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2014-2015大连24中高一(下)期末数学试卷(含答案)


2014-2015 学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷
命题学校:辽宁省实验中学 命题人:刘铭 王清礼

注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1) sin 210? ? cos 300? ? ( ) (A) ?1 (2)已知 tan ? ? (B) 0 (C)1 (D) 3 ( (D) 4 ( ) )

1 ) ? ,则 tan(45 ?? ? 2
(C) 3

(A)1 (B) 2 (3)下列叙述中错误 的是: ..

(A)如果事件 A 与事件 B 对立,则 P( A) ? P(B) ?1 (B)如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P( A ? B) ? 1 (C)如果事件 A 包含于事件 B ,则 P( A) ? P( B) (D)如果事件 A 与事件 B 相等,则 P( A) ? P(B) (4)现有一组数据: 17.7 ,16.3 ,14.6 ,18.7 ,17.9 ,12.0 ,15.3 ,14.6 ,14.0 ,18.9 ,21 .0 ,18.1 某同学借助计算机对这组数据进行统计学分析. 在数据录入的过程中该同学不慎将某一数 据的小数点遗漏(例如将数据17.9 录入为179 ) .则有误数据的计算结果,与正确数据的 计算结果可能相同的是 ( ) (A)平均数 (B)标准差 (C)极差 (D)中位数 (5)已知 a ? (1,3) , b ? ( x, 2) , c ? (1, 2) ,若 (2 a ? b) ∥ c ,则 x ? ( ) (A) ?1 (B) 0 (C)1 (D) 2

高一年级数学科试卷

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(6)已知平面向量| a |? 1 ,| b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 | 2a ? b | 的值是 (A) 2 (B) 2 2 (C) 2 3 (D) 4





(7)根据程序框图(左图)写出程序(右图) ,则 程序中横线处所缺少的语句及运行的结果是 ( ) (A)for n=1 :1 : 5 和120 (B)for n=1 :1 : 5 和 720 (C)while n=1 :1 : 5 和120 (D)while n=1 :1 : 5 和 720

(8)设曲线 y ? sin x ( 0 ? x ? ? )与线段 y ? 0( 0 ? x ? ? )所围成区域的面积为 S (左 图) .我们可以用随机模拟的方法估计 S 的值,进行随机模拟的程序框图如下. S 表示估 计结果,则图中空白框内应填入 ( )

(A) yi ? sin xi (B) yi ? sin xi (C) yi ? sin(? xi ) (D) yi ? sin(? xi )

高一年级数学科试卷

第 2 页 共 10 页

(9) 将函数 y ? sin(2 x ? 移

?
4

) 的图象的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后再向右平
( )

? 个单位长度,则所得图象的函数解析式是 6 7? ? ) (A) y ? sin( x ? ) (B) y ? sin( x ? 12 12 ? 5? ) (C) y ? sin( 4 x ? (D) y ? sin(4 x ? ) 12 12

(10) 函数 f (x) ? 2sin( ?x ? ? 点P ( ) (? ? 0 , 0 ? ? ? 2? )的部分图像如图所示, 是该图像与 x 轴一个交点,点 Q (0, 3) 是该图像与 y 轴交点,则 (A) f ( x) ? 2sin(3 x ? (

2? , 0) 9


) 3 2? ) (B) f ( x) ? 2sin(3x ? 3 15 ? (C) f ( x) ? 2sin( x ? ) 2 3 15 2? ) (D) f ( x) ? 2sin( x ? 2 3 }; (11)设函数 f ( x ) 的定义域为 A .若函数 f ( x ) 满足: (ⅰ) A ? {x | x ? 2k ?1, k ? Z 1 (ⅱ)函数 f ( x ) 是奇函数; (ⅲ)对任意 x ? A ,有 f ( x ? 1) ? ? .则下面关于函 f ( x) 数 f ( x ) 的叙述中错误 的是 ( ) ..
(A)函数 f ( x ) 是周期函数,且最小正周期是 2 (B)函数 f ( x ) 的图像关于点 (1, 0) 中心对称 (C)函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数 (D)函数 f ( x ) 的零点是 x ? 2k (其中 k ? Z ) (12)已知点 O 是△ ABC 所在平面内一点,且点 O 不在△ ABC 三边所在直线上.设点 P 满 足 OP ? ?1OA ? ?2 OB ? ?3 OC (其中 ?i ? R , i ? 1,2,3 ) ,则下列叙述中正确的是 ①当 ?1 ? 1且 ?2 ? ?3 ? 0 时,点 P 与点 A 重合; ②当 ?1 ? ?2 ? 1 且 ?3 ? 0 时,点 P 在直线 AB 上; ③当 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 1且 ?i ? 0 (其中 i ? 1,2,3 )时,点 P 在△ ABC 内. (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 ( )

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

高一年级数学科试卷

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第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)为了了解 2400 名学生的学习情况,计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为 50 的样本,则分段间隔为 . ( 14 )有一个容量为 200 的样本,样本数据分组为 [50,70) , [70,90) , [90,110) ,

[110,130) ,[130,150] ,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落在区间[90,110) 内的频数为 .

第(14)题图 第(15)题图 (15)在一平面上画有一组间距为 d 的平行线.现将一个质地均匀、半径为 r ( 2r ? d )的圆形 硬币随机地投掷到这个平面上,如图.则此硬币与任何一条平行线都不相交 的概率 ... 是 . (16)设△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,下列有关等边三角形的四项叙 述: ①若

a b c ? ? ,则△ ABC 是等边三角形; sin A sin B sin C

②若

a b c ? ? ,则△ ABC 是等边三角形; cos A cos B cos C
a b c ? ? ,则△ ABC 是等边三角形; tan A tan B tan C

③若

④若

a b c ? ? ,则△ ABC 是等边三角形. A B C


其中,正确叙述的序号是

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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 10 分) 已知函数 f (x) ? (sin x ? . cos x ) 2? cos2 x ( x ? R ) (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0, ] 上的最大值和最小值.

?

2

(18)(本小题满分 12 分) 设锐角△ ABC 内角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .已知 2a sin B ? 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ?

7 , b ? 2 ,求 cos C .

(19)(本小题满分 12 分) 某同学为研究 G 地区年降水量(单位: 毫米)对粮食单产(单位: 公斤/公顷)的影响, 对 2004 年至 2014 年的降水量 xi 和粮食单产 yi ( i ? 1, 2,3,?,11 )数据作了调查,相应数据如下:
年 份 降水量
(毫米)

2004 1455

2005 1616

2006 1816

2007 1627

2008 1523

2009 1280

2010 1803

2011 1822

2012 1368

2013 1323

2014 1488

单 产
(公斤 / 公顷)

4118

4070

4132

4144

4228

4180

4150

4180

4222

3983

4391

(Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)该同学对以上数据作了初步处理,得到下面一些统计量的值:

x ? 1556 ,
11 i ?1

y ? 4163 ,
11 i ?1

? ( xi ? x)2 ? 3.90 ?10 5 , ? ( xi ? x)( yi ? y) ? ?6.28 ?102 ,
? 保留两位有效数字,a ? 保留四位 请根据这些数据,建立 y 关于 x 的回归直线方程(其中 b 有效数字) ; (Ⅲ) 气象局预计 2015 年 G 地区年降水量为 1700―1800 毫米, 请由 (Ⅱ) 的结论估计 2015 年 G 地区的粮食单产 y (单位:公斤/公顷),并给出 G 地区年降水量 x (单位:毫米)对粮食单 产 y (单位:公斤/公顷)影响的统计学结论.

? ?a ? ? bx ? 的斜率和截 附: 对于一组数据 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,……, ( xn , yn ) ,其回归直线 y
距的最小二乘估计分别为:

?? b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? y ? bx ? . ,a

2

高一年级数学科试卷

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(20) (本小题满分 12 分) 某校为了解甲乙两班学生英语考试成绩, 在甲乙两班分别随机抽取10 名同学, 记录他们的 英语考试成绩(单位:分) ,获得数据如下: 甲班:129 ,118 ,133 ,125 ,119 ,126 ,124 ,130 ,127 ,121 ; 乙班:133 ,124 ,126 ,119 ,134 ,128 ,126 ,133 ,125 ,132 . (Ⅰ)根据两组数据完成两班英语考试成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的平均成 绩较高(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; 129 分的同学组成一个小组;从该小组中任取 2 名同学, (Ⅱ)由这 20 名同学中成绩高于 ..

1 分的概率. 求他们的英语成绩之差大于 ..

(21)(本小题满分 12 分) 如图,勘探队员朝一座山行进,在前后两处 A, B 观察塔尖 P 及山顶 Q .已知 A, B, O 在 同一水平面, P, Q, A, B, O 在同一平面且与水平面垂直. 设塔高 PQ ? h ,山高 QO ? H , AB ? m , BO ? n ,仰角 ?PAO ? ? ,仰角

?QAO ? ? ,仰角 ?PBO ? ? .

(Ⅰ)试用 m, ?, ? ,? 表示 h ; (Ⅱ)设仰角 ?QBO ? ? .写出(不必说明理由)用 m, ? ,? , ? 表示 h 的代数式. (22)(本小题满分 12 分) ,其中 x ? R . 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 (Ⅰ)证明: 2? 是函数 f ( x ) 的周期; (Ⅱ)①指出并证明函数 f ( x ) 的奇偶性; ②写出(不必说明理由)函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 的值域. 已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x ?sin x ? 1

高一年级数学科试卷

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2014-2015 学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷
数学试题参考答案和评分参考
一.选择题: (1) (B) (2) (C) (3) (B) (4) (D) (5) (D) (6) (C) (7) (A) (8) (C) (9) (A) (10) (A) (11) (C) (12) (D) 二.填空题: (13) 48 . (14) 60 . (15)

d ? 2r . (16)②③④. d

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) :解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ? 2 sin(2 x ?

?
4

) ?1 .
……4 分

2? ? ? ,所以 f ( x) 的最小正周期是? . 2 ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 0 ? x ? 时,所以 ? 2 x ? ? , 2 4 4 4 2 ? 从而 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 4
因为T ? 故1 ? 2 ? ? 2 sin(2 x ?

?

即 f ( x ) 在区间[0, ] 上的最大值是 2 ,最小值是1 ? 2 .

?

4

) ?1 ? 2 .
……10 分

2

(18)解: (Ⅰ)因为 2a sin B ? 3b ,由正弦定理得: 2sin A sin B ? 3 sin B . 所以 sin A ?

3 . 2
……4 分
2 2 2

又因为 A 是锐角,所以 A ? 60? . (Ⅱ)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A . 因为 a ?

7 , b ? 2 , A ? 60? , 2 2 所以有 7 ? 4 ? c ? 2 c ,整理得 c ? 2c ? 3 ? 0 . 解得 c ? 3 . a 2 ? b2 ? c 2 7? 4?9 7 由余弦定理得 cos C ? . ? ? 2ab 2 ? 7 ? 2 14

……12 分

高一年级数学科试卷

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(19)解: (Ⅰ)

……2 分

? ? 4165 , ? ? ?1.6 ?10 , a (Ⅱ)由题意得 b
?3

所以 y 关于 x 的回归直线方程为: ? y ? 4165 ?0.0016 x . (Ⅲ)由(Ⅱ)得, 当 x ? 1700 时, ? y ? 4162.28 ; 当 x ? 1800 时, ? y ? 4162.12 ;

……6 分

所以估计 2015 年 G 地区的粮食单产为 4137 至 4139 (单位:公斤/公顷). ……10 分 G 地区年降水量 x (单位:毫米)和粮食单产 y (单位:公斤/公顷),成负相关. G 地区年降水量 x (单位:毫米)对粮食单产 y (单位:公斤/公顷)影响不明显. ……12 分 (20)解: (Ⅰ)茎叶图如图.

根据茎叶图推断乙班的平均成绩较高. ……4 分 [3a] , (Ⅱ) 这 20 名同学中成绩高于129 分的同学共 6 名.这 8 名同学分别记为[0] , [2] ,

[3b] ,[3c] ,[4] .
从该小组中任取 2 名同学共包含15 个基本事件分别记为: {[0],[2]} , {[0],[3 a ]} ,{[0],[3b]} ,{[0],[3c]} , {[0],[4]} ,{[2],[3a]} ,

{[2],[3b]} ,{[2],[3c]} , {[2],[4]} , {[3a],[3b]} ,{[3a],[3c]} ,{[3a],[4]} , {[3b],[3c]} ,{[3b],[4]} ,{[3c],[4]} . 其中英语成绩之差大于1 分的基本事件有: {[0],[2]} ,{[0],[3a]} ,{[0],[3b]} ,{[0],[3c]} ,{[0],[4]} ,{[2],[4]} 共 6 种. 6 2 ? . 所以 P ? ……12 分 15 5

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(21)解: (Ⅰ)

?H ? h ? m ? n ? tan ? , ? H ? h ? tan ?( m ? n), ? ? H ? ? tan ? , 即: ? H ? tan ?( m ? n), 由题意得: ? ?m ? n ? H ? h ? tan ? ?n. ? ?H ? h ? tan ? . ? n ? , ?tan ?( m ? n) ?tan ? ?n 所以 ? . ?tan ?( m ? n) ? h ?tan ? ?n tan ?(tan ? ? tan ? ) sin ? sin( ? ? ? ) ? m .(或 h ? ? m .) ……8 分 整理得 h ? tan ? ?tan ? sin( ? ? ?)cos ? (Ⅱ)用 m, ?,? , ? 表示 h 的代数式为: tan ? (tan ? ?tan ? ) sin ?sin( ? ? ? ) h? ? m .(或 h ? ? m .) ……12 分 tan ? ? tan ? sin( ? ? ?)cos ?
(22) (Ⅰ)证明:由题意知:对于 x ? R ,

f ( x ? 2? ) ?

1 ? sin 2( x ?2 ?) ?sin( x ?2 ? ) ? 1 1 ? sin 2( x ?2 ?) ?sin( x ?2 ? ) ? 1

1 ? sin 2 x ?sin x ? 1 所以 f (x ? 2?) ? f ( x) ,即 2? 是函数 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)解:①函数 f ( x ) 是奇函数. 由题意知:对于 x ? R , f ( ? x) ? f ( x) ?
?

?

1 ? sin 2 x ?sin x ? 1
……2 分

1 ? sin 2 x ? sin x ? 1

1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 ( 1 ? sin 2 x ) 2 ? (sin x ? 1)2 ? ( 1 ? sin 2 x )2 ? (sin x ? 1)2
( 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1)( 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1)

?

1 ? sin 2 x ? sin x ? 1

?0 所以 f (?x) ? ? f (x) ,即函数 f ( x ) 是奇函数.
②直线 x ?

?
2

是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴.

……6 分

高一年级数学科试卷

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(Ⅲ)解: 由题意知:对于 x ? R , f ( x) ? 1 ?

2 1 ? sin x ? sin x ? 1
2

因为当 x ? [0, ] 时,函数 y ? 1? sin 2 x ?sin x ? 1 是增函数,

?

2

所以 2 ? 1 ?sin 2 x ? sin x ? 1 ? 2 ?2 . 从而 0 ? 1 ?

2

即当 x ? [0, ] 时, 0 ? f ( x) ? 2 ?1 .

?

1 ? sin 2 x ?sin x ? 1

? 2 ?1 .

2

因为函数 f ( x ) 是奇函数, 所以当 x ? [? 即当 x ? [ ? 因为 x ?

?
2

, 0] 时,1 ? 2 ? f ( x) ? 0 .

? ?

?
2

, ] 时,1 ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1. 2 2

是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,

所以当 x ? [ ,

? 3?
2 2

] 时,1 ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1. , 2 ] 时,1 ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1.
……12 分

综上,当 x ? [ ?

? 3?
2

故函数 f ( x ) 的值域为[1 ? 2, 2 ? 1] .

高一年级数学科试卷

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