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温州市十校联合体2014-2015年高二下期中联考数学试题及答案


2014 学年第二学期十校联合体高二期中联考 数学试卷
(满分 120 分,考试时间:100 分钟) 一、选择题: 1.已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 3, 3 ,则 log4 f (2) 的值为 A.

?

?





1 4

B. ?

1 4

C. 2

D. ?2 ( C.90° D.不存在 ) )

2.直线 3x- 3=0 的倾斜角是 A.30° B.60°

1 3.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( 3 (

4. “ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.若坐标原点到抛物线 x ?
2

2

2

(

)

1 y 的准线距离为 2,则 m ? m
C. 8 D. ? 8





A.

1 8

B. ?

1 8

6.在等 差数列 {a n } 中, 为 A .15

a9 ? ?1 ,若它的前 n 项和 S n 有最大值,则使 S n ? 0 成立的最大自然数 n 的值 a8
( B.16 C .17 ) )

D .18 1 4 2 2 7.已知圆 x +y +8x+2y+1=0 关于直线 ax+by+1=0(a、b>0)对称,则 + 的最小值为(

a b

A.8

B.12

C.16

D.20 )

? 8.如果满足 ?ABC ? 60 , AC ? 12 , BC ? k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是(

A. k ? 8 3

B. 0 ? k ? 12

C. k ? 12

D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3

9. 如图, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, M 为棱 BB1 的中点, 则下列结论中错误 的是( ..



A.D1O∥平面 A1BC1 C.二面角 M-AC-B 等于 45°

B.D1O⊥平面 AMC D.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60°
[来源:学科网]

?? x 2 ? ax ( x ? 1) ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 ?x1 , x2 ? R,且x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则实数 a ? ?a x ? 7a ? 14 ( x ? 1)
的取值范围是 A. ?2,3? ? ? ??,-5?
[二.填空题: 11.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) =_ _.

( B. (??, 2) ? (3,5) C. ? 2,3? D. ?5, ?? ?



12.若向量 a =(2, ? x)与 b =(x, ? 8)的夹角为钝角,则 x 的范围为

?x ? y ? 5 ? 0 ? y?a 13.若不等式 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围__ ? 0? x?2 ?
14.直线 ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为______ 15.若关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0
2

_

在区间 [2, 4] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是

_.

16.若函数 f ( x) ? asinx ? bcosx 在 x= 17.给出下列四个命题:

?
3

处有最小值 ?2 ,则 2a -b

?

x2 y2 2 ①椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则b ? c; 2 a b
②双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a2 b2

2 2 ③已知抛物线 y ? 2 px 上两点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ), 且 OA ? OB ? 0( O 为原点),则 y1 y2 ? ? p ;

④动点 M 到两定点 A、B 的距离之比为常数 ? (? ? 0且? ? 1) ,则动点 M 的轨迹是圆. 其中的真命题是_____________.(把你认为是真命题的序号都填上)

三、解答题:

18.在△AB C 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知向量 m ? (a ? c,b ? a) , n ? (a ? c,b) ,

且m ? n .
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 sin A ? sin B ?
6 ,求角 A 的值. 2

19.已知函数 f ( x ) ? x ?

m ? m ( x ? [1 , ? ?) 且 m ? 1 ). x

[来源:学#科#网]

(1)用定义证明函数 f ( x) 在 [1 , ? ?) 上为增函数; (2)设函数 g ( x) ? x ? f ( x) ? 2 x ? 成立,求实数 m 的取值范围.

3 ,若[2, 5 ]是 g ( x) 的一个单调区 间,且在该区间上 g ( x) ? 0 恒 2

20.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值; Sn (2)设 bn= ,求 b3+b7+b11+?+b4n-1 的和. n

21.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,
?ABC ? ?BCD ? 90? PA ? PD ? DC ? CB ? 1 AB ,E 是 BP 的中点. 2

(1)求证:EC//平面 APD; (2)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)求二面角 P ? AB ? D 的的正弦值.

22.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形 → → 为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且AP=2PB. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围.

2014 学年第二学期十校联合体高二期中联考

答案及评分标准
一.选择题(每小题 4 分,共 40 分; ) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

5 B

6 A

7 C

8 D

9 C

10 B

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.-2 15 . a ? 0 12. X<0 且 x ? 4 16. ? 2 3 ? 1 13. 5 ? a ? 7 17.①②④ 14. 135 ?

三.解答题(共 52 分) 18. (本题满分 10 分) 解:(1) 由 m ? n 得 (a ? c)(a ? c) ? (b ? a)b ? 0; 整理得 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? 0. 又 cos C ? 即 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab.

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? . 2ab 2ab 2 ? 又因为 0 ? C ? ? , 所以 C ? 3
(2) 因为 C ? 故B?

????(4 分)

?
3

,所以 A ? B ?

2? , 3

6 2? 6 2? ,得 sin A ? sin( ? A) ? . ? A. 由 sin A ? sin B ? 2 3 2 3 3 1 6 cos A ? sin A ? 即 sin A ? , 所以 3 sin A ? cos A ? 2 . 2 2 2 ? 2 即 sin( A ? ) ? . ????(7 分) 6 2 2 ? ? 5? 因为 0 ? A ? ?,所以 ? A ? ? . 3 6 6 6 ? ? ? 3? 故 A ? ? 或A ? ? . 6 4 6 4 ? 7? 所以 A ? 或 A ? ????(10 分) . 12 12 19. (本题满分 10 分)

(Ⅰ)设 1 ? x1 ? x2 ? ??

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

m m m (1 ? ) ? m) ? ( x2 ? ? m) ? ( x1 ? x2 ) x1 x2 x1 x2

∵ 1 ? x1 ? x2 ? ?? , m ? 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴ x1 ? x2 <0, 1 ?

m >0 x1 x2
????(4 分)

∴函数 f ( x) 在 [1, ? ?) 上为增函数

(Ⅱ) g ( x) ? x( x ? 对称轴 x ? ?

m 3 3 ? m) ? 2 x ? ? x 2 ? (m ? 2) x ? m ? x 2 2

[来源:Zxxk.Com]

m?2 ,定义域 x∈[2, 5] 2

① g ( x) 在[2, 5]上单调递增且 g ( x) ? 0

?m ? ?6 ? m?2 ?2 ? 19 ?? ?? 2 19 ? m ? ? ? 6 m?? ? ? 6 ? g (2) ? 0 ?
② g ( x) 在[2, 5]上单调递减且 g ( x) ? 0

????(7 分)

? m?2 ?m ? ?12 ?5 ? ?? ?? 2 ? 73 ? 无解 又 m ? ? ? ? ? g (5) ? 0 ? 12

m ? 1 ,综上所述 ?

19 ? m ? 1 ????(10 分) 6

20.(本题满分 10 分)解 (1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a, 又 a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即 a=3. ∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. ????(2 分) k?k-1? k?k-1? 由 Sk=ka1+ d,得 2k+ ×2=2 550, 2 2 即 k2+k-2 550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. n?n-1? (2)由 Sn=na1+ d, 2 Sn ∴bn= =n+1. n n?n-1? 得 Sn=2n+ ×2=n2+n. 2 ?????????(8 分) ????(5 分)

∴{bn}是等差数列.

?4+4n?n 则 b3+b7+b11+?+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+?+(4n-1+1)= . 2 ∴b3+b7+b11+?+b4n-1=2n2+2n. ?????????(10 分)

21. (本题满分 12 分)解: (1)如图,取 PA 中点 F,连结 EF、FD, ∵E 是 BP 的中点,∴EF// AB 且 EF ? 1 AB , 2

AB, DC ? 1 AB ∴EF // DC∴四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC//FD ??2 分 又∵ DC い 2
又∵EC ? 平 面 PAD,FD ? 平面 PAD∴EC//平面 ADE ????4 分

(2)取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD ∵平面 PAD⊥ 平面 ABCD 于 AD ∴PH⊥面 ABCD

∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影 ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角 ∵四边形 ABCD 中, ?ABC ? ?BCD ? 90? ∴四边形 ABCD 是直角梯形, DC ? CB ? 1 AB 2 设 AB=2a,则 BD ? 2a ,在 ?ABD 中,易得 ?DBA ? 45? ,? AD ? 2a ????6 分

1 2 PH ? PD 2 ? DH 2 ? a 2 ? a 2 ? a ,又∵ BD2 ? AD2 ? 4a 2 ? AB 2 , 2 2
∴ ?ABD 是等腰直角三角形, ?ADB ? 90? ∴ HB ? DH 2 ? DB 2 ?

1 2 10 a ? 2a 2 ? a 2 2

2 a PH 5 ∴在 Rt ?PHB 中, tan ?PBH ? ? 2 ? HB 5 10 a 2

????8 分

(3)在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于 G 点,连结 PG,则 HG 是 PG 在平面 ABCD 上的射影, 故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P-AB-D 的平面角,由 AB=2a

HA ?

2 1 3 a ,又 ?HAB ? 45? ∴ HG ? a, PG ? a, 2 2 2

????10 分

2 a PH 6 在 Rt ?PHG 中, sin ?PGH ? ? 2 ? PG 3 3 a 2 6 ∴二面角 P-AB-D 的的正弦值为 3

????12 分

(注:本题通过建立坐标系用空间向量处理酌情给分)

22.(本题满分 10 分)解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b= 2,

y2 x2 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,
2 2 ? ?y +2x =4, 即? 消去 y,得 ?y=kx+m, ?

????3 分

[来源:学科网 ZXXK]

(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, ????(5 分) 2mk
2

? ?x +x =-2+k , 由根与系数的关系,知? m -4 x· x= , ? ? 2+k
1 2 2 1 2 2

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), 所以-x1=2x2.
?x1+x2=-x2, ? m2-4 ? 2mk2?2. 则? 所以 2 =-2 2 ?2+k ? 2+k ?x1x2=-2x2, ?

????(7 分)

整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, 又 9m2-4=0 时等式不成立, 8-2m2 4 所以 k2= 2 >0,得 <m2<4,此时 Δ>0. 9 9m -4 2 2 -2,- ?∪? ,2?. 所以 m 的取值范围为? 3 ? ? ?3 ? ????(10 分)


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