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福建省宁德市2013届高三5月质量检查数学理试题(word版)


2013 年宁德市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试 , 卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 ,…, x n 的标准差
s ?
?

锥体体积公式
? 2

1 n

? 2

?

[ ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ]

V ?

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ? R ,V ?
2

4 3

?R

3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题
目要求的. 1.若
2?i i

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

, ? a ? b i ( a , b ? R , i 为虚数单位) a ? b ? 则( B. 1 C.-1 D.-3



A. 3

2.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体,则该几何体的侧视图是(



A.

B.

C.

D. 2000 运动、 样本容 喜欢运

3.某社区以“周末你最喜爱的一个活动”为题,对该社区 个居民进行随机抽样调查(每位被调查居民必须而且只能从 上网、看书、聚会、其它等五项中选择一个项目) 。若抽取的 量为 50,相应的条形统计图如图所示,据此可估计该社区最 动的居民人数为( A.80 B.160 ) C.200 D.320 )

4. 阅读右图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出的结果是 ( A.127


B.64

C.63

D. 31
1第

5. “非零向量 a , b 共线”是“非零向量 a , b 满足 | a ? b | ? | a | ? | b | ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? ?

? ?

?

?

?

?



6.某公司有 10 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,项目 乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润.按要求每个项目的投资不能低于 2 万元,且对项目甲的投资不小于 对项目乙投资的 A.5.6 万元 7.已知函数 A.
f (x)

2 3

,则该公司规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( B.5.2 万元 的图象如右图所示,则 B. f ( x ) ?
e
x



C.4.4 万元
f (x)

D.2.6 万元 )

的解析式可以是(

f (x) ?

ln | x | x

x

C. f ( x ) ?

1 x
2

?1

D. f ( x ) ? x ?

1 x

8 . 右 图 是 函 数 y ? s in ( ? x ? ? ), ( ? ? 0 , 0 ? ? ?
[?

?
2

) 在区间

?
6

,

5? 6

] 上的图象,将该图象向右平移 m(m>0)个单位后,

所得图象

关于直线 x ? A.
?
12

?
4

对称,则 m 的最小值为( B.
?
6

) C.
?
4

9.已知 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 是双曲线
x a
2 2

C :

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 的左、右焦点。若 P

为双曲线

右支上一点,满足 P F1 ? P F 2 ? 4 a c , ? F1 P F 2 ?

???? ???? ?

?
3

,则该双曲线的离心率是(
2 ? 2 2



A. 2 2 ? 1

B.2

C.

D.

2 ?1

10.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对 ? ( x , y ) ? M , k ? ( 0 ,1), 均有 ( k x , k y ) ? M ”.给出下列集合:①
{( x, y) | x
2

? y } ,② { ( x , y ) | 2 x ? y
2 3 2

2

? 1} ,③ { ( x , y ) | x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0} ,④
2 2

{ ( x , y ) | x ? y ? x y ? 0} ,其中具有性质 P 的点集的个数是(
3



A.1

B.2

C. 3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置.
页 2第

11.已知 x,y 的取值如下表: X y 2 2.7 3 4.3 5 6.1 6 6.9
^

从散点分析,y 与 x 具有线性关系,且回归方程为 y ? 1 .0 2 x ? a ,则 a= 12.在二项式(x+
1 x



)6 的展开式中, 常数项是



13.若抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到坐标原点 O 的距离为 2 3 ,则点 P 到该抛物线焦点的距离为
x 14.已知 f ( x ) ? 4 ? 1 , g ( x ) ? 4 ?x

2



.若偶函数 h ( x ) 满足 h ( x ) ? m f ( x ) ? n g ( x ) (其中 m,n 为常数) ,且最小值

为 1,则 m ? n ?



15.m 个人排成一行,自 1 起至 m 依次报数,凡报奇数者出队;留下的再从 1 起报数,报奇数者又出队, 这样反复下去,最后留下一个人.若最后留下的这个人第一次报数号码为 64,则 m 的最大值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? b x ? c 有两个零点为 0 和-2.
2

.

(Ⅰ)求曲线 f ( x ) 与 x 轴所围成的图形的面积;
1 a n a n ?1

* (Ⅱ)数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n , S n ) , ( n ? N ) 在抛物线 y ? f ( x ) 上,记 b n ?

,求数

列 { b n } 的前 n 项和 T n . 17.(本小题满分 13 分) 某品牌电视专卖店,在“五一”期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视,即可通过电脑产生一 组 3 个数的随机数组,根据下表兑奖. 奖次 随机数组的特征 奖金(单位:元) 一等奖 3个1或3个0 5m 二等奖 只有 2 个 1 或 2 个 0 2m 三等奖 只有 1 个 1 或 1 个 0 m

商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,产生 20 组随机数组,每组 3 个数,试 验结果如下所示: 235,145,124,754,353,296,065,379,118,247, C520,356,218,954,245,368,035,111,357,265. (Ⅰ)在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有一组获奖的概率;
页 3第

(Ⅱ)根据上述模拟试验的结果,奖频率视为概率: (i)若活动期间某单位购买 4 台电视,求恰好有两台获奖的概率; (ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元,求 m 的最大 18.(本小题满分 13 分) 如图所示多面体 ABCDD
AA 1 // DD
1

D1

值。

A 1 中,底面 A B C D 为正方形,

1

, 2 A B ? D D 1 ? 4 ,E 且 AA 1 ? 底面 A B C D .
A1

(Ⅰ)求证: AA 1 // 平面 D C D 1 ; (Ⅱ)当 A A 1 的长为多少时,锐二面角 B ? A1 D 1 ? A 的大小恰
45 ?
?

D

C



A

B

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过 点 M ( 0 , ? 1) , 四 个 顶 点 所 围 成 的 图 形 面 积 为 2

2 .直线

l : y ? k x? t与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ? A M B ? 9 0 .

?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断直线 l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;不是,请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 如图,曲线 ? : x ? y ? 1( x ? 0 , y ? 0 ) 与 x 轴交于点 A,点 P、Q 为曲线 ? 上的两点.点 P 在 x 轴上
2 2

的射影为 P ? , P P ? 交 O Q 于点 D,设
? A O P ? ? , ? A O Q ? ? (? ? ? ) .

(Ⅰ) P ( , 若
2

1

3 2

), Q (

2 2

,

2 2

) , cs 求 o(

? ?) ? 的值;

(Ⅱ)求证: s in ? ? s in ? ? ? ? ? ? ta n ? ? ta n ? ; (Ⅲ)若 ? ? 2 ? ,记△ O P D 的面积 s ? f ( ? ) ,试判断 最大值?若存在,求出 O P ? 的长,不存在,说明理由 21.本题设有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多 、 、 做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所 选题号填入括号中.
页 4第

S 是否存在

(1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换
2 2 曲线 C 1 : x ? y ? 1 在矩阵 M ? ?

?a ?0

2 0? x 2 ? y ?1. ( a ? 0 , b ? 0 ) 的变换作用下得到曲线 C 2 : ? 4 b?

(Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值及对应的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? 2 t, ? x ? ? 2 (t 已知在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 1 的参数方程为 ? 2 ? y ? ?4 ? t ? 2 ?

为参数) .在极坐标系(与直角坐

标 取 相 同的 长 度单 位 ,且 以 原 点 O 为 极 点, x 轴 的 非 负 半 轴为 极 轴 ) 中 ,曲 线 C 2 的 方 程为
? sin
2

? ? 4 cos ? .

(Ⅰ)求曲线 C 2 直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 1 、 C 2 交于 A、B 两点,定点 P ( 0 , ? 4 ) ,求 | P A | ? | P B | 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知实数 t 满足 | 2 t ? 4 | ? t ? 2 . (Ⅰ)求 t 的取值范围; (Ⅱ)求函数 g ( t ) ? t ?
4 t
2

的最小值.



5第



6第



7第



8第



9第



10 第



11 第



12 第



13 第


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