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信号与线性系统分析总结


信号与线性系统分析——总结

1

信号与线性系统分析

上一页

2012-10-17

信号与线性系统分析——总结

2

信号分析(运算)—— 时域
连续信号 f ? t ? 展缩、移位 微分(差分) 积分(求和) 卷积积分
? ? ? ?

离散信号 f ? k ?
f ? ak ? b ?

f ? at ? b ?

f ?? t ?

? f ? k ? ? f ? k ? ? f ? k ? 1?

?

t

f ?? ? d ?

0?

?
i?0

k

f ?i ?

f 1 ?t ? ? f 2 ?t ?

f1 ? k ? ? f 2 ? k ?

?

t

0?

f 1 ?? ? f 2 ? t ? ? ? d ? ? ? ? t ? ? ?

? ? ? ? ? f1 ? i ? f 2 ? k ? i ?? ? ? k ? ? i?0 ?
k

上一页

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信号与线性系统分析——总结

3

信号分析(运算)—— 复频域
连续信号 f ?t ? ? F ? s ?
b

离散信号 f ? k ? ? F ? z ?
? f ?k ? b ? ? z F ? z ? ? ? b ?1 ?k ? ? ? f ?k ? b ?z ? k ?0 ? ?z? k ? a f ?k ? ? F ? ? ? ?a?
?b

展缩、移位

? s ? ?as f ? at ? b ? ? F ? ?e a ?a? 1

微分(差分) f ??t ? ? sF ? s ? ? f ? 0 ? ? 积分(求和) ?0
t
?

? f ? k ? ? ?1 ? z

?1

?F ? z ? ? f ? ? 1 ?
z z ?1 F ?z?

f ?? ? d ? ? 1 F ? s ? s

?
i?0

k

f ?i ? ?

卷积积分 f 1 ?t ? ? f 2 ?t ? ? F1 ? s ? F2 ? s ?
上一页

f 1 ? k ? ? f 2 ? k ? ? F1 ? z ? F2 ? z ?
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信号与线性系统分析——总结

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信号分析(运算)—— 频域
连续信号 展缩、移位
f ? at ? b ? ? 1
f ? t ? ? F ? j ? ? ? F ?? ?

? ? ? ? ja? F ? j ?e a ? a ?
b

微分
积分

f ?? t ? ? j ? F ? j ? ?

?

t

0?

f ?? ? d ? ? ? F ? 0 ?? ?? ? ? 1 F ? j ? ? j?

卷积积分

f 1 ? t ? ? f 2 ? t ? ? F1 ? j ? ? F2 ? j ? ?

?s??
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? j? 令 ? ? 0

j?

?
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5


系统函数 系统响应的经典求法







自由(固有)响应 强迫(强制、受迫)响应 零输入响应 系统响应的近代求法 零状态响应

(经典解)

单位冲激(序列)响应

系统响应的卷积积分

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系统函数——连续时域
y
?n ?

? t ? ? a n ?1 y ? n ?1 ? ? t ? ?
?n?

? a 1 y ?? t ? ? a 0 y ? t ? ? b m f

?m ?

?t ? ?

? b1 f ?? t ? ? b 0 f ? t ?

利用算子: f

?t ? ? p n f ?t ?

,可有
m

? p n ? a n ?1 p n ?1 ?
即:
y ?t ? f ?t ? ?
n

? a 1 p ? a 0 ? y ? t ? ? ?b m p
bm p ?
m

?

? b1 p ? b 0 ? f ? t ?

? b1 p ? b 0 ? ? a1 p ? a 0

p ? a n ?1 p

n ?1

? H ? p?

传输算子

上一页

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系统函数——离散时域
y ? k ? ? a n ?1 y ? k ? 1 ? ?
? a 0 y ? k ? n ? ? bm f ? k ? ?
?m

? b0 f ? k ? m ?

利用算子:f ? k ? m ? ? E
?1 ? a n ?1 E ? 1 ?
? a0 E

f ?k ?

,可有
?
n

?n

? y ? k ? ? ?bm
?

? b0 E

?m

? f ?k ?
n?m

即:

y ?k ? f ?k ?

?

bm ? 1 ? a n ?1 E
?1

? b0 E ?

?m ?n

bm E ? E ? a n ?1 E
n

? b0 E
n ?1

? a0 E

?

? a0

? H ?E ?

传输算子
上一页
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系统函数——连续复频域
?n ? 微分方程 y ? t ? ?

? a 1 y ?? t ? ? a 0 y ? t ? ? b m f

?m ?

?t ? ?

? b0 f ? t ?

利用时域微分性质: f

?n ?

? t ? ? s n F ? s ? (设初始条件为零)
m

?s n

? a n ?1 s

n ?1

?

? a 1 s ? a 0 ?Y ? s ? ? ?b m s

?

? b1 s ? b 0 ? F ? s ?

H ?s ? ?

Y ?s ? F ?s ?

?

bm s
n

m

?
n ?1

? b1 s ? b 0 ? ? a1 s ? a 0

s ? a n ?1 s

上一页

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① 令

s ? j? ,

Y ? j? ? F ? j? ?

?

bm ? j? ? ?
m

? b1 ? j ? ? ? b0
n ?1

? j ? ? ? a n ?1 ? j ? ?
n

?

? a1 ? j ? ? ? a 0

? H ? j? ?

实际上:

时域 H ? p ? 令 p ? s 复频域 H ? s ? 令 s ? j ? 频域 H ? j ? ?

② 若考虑初始条件:
y
?n ?

?t ? ? s Y ? s ? ?
n

?
i?0

n ?1

s

n ?1 ? i

y

?i ?

?0 ? ?

上一页

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系统函数——离散复频域
差分方程
y ? k ? ? a n ?1 y ? k ? 1 ? ?
? a 0 y ? k ? n ? ? bm f ? k ? ?

? b0 f ? k ? m ?

利用时域移位性质: f ? k ? m ? ? z ? m F ? z ? (设初始条件为零)

?1 ? a n ?1 z ? 1 ?
Y ?z? F ?z? ? bm ? 1 ? a n ?1 z
?1

? a0 z

?n

?Y ? z ? ? ? b m
n ?n

?

? b0 z

?m

?F ? z ?
? H ?z?

? b0 z ?

?m

? a0 z

?

bm z ? z ? a n ?1 z
n n ?1

? b0 z ?

n?m

? a0

实际上:时域

H ? E ? 令 E ? z 复频域
?m

H ?z?

若考虑初始条件:y ? k ? m ? ?
上一页

z

Y ?s ? ?

?
i?0

m ?1

y ?i ? m ? z

?k

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系统响应的经典解
?t? ?t? ?t? 全响应: y ? ? ? y h ? ? ? y p ? ? ?k ? ?k? ?k?

?t ? yh ? ? 自由(固有)响应: ?k ?

对应齐次方程的通解
对应非齐次方程的特解

?t? yp? ? 强迫(强制、受迫)响应: ?k ?

? t ? 的待定系数由 y ? t ? ? y ? t ? ? y ? t ? 及初始条件 yh ? ? ? ? ? ? h? p? k? k? k? ? ? ? ?k ?
? y ? 0 ? ? , y ?? 0 ? ? , y ??? 0 ? ? , y ???? 0 ? ? , ? ? ? y ? ? 1? , y ? ? 2 ? , y ? ? 3 ? , y ? ? 4 ? , ?
上一页

共同决定。

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系统响应的近代解
?t? ?t? ?t? 全响应: y ? ? ? y zi ? ? ? y zs ? ? ?k ? ?k ? ?k?
?t? 零输入响应:y zi ? k ? ? ?
?t? 零状态响应:y zs ? ? ?k?
?t? y zi ? ? ?k?

形式与经典解的固有响应相同 形式与经典解相同
?t? y zi ? ? ?k?

的待定系数由

及初始条件

? y zi ? 0 ? ? ? y ? 0 ? ? ? ? y zi ? ? 1 ? ? y ? ? 1 ?

? y ? ? 0 ? ? ? y ?? 0 ? ? , y ?? ? 0 ? ? ? y ??? 0 ? ? , zi ? zi ? ? y zi ? ? 2 ? ? y ? ? 2 ? , y zi ? ? 3 ? ? y ? ? 3 ? , ?
上一页

共同决定。
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系统响应的近代解
?t? ?t? ?t? 零状态响应: y zs ? ? ? y zsh ? ? ? y zsp ? ? ? ? ? ? ? ? k? k? ? ? ?k?
?t? 固有响应部分:y zsh ? ? ? ? ?k?

形式与经典解的固有响应相同 与经典解的强制响应相等

强制响应部分:

?t? ?t? y zsp ? ? ? y p ? ? ? ? ? ? k? ? ?k ?

将经典解与近代解比较可以看出它们的关系为:
?t? ?t? ?t? ?t? ?t? y h ? ? ? y zi ? ? ? y zsh ? ? , y p ? ? ? y zsp ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ?k? ?k ? ?k ? ?k ?
上一页
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系统响应的近代解
?t? y zsh ? ? ? ? ?k?
?t? ?t? ?t? 的待定系数的求法如下:y zs ? ? ? y zsh ? ? ? y zsp ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ?k ? ?k?
?0



? y zs ? 0 ? ? ? y ? ? 0 ? ? ? y ?? ? 0 ? ? ? zs zs 由? ? ? y zs ? ? 1? ? y zs ? ? 2 ? ? ?0 ?

及微分(差分) 方程

其中 y ? y zs ,算出等效初始条件

? y zs ? 0 ? ? , y ? ? 0 ? ? , y ?? ? 0 ? ? , zs zs ? ? ? y zs ? 0 ? , y zs ?1 ? , y zs ? 2 ? , ?

②将

? y zs ? 0 ? ? , y ? ? 0 ? ? , zs ? ? ? y zs ? 0 ? , y zs ?1 ? , ?

代入

?t? ?t? ?t? y zs ? ? ? y zsh ? ? ? y zsp ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ?k ? ?k?

求出
上一页

?t? y zsh ? ? ? ? ?k?

的待定系数。
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单位冲激(序列)响应
—— 时域(以一阶系统为例)
连续系统 典型系统
? t 输入 ? ??k ?? 时

离散系统
y ? k ? ? ay ? k ? 1? ? bf ? k ? h ? k ? ? ah ? k ? 1? ? b ? ? k ?

y ?? t ? ? ay ? t ? ? bf ? t ?
h ?? t ? ? ah ? t ? ? b ? ? t ?

用算子法

? p ? a ?h ? t ? ? b ? ? t ?
h ?t ? ? b p?a
at

?1 ? aE ?h ? k ? ? b ? ? k ?
?1

? ?t ?

h?k ? ?

b 1 ? aE

? ? k ? ? bE ? ? k ? ?1
E?a
k

? be ? ? t ?
上一页

? b?a ? ? ?k ?
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单位冲激(序列)响应
—— 复频域(以一阶系统为例)
连续系统
? ?t ? 输入 ? ? k ?

离散系统
h ? k ? ? ah ? k ? 1? ? b ? ? k ?
h?k ? ? H ? z ?
?1



h ?? t ? ? ah ? t ? ? b ? ? t ?
? ?t ? ? 1

变换 上式

h ?t ? ? H ? s ? h ?? t ? ? sH ? s ?

? ?k ? ? 1

h ? k ? 1? ? z H ? z ?
H ? z ? ? az
?1

sH ? s ? ? aH ? s ? ? b

H ?z? ? b
?1

s?a at h ? t ? ? be ? ? t ?

H ?s ? ?

b

H ?z? ?

b 1 ? az
k

?

bz z?a

h ? k ? ? b ?a

?? ? k ?
2012-10-17

(将 s ? j ? 即为频域时的情况)
上一页

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系统响应——时域
b ? at h ? t ? ? H ? p ?? ? t ? , f ? t ? ? be ? ? t ? ? ? ?t ? ? p?a 以一阶系统 、 为例 ? bE ? h ? k ? ? H ? E ?? ? k ? , f ? k ? ? b ?a k ?? ? k ? ? ? ?k ? ? E ?a

连续系统
y ?t ? ? h ?t ? ? f ?t ?
? H ? p ?? ? t ? ? ? H ? p? b p ? a b p ? a

离散系统
y ?k ? ? h?k ? ? f ?k ?
? ?t ?

? H ? E ?? ? k ? ? ? H ?E ? bE

bE E ?a

? ?k ?

? ?t ? ? ? ?t ?

? H 1 ? p ?? ? t ?
上一页

E ?a ? H 1 ? E ?? ? k ?

? ?k ? ? ? ?k ?

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信号与线性系统分析——总结

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系统响应——复频域
? h ?t ? ? H ? s ? , f ?t ? ? F ? s ? ? 以一阶系统 、 ? ? h?k ? ? H ? z ? , f ?k ? ? F ? z ? ?

为例

连续系统
y ?t ? ? h ?t ? ? f ?t ? ?
Y ? s ? ? H ? s ?F ? s ?
? H ? s ?F ? s ? ?1 ? H 1?s ?

离散系统
y ?k ? ? h?k ? ? f ?k ? ?

Y ? z ? ? H ? z ?F ? z ?
? H ? z ?F ? z ? ?1 ? H1?z?

(将 s ? j ?
上一页

即为频域时的情况)
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预祝同学们 考出高水平、考出好成绩

上一页

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