 为等比数列矛盾; ………4 分 当 q ? 1 时,则 2 ?

a1 (1 ? q n? 2 ) a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n?1 ) , ? ? 1? q 1? q 1? q
1 ………8 分 2

化简得: 2q n?2 ? q n ? q n?1 ,? q n ? 0 ,? 2q 2 ? 1 ? q ,? q ? ? (Ⅱ)? a1 ? 2 , q ? ?
8

1 ,则有: 2 a2 ? ?27 , a3 ? 26 , a4 ? ?25 , a5 ? 24 , a6 ? ?23 , a7 ? 22 , a8 ? ?2, a9 ? 1, ?
………………………11 分 ………………………13 分 ………………………14 分

??7 ? 0 ?8 ? ?9 ? 0 ??7 ? ?8 ? ?9
2、解: (1)由题意得: ?

1 a n ?1

? f (a n ) ? ? 4 ?

1 an
2

且a n ? 0 所以

1 a n ?1

? 4?

1 an
2

解得

t?

3 2

∴t 的最小正整数为 2

………14 分

3、解: (1)由 f ( x) ?

1 2 1 3 x ? x ? , Sn ? f (an ) , (n ? N ? ) 4 2 4 1 2 1 3 得 S n ? an ? a n ? ① ………2 分 (n ? N ? ) 4 2 4

1 2 1 3 an ?1 ? an ?1 ? , ② 4 2 4 1 2 1 1 2 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? an ) ? an ?1 ? an , 即 4 2 2 1 2 1 2 (an ?1 ? an ) ? (an ?1 ? an ) ? 0 , 即 4 2 Sn ?1 ?


………4 分

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0

∵ an > 0 ,∴ an?1 ? an ? 2 ,即数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,……7 分 由①得, S1 ? a1 ?

1 2 1 3 a1 ? a1 ? ,解得 a1 ? 3 , 4 2 4
………9 分

因此 ,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)假设存在等比数列 ?bn ? ,使得对一切正整数 n 都有

a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? 2n?1 (2n ?1) ? 2

③ ④

当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a2b2 ? ?? an?1bn?1 ? 2n (2n ? 3) ? 2 ③-④,得 , anbn ? 2n ( 2 ? 1) n

由 an ? 2n ? 1得, bn ? 2n 又 a1b1 ? 6 ? 21 (2 ?1 ? 1) 满足条件,

………………13 分

n 因此,存在等比数列 2 ,使得 a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ? 2n?1 (2n ?1) ? 2

? ?

对一切正整数 n 都成立. Ks5u

……………14 分



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