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2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高一上学期期末数学模拟试题(解析版)


2015-2016 学年贵州省黔东南州凯里一中高一(上)期末数学 模拟试卷(4)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项,请将正确答案填在答题卷指定位置 上,错选、多选或不选均不得分) 1.若 a 是函数 f(x)= x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( )

A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定 【考点】函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用函数零点的定义分别判断做出函数 的图象,利用图象判断 f(x0)

的符合. 【解答】解:由 f(x)= 系中分别作出两个函数的图象, 因为 a 是函数 f(x)= x 的零点,所以当 0<x<a 时, x=0 得 ,分别设 ,在同一坐标

,所以此时 f(x)= 故选 B.

x<0.

【点评】本题主要考查函数与方程的关系以及函数零点的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

2.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的 ,则经过( 剩余下的物质是原来的 A.5 B.4 C.3 【考点】数列的应用. 【专题】应用题. . D.2

)年,

【分析】根据每经过一年,剩余的物质为原来的 ,分别写出一年后,二年后,三年后,剩留物质 的量,即可得出答案. 【解答】解:经过一年,剩留物质为原来的 , 经过二年,剩留物质为原来的 经过三年,剩留物质为原来的 则经过 3 年,剩余下的物质是原来的 , = . ,

故选 C. 【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识,考查数学建 模能力,属于基础题. 3.下列 4 个函数中: ①y=2008x﹣1; ② ③ ④ ; . ;

其中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ) A.① B.②③ C.①③ D.①④ 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可. 【解答】解:①f(﹣x)=﹣2008x﹣1≠f(x) ,且 f(﹣x)≠﹣f(x) ,∴①为非奇非偶函数. ②由 =log 得﹣2009<x<2009,定义域关于原点对称,且 f(﹣x) =log =﹣f(x) ,∴②为奇函数.

③函数的定义域为{x|x≠﹣1},定义域关于原点不对称,∴③为非奇非偶函数. ④f(x)=x( )=x? ,函数的定义域为{x|x≠0},定义域关于原点对称,

∵f(﹣x)=﹣x?

=

=x?

=f(x) ,∴④为偶函数.

故既不是奇函数,又不是偶函数的是①③, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键,要注意要先 判断函数的定义域是否关于原点对称.
n

4.如图的曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象.已知 n 分别取±2, c3、c4 相应的 n 依次为( )

四个值,与曲线 c1、c2、

A. D.

B.

C.

【考点】幂函数图象及其与指数的关系. 【专题】数形结合. 【分析】由题中条件:“n 取±2,± 四个值”,依据幂函数 y=x 的性质,在第一象限内的图象特征可 得. n 【解答】解:根据幂函数 y=x 的性质,在第一象限内的图象, 当 n>0 时,n 越大,递增速度越快, 故曲线 c1 的 n=2,曲线 c2 的 n= , 当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 c3 的 n= 曲线 c4 的﹣2, 故依次填 2, ,﹣ ,﹣2. 故选 A. 【点评】幂函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图 象语言,熟记幂函数的图象、性质,把握幂函数的关键点(1,1)和利用直线 y=x 来刻画其它幂函 数在第一象限的凸向. 5.三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 之间的大小关系是( A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
2 0.3 n





【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】计算题. 2 0.3 x x 【分析】将 a=0.3 ,c=2 分别抽象为指数函数 y=0.3 ,y=2 之间所对应的函数值,利用它们的图象 和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论. 【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 【点评】本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质. 6.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令题中选项分别为 F(x) ,然后根据奇偶函数的定义即可得到答案. 【解答】解:A 中令 F(x)=f(x)f(﹣x) ,则 F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) , 即函数 F(x)=f(x)f(﹣x)为偶函数, B 中 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,因 f(x)为任意函数,故此时 F(x) 与 F(﹣x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(﹣x)|的奇偶性不确定, C 中令 F(x)=f(x)﹣f(﹣x) ,令 F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x)=﹣F(x) ,即函数 F(x)=f(x) ﹣f(﹣x)为奇函数, D 中 F(x)=f(x)+f(﹣x) ,F(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=F(x) ,即函数 F(x)=f(x)+f(﹣x) 为偶函数, 故选 D. 【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算. 7.设集合 M={x|﹣1≤x<2},N={x|x﹣k≤0},若 M∩N≠?,则 k 的取值范围是( ) A. (﹣∞,2] B.[﹣1,+∞) C. (﹣1,+∞) D.[﹣1,2] 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】求出集合 N 的解集,然后根据集合 M 和 N 的交集不为空即两个集合有公共元素,得到 k 的取值范围. 【解答】解:集合 N 的解集为 x≤k,因为 M∩N≠?,得到 k≥﹣1, 所以 k 的取值范围是[﹣1,+∞) 故选 B 【点评】本题属于以不等式的解集为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型.
2

8. 函数 f (x) 与

的图象关于直线 y=x 对称, 则f (4﹣x ) 的单调递增区间是 (



A.[0,2) B. (﹣2,0] C.[0,+∞) D. (﹣∞,0] 【考点】反函数. 【专题】分类讨论;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先根据对称性确定 f(x)的解析式,再运用复合函数单调性的判断规确定函数的单调增区 间.

【解答】解:因为函数 f(x)与 所以,f(x)就是 g(x)的反函数, 即 f(x)=g (x)=
2
﹣1

的图象关于直线 y=x 对称,

(x>0) ,

因此,函数 y=f(4﹣x )= 该函数的定义域为(﹣2,2) ,



①当 x∈(0,2)时,真数 4﹣x 单调递减,所以函数 y=

2

单调递增,

②当 x∈(﹣2,0)时,真数 4﹣x 单调递增,所以函数 y=

2

单调递减,

故答案为:A. 【点评】本题主要考查了反函数图象间的对称关系和复合函数单调性和单调区间的判断,涉及对数 函数的图象和性质,属于中档题. 9.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( A.e =1 与 ln1=0 B.
0





C.log39=2 与

=3

D.log77=1 与 7 =7

1

【考点】指数式与对数式的互化. 【专题】计算题. 【分析】 e =1?ln1=0;
0 0

?

; log39=2?3 =9,

2

=3?

; log77=1?7 =7.

1

【解答】解:e =1?ln1=0,故 A 正确; ? ,故 B 正确;

log39=2?3 =9,
1

2

=3?

,故 C 不正确;

log77=1?7 =7,故 D 正确. 故选 C. 【点评】本题考查指数式和对数式的互化,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 10.定义集合 A、B 的一种运算:AB={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={1,2},则 AB 中的所有元素之和为( ) A.21 B.18 C.14 D.9

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】计算题. 【分析】根据新定义 AB={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},把集合 A 与集合 B 中的元素分别代入再求和 即可求出答案. 【解答】解:∵AB={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},A={1,2,3},B={1,2}, ∴AB={2,3,4,5}, ∴AB 中的所有元素之和为:2+3+4+5=14, 故选 C. 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断,属于基础题,关键是根据新定义求解. 11.函数 f(x) ,g(x)的图象分别如右图 1、2 所示.函数 h(x)=f(x)+g(x) .则以下有关函 数 h(x)的性质中,错误的是( )

A.函数在 x=0 处没有意义 B.函数在定义域内单调递增 C.函数 h(x)是奇函数 D.函数没有最大值也没有最小值 【考点】函数的图象. 【专题】证明题. 【分析】由已知中函数 f(x) ,g(x)的图象,可得函数 f(x)为反比例函数,函数 g(x)为正比 例函数,进而根据正比例函数和反比例函数的图象和性质,我们可以判断出函数 h(x)=f(x)+g (x)的性质,比照题目中的四个答案,即可得到结论. 【解答】解:由已知中函数 f(x)在 x=0 时没有意义,故函数 h(x)在 x=0 处没有意义,故 A 正确; 又由 f(x)为奇函数,函数(x)也为奇函数,故函数 h(x)是奇函数,故 C 正确; 由于函数 f(x) ,g(x)均即无最大值,也无最小值,故函数没有最大值也没有最小值,故 D 正确; 故选 B 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象和性质是 解答本题的关键. 12.指数函数 y=a ,当 x>1(或 x<﹣1)时,恒有 y>2,则 a 的取值范围是( A. ( ,1)∪(1,2) B. (0, )∪(1,2)
x



C. (1,2) D. (0, )∪(2,+∞)

【考点】函数的值域. 【专题】分类讨论;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据条件,可讨论 a,用上指数函数的单调性:a>1 时,便有 a >a,或 a <a ,从而可 以得到 a>2,同样的方法,当 0<a<1 时,再求出一个 a 的范围,最后对求得的 a 的范围求并集便 可得出 a 的取值范围. 【解答】解:∵x>1 或 x<﹣1 时,恒有 y>2;
x x
﹣1

∴①当 a>1 时,a >a 或 a <a ,则 a>2; ②当 0<a<1 时,a <a 或 a >a ,则 a >2,0<a< ; ∴a 的取值范围为 .
x x
﹣1 ﹣1

x

x

﹣1

故选 D. 【点评】考查指数函数的单调性,以及单调性的定义,要理解题意. 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13.已知函数 ,则 f(2+log23)的值为 .

【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】因为所给函数为分段函数,要求函数值,只要判断 2+log23 在哪个范围即可,代入解析式 后,用指对数的运算律进行化简. 【解答】解:∵2+log23∈(3,4) , ∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23)= 故答案为 【点评】本题考查了分段函数求函数值,做题时要看清题意,避免代入错误. 14.一元二次方程 x +(2a﹣1)x+a﹣2=0 的一根比 1 大,另一根比﹣1 小,则实数 a 的取值范围是 0<a< .
2

=

= × =

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用方程对应的二次函数零点的分布,推出关系式,求出 a 的范围即可. 2 【解答】解:依题意可得设函数 f(x)=x +(2a﹣1)x+a﹣2, 2 因为一元二次方程 x +(2a﹣1)x+a﹣2=0 的一根比 1 大,另一根比﹣1 小, 所以 ,

所以 0<a< , 故答案为:0<a< . 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实根分布问题,解题的关键是熟练一元二次方程与二次函 数的互化,属于基础题.

15.若函数 f(x)既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f(x)=

【考点】幂函数的性质;函数的表示方法. 【专题】计算题. 【分析】根据幂函数和反比例函数的定义确定出函数的解析式,从而问题解决. 【解答】解:∵函数 f(x)既是幂函数 ∴y=x , 又是反比例函数 ∴ ,
α

∴k=1, 故答案为: .

【点评】本题主要考查了幂函数的性质、函数的表示方法等,属于基础题. 16.2007 年 10 月 27 日全国人大通过了关于修改个所得税的决定,工薪所得减去费用标准从 800 元 提高到 1600 元,也就是说原来月收入超过 800 元部分就要纳税,2008 年 1 月 1 日开始超过 1600 元 才纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,如表: 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 5 不超过 500 元 2 10 500~2000 元 3 15 2000~5000 元 某人 2007 年 6 月交纳个人所得税 123 元,则按照新税法只要交 43 元. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】法一、由题意求出按原税缴纳个人所得税 123 元的收入,然后计算按新税法所交的税款得 答案; 法二、由题意建立按原税缴纳个人所得税的数学模型,算出个人收入,再按新税法计算所交的税款 得答案. 【解答】解:法一、按原税法计算时,∵500×5%=25<123, ∴所以收入大于 500+800=1300(元) ; 又(2000﹣500)×=150>123, ∴所以收入小于 1500+800+500=2800(元) ; 该人的税费:123=25+98,980×10%=98,其收入为:800+500+980=2280. 在新的税收标准下,分解其收入为 2280=1600+680=1600+500+180, 该人所交税费为 500×5%+180×10%=25+18=43 元. 故答案为:43. 法二、由 f(x)表示此人收入 x 元时交纳的个人所得税,

则 f(x)=



某人 2005 年 3 月交纳个人所得税 123 元,则 25+(x﹣1300)?10%=123,解得 x=2280. 按新税法此人要交纳个人所得税 500×5%+(2280﹣1600﹣500)×10%=43 元. 故答案为:43.

【点评】本题考查函数模型的选择及应用,由表格正确得出此人所交的个人所得税的算法是解题的 关键,是中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 70 分). 17.已知 M={1,2,a ﹣3a﹣1 },N={﹣1,a,3},M∩N={3},求实数 a 的值. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】由 M 与 N 的交集中的元素为 3,根据交集的定义列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得 到 a 的值. 【解答】解:∵M∩N={3}, ∴3∈M, 2 2 ∴a ﹣3a﹣1=3,即 a ﹣3a﹣4=0, 解得 a=﹣1 或 4, 但当 a=﹣1 与集合中元素的互异性矛盾; 当 a=4 时,M={1,2,3},N={﹣1,3,4},符合题意, ∴a=4. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

18.设定义域为 R 的函数 (1)在平面直角坐标系内作出该函数的图象;



(2)试找出一组 b 和 c 的值,使得关于 x 的方程 f (x)+b?f(x)+c=0 有 7 个不同的实根.请说明 你的理由.

2

【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 【专题】综合题;数形结合. 【分析】 (1)根据分段函数图象分段画的原则,结合绝对值函数的性质及二次函数的性质,我们易 画出函数的图象; 2 (2)本题是一个开放题,没有固定的答案,使得关于 x 的方程 f (x)+b?f(x)+c=0 有 7 个不同的 实根,则 f(x)=1 有 3 个解,f(x)=a∈(0,1)有四个解,只要列出 b 和 c 的值,能够满足条件 即可.

【解答】解: (1)如下图所示:

(2)
2

满足条件,理由如下:

设 f(x)=t,t +bt+c=0, 由图象可得以上有关于 t 的方程必须有一解为 1, 另一解在区间(0,1)中, 2 才会使得关于 x 的方程 f (x)+b?f(x)+c=0 有 7 个解. 其中,f(x)=1 有 3 个解, f(x)=a∈(0,1)有四个解. 所以可令 即可得方程 , .

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断及函数的图象,其中根据绝对值函数的性 质及二次函数的性质,画出函数的图象并结合函数图象即可得到答案. 19.设关于 x 的函数 f(x)=4 ﹣2 ﹣b(b∈R) , (1)若函数有零点,求实数 b 的取值范围; (2)当函数有零点时,讨论零点的个数,并求出函数的零点. 【考点】根的存在性及根的个数判断;复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. x x+1 x x+1 x 2 【分析】 (1)原函数零点即方程)=4 ﹣2 ﹣b=0 的根.化简可得 b=4 ﹣2 =(2 ﹣1) ﹣1≥﹣1, 由此可得 b 的范围. (2)分①当 b=﹣1 时,②当 0>b>﹣1 时,③当 b≥0 时,④当 b<﹣1 时四种情况,分别由条 x 件求得 2 的值,求得 x 的值,从而得出结论. x x+1 【解答】解: (1)原函数零点即方程)=4 ﹣2 ﹣b=0 的根. x x+1 2x x x 2 化简方程为 b=4 ﹣2 =2 ﹣2?2 =(2 ﹣1) ﹣1≥﹣1, 故当 b 的范围为[﹣1,+∞)时函数存在零点. x (2)①当 b=﹣1 时,2 =1,∴方程有唯一解 x=0. x 2 x x ②当 0>b>﹣1 时,∵(2 ﹣1) =1+b>0,可得 2 =1+ ,或 2 =1﹣ , 解得 x=
x 2 x x+1

,或 x=
x

,故此时方程有 2 个解.…(9 分) ,或 2 =1﹣
x

③当 b≥0 时,∵(2 ﹣1) =1+b>1,可得 2 =1+ 解得 x= ,故此时方程有唯一解.

(舍去) ,

④当 b<﹣1 时,∵(2 ﹣1) =1+b<0,2 无解,原方程无解. 综上可得,1)当﹣1<b<0 时原方程有两解:x= 2)当 b≥0 时,方程有唯一解 x= ,或 x= ,当 b=﹣1 时,原方程有唯一解 x=0; ;

x

2

x

3)当 b<﹣1 时,原方程无解. 【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了等价转化和数形结合的数学思想,属 于中档题. 20.已知函数 f(x)=x +ax+b,且对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x)成立. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)利用单调性的定义证明函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)由 f(1+x)=f(1﹣x)可得函数关于 x=1 对称,然后求实数 a 的值; (Ⅱ)利用单调性的定义进行证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)方法 1: 由 f (1+x)=f (1﹣x)得, 2 2 (1+x) +a(1+x)+b=(1﹣x) +a(1﹣x)+b, 整理得: (a+2)x=0, 由于对任意的 x 都成立,∴a=﹣2. 方法 2: 由 f (1+x)=f (1﹣x)得,函数关于 x=1 对称, 则对称轴为 ,解得 a=﹣2.
2 2

(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知 f ( x )=x ﹣2x+b, 下面证明函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. 设 x1>x2≥1, 则 f(x1)﹣f(x2)=( =( )﹣( )

)﹣2(x1﹣x2)=(x1﹣x2) (x1+x2﹣2)

∵x1>x2≥1,则 x1﹣x2>0,且 x1+x2﹣2>2﹣2=0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , 故函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,以及利用定义法证明和判断函数的单调性,考查学 生的推理判断能力. 21.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满 一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的范围[188,388] (388,588] (588,888] (888,1188] … … 28 58 88 128 获得奖券的金额(元)

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的商品,则消 费金额为 320 元,然后还能获得对应的奖券金额为 28 元.于是,该顾客获得的优惠额为: 400×0.2+28=108 元.设购买商品得到的优惠率= .试问:

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2)当商品的标价为[100,600]元时,试写出顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的函数关系式; (3)当顾客购买标价不超过 600 元的商品时,该顾客是否可以得到超过 35%的优惠率?若可以,请 举一例;若不可以,试说明你的理由. 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;应用题;综合题;分类讨论. 【分析】本题考查的是分段函数的应用问题.在解答时: (1)直接根据购买商品得到的优惠率= ,即可获得问题的解答;

(2)由于标价在[100,600](元)内的商品,由题意,当消费金额为 188 元时,其标价为 235 元; 当消费金额为 388 元时,其标价为 485 元;当消费金额为 588 元时,其标价为 735 元,从而求出顾 客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的函数关系式; (3)根据(2) ,分段求出顾客得到的优惠率,与 35%比较,即可得到结果. 【解答】解: (1)由题意,标价为 1000 元的商品消费金额为 1000×0.8=800 元, 故优惠额为 1000×0.2+88=288 元,则优惠率为 .

(2)由题意,当消费金额为 188 元时,其标价为 235 元; 当消费金额为 388 元时,其标价为 485 元; 当消费金额为 588 元时,其标价为 735 元. 由此可得,当商品的标价为[100,600]元时,顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的函数关系式为

(3)当 x∈(0,235)时,优惠率即为 20%; 当 x∈[235,485]时,优惠率为: 此时的最大优惠率为 当 x∈(485,600]时,优惠率为: 此时的优惠率 ; , ; ,

综上,当顾客购买不超过 600 元商品时,可得到的优惠率不会超过 35%. 【点评】本题考查的是分段函数的应用问题.在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特 点,同时分类讨论的思想在问题解答过程中也得到了淋漓尽致的体现.属中档题.

22.设函数 f(x)的定义域是 R,对于任意实数 m,n,恒有 f(m+n)=f(m)?f(n) ,且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性; (3)设集合 A={(x,y)|f(x )?f(y )>f(1)},B={(x,y)|f(ax﹣y+2)=1,a∈R},若 A∩B=?, 求 a 的取值范围. 【考点】函数单调性的判断与证明;集合关系中的参数取值问题;函数的值. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)利用赋值法证明 f(0)=1,因为 f(m+n)=f(m)f(n) ,且当 x>0 时,0<f(x)< 1,利用赋值法,只需令 m=x<0,n=﹣x>0,即可证明当 x<0 时,有 f(x)>1. (2)利用函数单调性的定义判断,只需设 R 上 x1,x2,且 x1<x2,再作差比较 f(x2)与 f(x1)的 大小即可. (3)先判断集合 A,B 分别表示什么集合,两个集合都是点集,A 表示圆心在(0,0) ,半径是 1 的圆的内部,B 表示直线 ax﹣y+2=0,因为 A∩B=?,所以直线与圆内部没有交点,直线与圆相离或 相切,再据此求出参数的范围. 【解答】解: (1)证明:∵f(m+n)=f(m)f(n) ,令 m=1,n=0,则 f(1)=f(1)f(0) , 且由 x>0 时,0<f(x)<1,∴f(1)>0∴f(0)=1; 设 m=x<0,n=﹣x>0,∴f(0)=f(x)f(﹣x) ,∴f(x)= ∵﹣x>0,∴0<f(﹣x)<1,∴ 即当 x<0 时,有 f(x)>1. (2)设 x1<x2,则 x2﹣x1>0,∴0<f(x2﹣x1)<1, ∴f(x2)﹣f(x1)=f[(x2﹣x1)+x1]﹣f(x1) =f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x1)=f(x1)[f(x2﹣x1)﹣1]<0, 2 当 m=n 时,f(2n)=f(n)f(n)=f(n) ≥0, 所以当 x∈R,f(x)≥0,所以 f(x1)≥0, 所以 f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2>f(x1) , ∴f(x)在 R 上单调递减. 2 2 (3)∵f(x )f(y )>f(1) , 2 2 2 2 ∴f(x +y )>f(1) ,由 f(x)单调性知 x +y <1, 又 f(ax﹣y+2)=1=f(0) , ∴ax﹣y+2=0, 又 A∩B=?,∴
2 2 2

>1.



∴a +1≤4,从而 . 【点评】本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值,以及抽象函数单调性的证明,利用集合关系 判断直线与圆的位置关系.



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