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高一数学幂函数49


高一数学幂函数 49 第二十八时 幂函数(2) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解幂函数的概念,能画出一些简单幂函数图象并了解它们的 图形特征; 2.掌握判断某些简单函数奇偶性的方法; 3.培养学生判断推理的能力,加强数形结合思想,化归转化能力 的培养. 自学评价 1.幂函数的性质: (1)都过点 ; (2)任何幂函数都不过 第四 象限; (3)当 时,幂函数的图象过 原点 . 2.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 平行于 轴的直线的右侧,按幂指数由小到大的关 系幂函数的图象从 下 到 上 分布; (2)幂指数的分母为偶数时,图象只在 第一 象限; 幂指数的分子为偶数时, 图象在第一、 第二象限关于 轴 对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限关于 原点 对称. 【精典范例】 例 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) (2) (3) (4) () 分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式. 【解】 (1)定义域 R,值域 R,奇函数,在 R 上单调递增. (2)定义域 ,值域 ,偶函数,在 上单调递增,在 上单调递减. (3)定义域 ,值域 ,偶函数,非奇非偶函数,在 上单调递增. (4)定义域 ,值域 ,奇函数,在 上单调递减,在 上单调递减. ()定义域 ,值域 ,非奇非偶函数,在 上单调递减. 点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化,是研究幂函数性质的基 础. 例 2:将下列各组数用小于号从小到大排列: (1) (2) (3) 分析: (1)底数相异,指数相同的数比较大小,可以转化为比较同 一幂函数的不同函数值的大小问题,根据函数的单调性,只要比较自 变量的大小就可以了. (2)观察发现,这三个数指数可以统一,底数可以化为正数,故 可利用幂函数的单调性比较大小. 【解】 (1) (2) (3) 点评: 比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为 同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数 的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找 一个恰当的数作为桥梁比较大小. 例 3:已知 的图象如图所示:则 , , , 的大小关系是: 分析:对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀记忆: 正抛物负双曲,大竖直小横铺.即 【解】有幂函数的性质,当自变量 时,幂指数大的函数值比较大, 故有 点评: 幂函数 在第一象限内的图象均过点 ,在区间 上, 值越小, 图象越靠近 轴. 追踪训练一 1 图中曲线是幂函数 在第一相限的图象,已知 取 , 四个值,则 相应与曲线 、 、 、 的 值依次为( B ) , , , , , , , , , , , , 2 给出下列四个函数: ; ; ; , 其中定义域和值域相同的是 (2) (3) (写出所有满足条的函数的序号) 3 比较下列几组数大小 (1) , , ; (2) , , . 解: (1)∵幂函数 在 上单调递增,且 , ∴ ; (2) , , , ∵幂函数 在 上单调递减,且 , , ∴即 . 【选修延伸】 一、幂函数性质的运用 例 4: 已知 ,求 的取值范围. 分析:数形给合思想的运用.由于不等式的左右两边的幂指数都 是 ,因此可借助于幂函数 的图象性质求解. 【解】因为 在 和 上为减函数, 时, ; 时, .原不等式可以 化为 (1) (2) (3) (1)无解; (2) , (3) 所以所求 的取值范围为 {} 点评:利用函数图象特征了解函数的性


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