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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 文


第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 知识梳理 一、二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,设有直线 Ax+By+C=0(B 不为 0)及点 P(x0,y0),则 (1)若 B>0,Ax0+By0+C>0,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域; (2)若 B>0,Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域(注:若 B 为负,则可先将其变为正). 由此可知, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. 我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线. 当我们在坐 标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直 线画成实线. 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它们的坐标(x,y)代入 Ax+By +C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负情况,即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当 C≠0 时,直线不过原点,通常把原点作为特殊点. 二、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函 数的定义域),使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解. 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x,y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); 第 1 页 共 6 页 (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得所求最值的位置,以确定最优解, 给出答案. 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题. 基础自测 x-y+1>0, ? ? 1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x+y-0≥0, ? ?x≤3. 值是( ) B.-6 D.-3 A.-7 C.-5 则 z=2x-3y 的最小 2 z 2 z 解析:由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y= x- .作出可行域如图,平移直线 y= x- , 3 3 3 3 2 z 2 z 由图象可知当直线 y= x- 经过点 B 时,直线 y= x- 的截距最大,此时 z 取得最小值, 3 3 3 3 ?x-y+1=0, ?x=3, ? ? 由? 得? 即 B(3,4),代入直线 z=2x-3y 得 z=3×2-3×4=-6.选 B. ?x=3, ?y=4. ? ? 答案:B 2.(2012· 佛山一中期中)设 x,y 满足约束条件 x≥0, ? ? ? y≥x, ? ? 4x+3y≤12, A.5 C.8 2y+2 的最大值是( x+1 B .6 D.10 则 ) y+1 解析:画出可行域如图, 的几何意义是点 M(-1,-1)与可行域内的点 P(x,y)连 x+1 4-?-1

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