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2015高三数学周练九


亭湖高级中学 2015 届高三数学

周练九

命题:樊荣 审核:周荣艳 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上.
x 1.已知集合 A ? ?0, 1, 2? , B ? y | y ? 2 , x ? A ,则 A

?

?

B?

▲ .

2.已知命题 p : ?x ? R, cos x ? 1 ,则命题 p 的否定 ? p 是 ▲ .

3.已知向量 a, b 方向相反,且 | a |? 1, | b |? 2 ,则 a ? b ?

▲ .

4.“ log3 a ? log3 b ”是“ ( ) ? ( ) 的
a b

1 2

1 2

▲ 条件. (选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也

不必要”中的一种) 5.数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ,若 a1 ? 1 ,则 a 4 ?





6.设等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 S m?1 ? ?1, S m ? 0, S m?1 ? 2 ,则 m ?





x 7.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 数 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? e ( e 为自然对数的底数),则 f ? ln6 ? 的值为





2 2 8.已知全集 U ? R 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2x ? 8 ? 0 , C ? x x ? 4ax ? 3a ? 0
2 2

?

?

?

?

?

?,

若 CU ( A ? B) ? C ,则实数 a 的取值范围是





9 .已知方程 x ? 2 m x ? 2n ? 1 ? 0 (其中 m ? 0, n ? 0 )有两个相等的实根,则
2

1 1 ? 的最小值为 m n





10.各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ?

1 a ? a ? ... ? am ? 8m (m ? 2, m ? N? ) ,若从中抽掉一项后, 8 1 2
▲_ 项. .

余下的 m-1 项之积为 (4 2)m?1 ,则被抽掉的是第 11.若函数 f ( x) ?

1 4 1 x ? ax3 ? x 2 ? b(a, b ? R)仅在 x ? 0 处有极值,则 a 的取值范围是 ▲ 4 2

12.在矩形ABCD 中,AB ?1,BC ? 3 ,点Q在BC边上,且BQ= 的最大值为 ▲ .
1

3 ,点P在矩形内(含边界) ,则 AP AQ 3

13.设 u (n) 表示正整数 n 的个位数,例如 u(23) ? 3 , an ? u (n 2 ) ? u (n) ,则数列 ?an ?的前 2012 项和等 于 ▲ .

14.与函数f (x)有关的奇偶性,有下列三个命题: ①若f (x)为奇函数,则f (0) ??0; ②若f (x)的定义域内含有非负实数,则 f ? x ? 必为偶函数; ③若f x)有意义,则f (x)必能写成一个奇函数与一个偶函数之和. 其中,真命题为 (写出你认为正确的所有命题的代号)

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15.已知: OA ? (1,sin x ? 1), OB ? (sin x ? sin x cos x,sin x), f ( x) ? OA ? OB ( x ?R) . 求: (1)函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (2)函数 f ( x) 的单调增区间.

16.已知集合 A ? ? x |

? ?

4 ? ? 1? , B ? ?x | ? x ? m ? 4?? x ? m ?1? ? 0? . x +1 ?

(1)若 m ? 2 ,求集合 A B ; (2)若 A B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

2

17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 A、B、C,且 cos 2C ? 1 ? (I)求

8b 2 . a2

1 1 的值; ? tan A tan C

(II)若 tan B ?

8 ,求 tan A 及 tan C 的值. 15

18. 某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机,具体原理是在足浴盆的中心右侧离中心 x 厘米 (0 ? x ? 20) 处安装了臭氧发生孔,产生臭氧对双脚起保健作用 .根据检测发现 ,该臭氧发生孔工作时泡脚的舒适度 受到干扰,通过研究发现臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与 x 的平方成反比,比例系数为 4;对右脚 的干扰度与 400 ? x 成反比,比例系数为 k ;且当 x ? 10 2 时,对左脚和右脚的干扰度之和为 0.065.
2

(1)请将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和 y 表示为 x 的函数; (2)判断是否存在 x ,使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小?并说明理由.

3

19.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? a13 ? 34 , S5 ? 25 .数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足

Tn ? 1 ? bn .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)写出一个正整数 m ,使得

1 是数列 {bn } 的某一项; am ? 9

(3)设数列 {cn } 的通项公式为 cn ?

an ,问:是否存在正整数 t 和 k ,使得 c1 , c2 , ck 成等差数列? an ? t

若存在,请求出所有符合条件的有序整数对 (t , k ) ;若不存在,请说明理由.

2 20.已知函数 f ( x) ? 2ax ln x ? bx3 (a, b ? R) ,若曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 3 y ? 2 ? 0 . 3
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

2 1 e ?1 , ?? 上的零点个数,并 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? k ( k 为常数) ,判断函数 g ( x) 在区间 ? ? 3 2
说明理由; (3)对于(2)中的 g ( x) ,若存在 x1 , x2 ? [e?1 , e] ,使 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m ≤ ?

?

e2 ? 5 成立,求实数 m 的最小值. 2

4

亭湖高级中学 2015 届高三数学
1. {1,2} 8. ( ?2,? ) 2. ?x ? R, cos x ? 1 3. ? 2 4.充分不必要 5. 8 12. 2

周练九答案
6.3 13.? 2?? 14. ②③ 7. ln 6 ?

1 6

4 3

9. 3 ? 2 2

10. 13

11. [ ?

2 2 , ] 3 3

15.解: (1) f ( x) ? OA? OB ? sin x ? sin x cos x ? sin 2 x ? sin x …………2 分

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

…………6 分

? x ? k? ?

3? 1? 2 (k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 , 8 2
…………8 分

最小正周期为 ? . (2)当 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,k ? Z ,

…………12 分

3? , k ? Z 时函数为增函数, 8 8 ? 3? ? 原函数的单调增区间是 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ). 8 8 ? x ? k? ? 4 ? 1 得 ?1 ? x ? 3 x ?1

?

…………14 分

16.解: (1)由

即 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 m ? 2 时,由 ? x ? 6?? x ?1? ? 0 得 x ? 6 或 x ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 A

B ? ?x | x ? 3或x ? 6?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

(2)由 ? x ? m ? 4?? x ? m ? 1? ? 0 得 x ? m ? 4 或 x ? m ? 1 即 B ? x | x ? m ? 4或x ? m ?1 因为 A

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

? 3? m?4 B ? ? ,所以 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?1 ? m ? 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分
2

即 ?1 ? m ? 0 .

17.解:(I)∵ cos2C ? 1 ? 8b ,∴ sin 2 C ? 4b .……………………………………………2 分 2 a2 a ∵ C 为三角形内角,∴ sin C ? 0, ∴ sin C ? 2b . a ∵ a ? b ,∴ b ? sin B . ∴ 2sin B ? sin A sin C ……………………………4 分 sin A sin B a sin A ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C .
5

2

∴ 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C . ∵ sin A sin C ? 0 , ∴ 1 ? 1 ? 1 . … … … … … … … … … … … … … … 7 分 tan A tan C 2 2 tan C 1 1 1 (II)∵ ………………………9 分 ? ? ,∴ tan A ? tan A tan C 2 tan C ? 2 ∵ A? B ?C ?? , ∴ tan B ? ? tan( A ? C) ? ? tan A ? tan C ?

1 ? tan A tan C 2 8 tan C ∴ 整理得 TAN2C-8TANC+16=0 ? 15 2tan 2 C ? tan C ? 2
解得,TANC=4,TANA=4. 18.解: (1)由题可知 y ?

tan 2 C . 2tan 2 C ? tan C ? 2
………12 分

………………………………14 分

4 k ? (0 ? x ? 20) , 2 x 400 ? x 2

……………2 分

当 x ? 10 2 时, y ? 0.065 ,此时 k ? 9 ,

?y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) . 2 x 400 ? x 2 4 9 , (2)解法 1: y ? 2 ? x 400 ? x 2

……………6 分

8 ?18x 18x 4 ? 8(400 ? x 2 )2 . y ?? 3 ? ? x (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2
'

……………8 分

令 y ? 0得18x ? 8(400 ? x ) ,? x2 ? 160, x ? 4 10 .
' 4 2 2

……………10 分 ……………12 分 ……………14 分

当 0 ? x ? 4 10, y' ? 0 ;当 4 10 ? x ? 20 时, y ? 0 ,
'

? y在 0, 4 10 上是减函数,在 4 10, 20 是增函数,

?

?

?

?

? x ? 4 10 时 y 有最小值,故存在 x ? 4 10 ,
使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小. 解法 2: ……………16 分

y?

4 9 1 ? 4 9 ? ? ? 2? 2 2 400 ? x x 400 ? x 400 ? x 2
1 4(400 ? x 2 ) 9 x2 [4 ? 9 ? ? ] 400 x2 400 ? x 2

? 2 2 ? [(400 ? x ) ? x ] ……………10 分 ?

?

?

1 1 4(400 ? x 2 ) 9 x 2 [13 ? 2 ]? . 2 2 16 400 x 400 ? x

……………14 分

4(400 ? x 2 ) 9 x2 ? 当且仅当 ,即 x ? 4 10 时取 " ? " , x2 400 ? x 2

6

? x ? 4 10 时 y 有最小值,故存在 x ? 4 10 ,
使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小. .……………16 分

19.解: (1)设 {an } 首项为 a1 ,公差为 d ,由已知有 ?

?2a1 ? 16d ? 34, ……2 分 ?5a1 ? 10d ? 25,

* 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ( n ? N ). .……4 分

(2)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 1 ? b1 ,所以 b1 ?

1 . 2

.……5 分

由 Tn ? 1 ? bn ,得 Tn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减,得 bn?1 ? bn ? bn?1 ,故 bn ?1 ?
n

1 bn , 2

所以, {bn } 是首项为

1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? . ………7 分 2 2 ?2?

1 1 1 , ? ? a m ? 9 2m ? 8 2(m ? 4)
要使

1 n 是 {bn } 中的项,只要 m ? 4 ? 2 即可,可取 m ? 4 . ………9 分 am ? 9

n * (只要写出一个 m 的值就给分,写出 m ? 2 ? 4 , n ? N , n ? 3 也给分)

(3)由(1)知, c n ?

2n ? 1 , 2n ? 1 ? t
…………12 分 …………14 分

要使 c1 , c2 , ck 成等差数列,必须 2c2 ? c1 ? ck , 即

6 1 2k ? 1 4 ? ? ,化简得 k ? 3 ? . 3 ? t 1 ? t 2k ? 1 ? t t ?1

因为 k 与 t 都是正整数,所以 t 只能取 2 , 3 , 5 . 当 t ? 2 时, k ? 7 ;当 t ? 3 时, k ? 5 ;当 t ? 5 时, k ? 4 . 综上,存在符合条件的正整数 t 和 k , 所有符合条件的有序整数对 (t , k ) 为(2,7),(3,5),(5,4). …………16 分

20.解: (1) f ?( x) ? 2a ? ln x ? 1? ? 2bx2 ,由题意 f ?(1) ? 0 ,得 a ? b .

……………2 分 ……………4 分

2 2 2 2 又切点为 (1, ? ) ,所以 f (1) ? ? ,即 ? b ? ? ,得 a ? b ? 1 . 3 3 3 3
2 1 (2)由(1)知 f ( x) ? 2 x ln x ? x3 , g ( x) ? 2x ln x ? x2 ? 3x ? k . 3 2

g ?( x) ? 2(ln x ? 1) ? x ? 3 ? 2ln x ? x ? 1 ,显然 g ?(1) ? 0 , g ?( x) 为单调增函数,
7

1 所以,当 x ? ( ,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; e
当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,且可无限增大. ……………6 分

1 1 5 5 当 x ? 1 时, g ( x)min ? g (1) ? ? ? k ,又 g ( ) ? 2 ? ? k , 2 e 2e e 1 5 1 所以,当 g ( ) ? 0 时,即 k ? ? 2 时, g ( x) 有且只有一个零点; e 2e e
当 g (1) ? 0 ,即 k ?

5 时, g ( x) 有且只有一个零点; 2

? 1 5 ? g ( ) ? 0, 5 1 当? e 即 ? 2 ? k ? 时,函数 g ( x) 有且只有两个零点; e 2 e 2 ? ? g (1) ? 0,
当 g (1) ? 0 ,即 k ?

5 时,函数 g ( x) 没有零点. 2

……………10 分

(3)由(2)知,当 x ? [e?1 ,1] 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (1, e] 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增.

5 所以,当 x ? 1 时, g ( x)min ? g (1) ? ? ? k . 2
又 g (e?1 ) ?

……………12 分

e2 1 5 ? ? k , g (e) ? ? e ? k , 2 2e e 2 e ( e ? 2) 10 e ? 1 g (e) ? g (e?1 ) ? ? ?0, 2 2e2 e2 ?e?k . 2 e2 ? 5 , 2
……………14 分

故 g ( x)max ? g (e) ?

由题意得 g ( x)min ? g ( x)max - m ≤ ?

5 e2 e2 ? 5 即 ? ? ? e ? m≤? ,即 m ≥ e , 2 2 2
故实数 m 的最小值是 e . ……………16 分

8


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