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浅谈数学复习与做题之间的关系


浅谈数学复习与做题之间的关系 【摘要】本文通过《数学分析》级数敛散性判定教学事例,一题多解,激发学 生的思维空间扩大﹑发展。 【关键词】解题依据;深入剖析;用心思考;分析;归纳;总结 如何把学习过程与知识技能的掌握统一起来,是每个教师应做的事情。知识 的掌握应由被动接受到主动探究。建构自己的知识结构。本节课是《数学分析》 (下册)复习级数收敛判定方法的一个片断案例。通过一题多解激发学生思维, 使学生的思维空间扩大、发展。 1.教学过程 1.1 提出问题 “准确理解基本概念、深入掌握基本理论”是学好数学的基础。 在充分复习的基础上,再适当精心做题。所谓适当,就是数量上要适当,我 不赞成盲目地、大量地做题,每种类型做一两个就可以了,“与其伤其十指,不 如断其一指。”我觉得在做数学题时,也应“与其泛泛做十道题,不如深入解剖一 两道题,争取彻底掌握这一类型的题。” 怎样才能彻底掌握?怎样才是精心做题?我提倡在做题时要“多分析、多思 考、多归纳、多总结。”每当做完一题不要以为大功告成,可以就此搁笔了,因 为“会做”并不等于“掌握”,要分析题有哪几个知识点,考哪个概念或定理。分析 当初解题过程中每一个主要步骤的依据是什么,分析本题的难点在哪儿。特别要 分析当初不会做时, 主要原因是什么。是某个定理的条件与结论没有挂上钩?还 是这两个概念实际上是等价的, 你还没掌握?抑或是某种技巧没能熟练掌握?通 过思考本题的求解过程, 你对原先掌握的概念又有什么新的体会?思考若本题的 条件作了某些变动又会得到什么样的结果。 归纳与本题同类型的题其一般解题过 程、解题技巧或解题方法,总结求解这类题型的一般规律是什么,总结通过本题 的解题过程你又可获得什么新的信息等等。 1.2 举例说明 为使同学们有感性认识,现具体举例说明: 问题 1 判断级数是否收敛 学生 1 设级数的前 n 项部分和为 Sn,则 Sn=++…=1-+-+…+-=1- ∴Sn=1=S 由定义知级数收敛 很多同学做到这里就此搁笔。但是我们可以进一步做如下分析、思考、归纳 与总结。 1.2.1 本题的知识点有三个: (1)级数收敛的定义:若级数的 n 项部分和 Sn 有极限,则级数收敛。 (2)求数列 的前 n 项的和 Sn,这是本题材求解过程的一个技巧点。 (3)求极限 Sn。 1.2.2 我们可进一步思考:这道题求 Sn 为何用拆项相消法求和,因为它即不 是等差数列也不是等比数例。 1.2.3 再进一步思考:因为 ɑn=的分母两数相差 1。 ∴ɑn=通过推理演算: =(-),…,=(-) 这样就可简化计算 Sn 1.3 进一步思考:改变本题的条件又如何解呢? 问题 2 判断级数是否收敛? 求和的方法与问题 1 是一致的,在学生解题过程中,教师巡视,了解有部分 学生认为第 2 题与问题 1 一样,在消项后只剩下首末两项,结果出现如下错误。 学生 2 Sn ++…+ =(1-+-+…+-) =(1-) ∴Sn=级数收敛 教师:好!同学们通过拆项相消法求数列前 n 项的和 Sn。容易出现这样的 错误,就这个问题,大家能找到问题的解决方法吗? 学生 3 在拆项过程中,开始和末尾可以多拆几项,同时应发现,开始剩几个 “正项”,最后相应就剩几个“负项”。 如问题 2 中 Sn=(-+-+-+-+…+-+-) =(1+-Sn= 教师: 好! 看来大家都能用定义判断级数收敛, 但是否注意到, 用定义去求, 要先求级数的前 n 项部分和是比较麻烦的。现在请大家回忆一下,结合自己掌握 的,列出判断级数收敛的方法。 同学

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