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山东省淄博市桓台第二中学2014-2015学年高一上学期第一次检测数学


山东省淄博市桓台第二中学 2014-2015 学年高一上学期 第一次检测数学
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1. 若直角坐标平面内不同的两点 P, Q 满足条件: ① P, Q 都在函数 y ? f ? x ? 的图像上; ② P, Q 关于原点对称,则称点对 ? P, Q? 是函数 y ? f ? x ? 的一对“友好点对”(注:点对 ? P, Q? 与 .若函数,则此函数的“友好点对”有( ?Q, P? 看作同一对“友好点对”) A. 0
x

)对.

B. 1
?x

C. 2

D. 3

2 .若函数 f ? x ? ? ka ? a

? a ? 0 且 a ? 1? 在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数,则
)

g ? x? ? loga ? x? k? 的图象是(

3.函数 f ? x ? ? 4x ? mx ? 5 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数,则 f ?1? 的取值范围是(
2

)

A. f ?1? ? 25 C. f ?1? ? 25
x 4.函数 f ( x) ? 3 ?

B. f ?1? ? 25 D. f ?1? ? 25

1 x ? 2 的零点所在的一个区间是( 2
B.(-1,0)
x

) D.(1,2) )

A.(-2,-1)

C.(0,1)

5.已知集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | 2 ? 1} ,则 M A. ? C. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} D. {x | 0 ? x ? 1}
2

N =(

6 .设函数 f ( x) ? x ? 23x ? 60, g ( x) ? f ( x)? | f ( x) | ,则 g (1) ? g (2)? ( A.0 ) B.38

? g (20)?

C.56

D.112
第 1 页 共 6 页

7.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 4} , N ? {1, 2,3, 4,5} ,则 M A. {1, 2,3, 4} 8. B. {2,3} 已 C. {1, 2,3} 知 D. {2,3, 6}

N =(







f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013

, 且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内, 则b ? a F ( x) ? f ( x? 3)? g ( x? 4) 的最小值为( A、11 ) B、10

C、9

D、8

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.已知函数 f ( x) ? ?
x

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0,

则 f ( ) ? f ( ?2) ? ______.

1 4

10.若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在 ? ?2,1? 上的最大值为 4 ,最小值为 m ,则 m 的值是 _. 11.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 1 .若 f ? a ? ? 3 ,则实
x

数 a 的值为 12. 若 f ( x) ?

.

x ? a ?1 在区间 (?2, ??) 上是增函数, 则实数 a 的取值范围是____________. x?2
.

1, x ? N 13.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?2)) ? ? ?0, x ? ?Z N

14 .若函数 y ? lo ga x(a ? 0, a ? 1) 的图象过点( 2 ,- 1 ) ,且函数 y ? f (x) 的图像与函数
y ? lo ga x(a ? 0, a ? 1) 的图像关于直线

y ? x 对称,则 f (x) =



三.解答题 15(14 分) .数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值
2

域为集合 B. (1)求集合 A,B; (2)若集合 A,B 满足 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围.
a (a ? ?2), g ( x) ? e x ? x ,其中 e 为自然对数的底 x

16(21 分) . 已知函数 f ( x) ? 1nx ? x ? 数,且当 x>0 时 f ( x) ? 3 恒成立.

第 2 页 共 6 页

(Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求实数 a 的所有可能取值的集合; (Ⅲ)求证: f ( x) ? g ( x) ? 4 . 17(15 分) .函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ln x (1) a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值.

第 3 页 共 6 页

高一数学测试答案

15. (Ⅰ) {x | x ? ?1, 或x ? 3} , ? y | ?a ? y ? 4 ? a? (Ⅱ) (??, ?3] 见解析. 【解析】

(5, ??) (Ⅲ)详

试题分析: (Ⅰ)确定定义域,求 g ?( x ) ,由 g ?( x) ? 0 求得增区间,由 g ?( x) ? 0 求得减区 间; (Ⅱ)利用在区间 D 上, a ? f ( x) 恒成立,则 a ? f ( x) min 求解; (Ⅲ)利用构造法,构 造新函数求解. 试题解析:(Ⅰ) g ?( x) ? e ? 1 , g ?( x) ? 0 ? x ? 0 , g ?( x) ? 0 ? x ? 0 ,
x

? g ( x) 的减区间是 (??, 0) ,增区间是 (0, ??) .
(Ⅱ) f ( x) ? ln x ? x ?

a a …3 恒成立,即 ? ln x ? x ? 3 , x x

x ? 0 ,? a ? x ln x ? x 2 ? 3x 恒成立.
设 h( x) ? x ln x ? x ? 3x,( x ? 0) , h?( x) ? ln x ? 2 x ? 2 ,
2

由于 h?( x ) 在 (0, ??) 上是增函数,且 h?(1) ? 0 ,

? x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0, h( x) 是减函数, x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0, h( x) 是增函数,

? h( x)min ? h(1) ? ?2 ,从而若 a ? x ln x ? x 2 ? 3x 恒成立,必有 a ? ?2 .


a …?2 ,? a 的取值集合为 ??2? .
x

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, g ( x) …g (0) ? 1 ,即 e ? x …1 ,当且仅当 x ? 0 时等号成立,
第 4 页 共 6 页

?x ? 0 时,有 e x ? x ? 1 .
? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? e x ?
设 F ( x) ? ln x ? x ? 1 ? 则 F ?( x) ?

2 2 ? ln x ? x ? 1 ? , x x

2 ( x ? 0) , x

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ?1? 2 ? ? , x x x2 x2

当 x ? (0,1) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是增函数,

? F ( x) …F (1) ? 4 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 4 成立.
考点:导数法判断函数的单调性,恒成立,构造法. 17. (1) f ( x) 的减区间为 (0, ) ,增区间为 ( , ??) .
2 (2) a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值为 f (a) ? 2a ? a ln a .

1 2

1 2

【解析】

? 试题分析: (1)首先确定函数的定义域,求导数,然后利用 f ( x) ? 0 ,可得减区间;利用 f ?( x) ? 0 ,可得增区间.(2)求函数最值的常用方法是,求导数,求驻点,计算驻点函数
值、区间端点函数值,比较大小,得出最值.
2 试题解析: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x 的定义域为 (0, ??)

1 1 1 ? (2 x 2 ? x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1) x x x 1 1 因为 x ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,则 0 ? x ? ; f ?( x) ? 0 ,则 x ? 2 2 1 1 故 f ( x) 的减区间为 (0, ) ,增区间为 ( , ??) 2 2 f ?( x) ? 2 x ? 1 ?
2 (2) a ? 1 时, f ( x) ? x ? ax ? a ln x 的定义域为 (0, ??)

a 1 ? (2 x 2 ? ax ? a ) x x g ( x) 2 设 g ( x) ? 2 x ? ax ? a ,则 f ?( x) ? x f ?( x) ? 2 x ? a ?

a ? 1 ,其根判别式 ? ? a 2 ? 8a ? 0 ,
设方程 g ( x) ? 0 的两个不等实根 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,

第 5 页 共 6 页

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