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数学必修2第二章知识点小结及典型习题


第二章

点线面位置关系总复习

1、 (1)平面含义:平面是无限延展的,没有大小,厚薄之分。另外,注意平面的表示方法。 (2)点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ?? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ?? 直线与平面的关系: 直线 l 在平面α 内, 记作 l ? α ; 直线 l 不在平面α 内, 记作 l ? α 。 2、四个公理与等角定理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A A∈L B∈L ? L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内.(只要找到直线的两点在平面内,则直线在平面内) (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α· C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 的三个推论: :经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 (1) (2) :经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3) :经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 说明:两个不重合的平面只要有公共点,那么它们必定交于一条过该公共点的直线, 且线唯一。 β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据,是证明三线共点、三点共线的依据。 即:①判定两个平面相交的方法。 P α ②说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 · L ③可以判断点在直线(交线)上,即证若干个点共线的重要依据。 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b ? a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (表明空间中平行于一条已知直线的所有直线 都互相平行) (5)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3、 (1)证明共面问题: 方法 1 是先证明由某些元素确定一个平面,在证明其余元素也在这个平面内。 方法 2 是先证明分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合。 (2)证明三点共线问题的方法:先确定其中两点在某两个平面的交线上,再证明第三点 是这两个平面的公共点,则第三个点在必然在这两个平面的交线上。 (3)证明三线共点问题的方法:先证明其中两条直线交于一点,再证明第三条直线也经 过这个点。 4、异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线。 (既不平行也不相交的两条直线) ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l;点 A 在直线 l 外,记作 A ?l;

③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’ ∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就 说这两条异面直线互相垂直。 (两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形) 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 (3)求异面直线所成角步骤: (一作、二证、三计算) 第一步作角:先固定其中一条直线,在这条直线取一点,过这个点作另一条直线的平行 先;或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为 所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。 (思路是把两条异面直线所成的角转化为两 条相交直线所成的角) 5、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系有且只有三种: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 (2)直线与平面的位置关系有且只有三种: ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ③直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示 三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α =A a∥α 注意直线与平面的位置关系其他分类: (1)按直线与平面的公共点数分类: (自己补充) (2)按直线是否与平面平行分类: (3)按直线是否在平面内分类: (3)平面与平面之间的位置关系有且只有两种: (按有无公共点分类) ①两个平面平行——没有公共点;α ∥β 。 ②两个平面相交——有一条公共直线;α ∩β =b。 6、空间中的平行问题 (1)线线平行的判定方法: ①线线平行的定义:两条直线共面,但是无公共点 ②公理 4:平行于同一条直线的两条 直线互相平行 a / /? a ?? ③线面平行的性质定理:a ? ? ④线面垂直的性质定理: ? ? a / /b

? ?? ?b
5 ○面面平行的性质定理: ? ? ? ? a
? ?? ?b ? / /?

a / /b

b ??

? a / /b

(2)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 证明线面平行,只要在平面内找一条直线 b 与直线 a 平行即可。一般情况下,我们会用 到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 线面平行 ? 线线平行 性质定理的作用:利用该定理可解决直线间的平行问题

线面平行的判定方法: ①线面平行的定义:直线与平面无公共点 ③面面平行的性质:

? / /? a??

? a / /?

a ?? ②判定定理: b ? ? a / /b

?

a / /?

(3)平面与平面平行的判定及其性质 面面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平 面平行 (线面平行 ? 面面平行) , 两个平面平行的性质定理与结论: ①如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) ②如果两个平面平行, 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) 面面平行的判定方法:

a / /?

b / /?
①面面平行的定义: 两个平面无公共点。 ②判定定理:a ? ?

? ? / /?

b ??

③线面垂直的性质定理:

a ?? a??

a ?b ? P

? ? / /?

④公理四的推广:

a / /?

? / /?

? ? / /?

7、空间中的垂直问题 线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角, 就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直, 就说这条直线和这个平面垂 直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (1)线线垂直的判定方法: ①线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角。 (共面垂直、异面垂直) ②线面垂直的性质: a ? ? , b ? ? ? a ? b ②线面垂直的性质: a ? ? ,b // ? ? a ? b (2)线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。 判定线面垂直,只要在平面内找到 两条相交直线 与已知直线垂直即可(注意:两条直线必 须相交) 经常用到的知识点有: ①等腰三角形三线合一(中线,角平分线,高) ,如果取等腰三角形底边的中点,连接顶点 与中点的线既是中线也是高,所以,这条线垂直于底边; ②正方形的对角线是互相垂直的; ③三角形勾股逆定理 a ? b ? c ,可以推出 a 边与 b 边垂
2 2 2

直; ④如果是要证异面垂直的两条直线, 一般采用线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的 平面,从而得到两条异面直线垂直; 5 ○采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

线面垂直的判定方法:
a?b a?c ②线面垂直的判定定理: b ? c ? A b ?? c ??

①线面垂直的定义

? a ??

③平行线垂直平面的传递性推论:

a ?? a / /b

? b ??

④面面平行的性质结论: ? // ? , a ? ? ? a ? ?

? ?? 5 ○面面垂直的性质定理: ? ? ? ? l a ??

?a??

a?l (3)面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。 面面垂直的判定方法 ①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角

②面面垂直的判定定理:

a ?? a??

?? ? ?

③面面平行的性质结论: ? // ? , ? ? ? ? ? ? ? 8、空间角问题 空间角的计算步骤:一作,二证,三计算 (1)直线与直线所成的角 A ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 B ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条 O 直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, b? ,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角 ? 叫做两条异面直线 所成的角, ? 的范围为(0°,90°]。 注意: (1)异面直线所成的角θ :0°<θ ≤90°(锐角或者直角) (2)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)角 AOB 的度数并不等于直线 AO 与直线 BO 所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。②平面的垂线与平面 ? 所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射 影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,取值范围为 (0°,90°) 。 由①②③直线与平面所成的角 ? 的范围为[0°,90°]。 (? ? 0? 时,b∥?或b ? ?) 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。关键的步骤 是“作角” (斜线和射影所成的角)

求线面角的方法(求一条直线与平面所成的角,就是要找这条直线在平面 ? 上的射影,射 影与它的直线所成的角即为线面角,即作垂线,找射影) ①定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) ②方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得三 角形其中一角就是该线与平面的夹角。 ③在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:1、斜线上一点到面的垂线;2、过斜线上的一 点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射 .. ... 线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平 面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④二面角:二面角的平面角θ ,0°≤θ ≤180° 求二面角的方法 ①定义法: 在棱上选择一个特殊点, 过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平 面角 ②垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交 线所成的角为二面角的平面角 ③垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂 直可找到二面角的平面角或其补角。

9、 “转化思想” ,要熟练他们之间的转换 线线垂直 线面垂直

面面垂直

线线平行 线面平行 面面平行 证明空间线面平行或垂直需要注意三点 (1)由已知想性质,由求证想判定。 (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)使用定理时要明确已知条件是否满足定理条件,再由定理得出相应结论。 10、巩固专项练习 1.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA?底面 ABC,AB?BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC 于 D,交 SC 于 E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E- BD-C 的度数。

2、在棱长都为 1 的正三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角是________.

3、在正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中, ① BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是___________; ② BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是___________; ③ CC1 与平面 BC1 D 所成的角的大小是___________; ④ BC1 与平面 A1 BCD1 所成的角的大小是___________; 5 ○ BD1 与平面 BC1 D 所成的角的大小是___________。 4、 已知空间内一点 O 出发的三条射线 OA、 OB、 两两夹角为 60°, OC 试求 OA 与平面 BOC 所成的角的大小.

5、 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点, SA ? SB ? SC , 且 SG 为 ?SAB 上的高, D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点, 试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系,并给予证明

6、 已知正方体

ABCD ? A1 B1C1D1,求证

平面B1 AD1 / / 平面BC1D

7、已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。

8、 已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面, 为垂足, 为圆 O 的直径, 是圆周上异于 A、 A AB C B 的一点。求证:平面 PAC?平面 PBC。

9.若 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ

)

10、设 P 是△ABC 所在平面外一点,P 到△ABC 各顶点的距离相等,而且 P 到△ABC 各边 的距离也相等,那么△ABC( A.是非等腰的直角三角形 C.是等边三角形 ) B.是等腰直角三角形 D.不是 A、B、C 所述的三角形

11、 把等腰直角△ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B—AD—C, BD 与平面 ABC 所成 则 角的正切值为 ( ) ) A. 2 B. 2 2 C.1 D. 3 3

12、如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中 点,PM 垂直于△ACB 所在平面,那么( A、PA=PB>PC B、PA=PB<PC ) D、PA≠PB≠PC

C、PA=PB=PC

13、 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2, 高为 2, 是边 BC 的中点, E 动点 P 在表面上运动, 并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为 .

14、α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:① m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: .

15、如图(1),等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60° ,E 是 BC 的中点,如 图(2),将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连接 BC,BD,F 是 CD 的 中点,P 是棱 BC 的中点.

(1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由.

16、 如图,已知PA ? 矩形ABCD所在平面。M , N 分别是AB, PC的中点。
()求证:MN ? 面PAD 1 (2)求证:MN ? CD (3)若?PDA ? 45O , 求证:MN ? 面PCD

17、如图所示,已知△BCD 中,∠BCD=90° ,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° , AE AF E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD (1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

18、 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=2BC, Q 分别为线段 AB、 的中点, P、 CD EP⊥平面 ABCD. (1)求证:DP⊥平面 EPC; (2)问在 EP 上是否存在点 F 使平面 AFD⊥平面 BFC?若存在,求出 的值.

FP AP

参考答案
1、解:

在 RtΔSAC 中,SA=1,SC=2,∴∠ECA=30?, 在 RtΔDEC 中,∠DEC=90?, ∴∠EDC=60? ∴ 所求的二面角为 60?。 5、分析 1:如图,观察图形,即可判定 SG // 平面 DEF ,要证明结论成立,只需证明 SG 与 平面 DEF 内的一条直线平行.观察图形可以看出:连结 CG 与 DE 相交于 H ,连结 FH ,

FH 就是适合题意的直线.怎样证明 SG// FH ?只需证明 H 是 CG 的中点.
证法 1:连结 CG 交 DE 于点 H , ∵ DE 是 ?ABC 的中位线,∴ DE // AB . 在 ?ACG 中, D 是 AC 的中点,且 DH // AG , ∴ H 为 CG 的中点.∵ FH 是 ?SCG 的中位线,∴ FH // SG . 又 SG ? 平面 DEF , FH ? 平面 DEF ,∴ SG // 平面 DEF . 分析 2: 要证明 SG // 平面 DEF , 只需证明平面 SAB // 平面 DEF , 要证明平面 DEF // 平 面 SAB ,只需证明 SA// DF , SB// EF 而 SA// DF , SB// EF 可由题设直接推出. 证法 2:∵ EF 为 ?SBC 的中位线,∴ EF // SB . ∵ EF ? 平面 SAB , SB ? 平面 SAB ,∴ EF // 平面 SAB . 同理: DF // 平面 SAB , EF ? DF ? F , ∴平面 SAB // 平面 DEF ,又∵ SG ? 平面 SAB ,∴ SG // 平面 DEF .

6、证明:∵ ABCD - A1 B1C1 D1 为正方体

∴ D1 A // C1 B ,

又 C1B ? 平面 C1 BD ,故 D1 A // 平面 C1 BD . 同理 D1 B1 // 平面 C1 BD . 又 D1 A ? D1B1 ? D1 ,∴ 平面 AB1 D1 // 平面 C1 BD . 7、 证明:

8、证明:
AB是圆O的直径
? ? ? BC ? AC ?

C是圆周上异于A、B的一点 PA ? 平面ABC ? ? ? BC ? PA BC ? 平面ABC ? AC ? 平面PAC,PA ? 平面PAC

AC ? PA ? A

? ? ? BC ? 平面PAC ? ? BC ? 平面PBC ? ? ?

? ? ? 平面PAC ? 平面PBC。 ?

9、 C

10、C 11、 B

12、C

13、解析:如图,取 CD 的中点 F、SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG,EF 交 AC 于点 H, 易知 AC⊥EF,又 GH∥SO,

∴GH⊥平面 ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面 EFG, 故点 P 的轨迹是△EFG, 其周长为 2+ 6. 答案: 2+ 6 14、①③④?②;②③④?①


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