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山西省太原外国语学校2016届高三上学期11月半月考理科数学试题


高三年级半月考试卷( 理科数学 )
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M ? N =( A. {1} B. {2}
2



C. {0,1}

D. {1, 2}
2

2.已 知命题 p:a ≥0( a∈R) ,命题 q:函数 f(x)=x -x 在区间[0,+∞)上单调 递增,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧q C. (┐p)∧(┐q) D. (┐p)∨q 3.下列命题错误的是( ) A.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 则

x 2 ? y 2 ? 0 ”.
2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .

2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件. D. ?? ? R, 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数. 4.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集是( A. ? x | ?1 ? x ≤ 0? B. ? x | ?1 ≤ x ≤ 1? C. ? x | ?1 ? x ≤ 1? D. ? x | ?1 ? x ≤ 2? 5.设函数 f ( x ) ?
A -1 O B 2 x



y 2 C

1 x ? ln x( x ? 0) ,则函数 f ( x) ( 3



A 在区间 (0,1),  (1, ??) 内均有零点

B 在区间 (0,1),  (1, ??) 内均无零点

C 在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点 D 在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点 6.已知函数 f ( x) ? ?

? x3 ,

x ? 0, 2 若 f(2-x )>f(x) ,则实数 x 的取值范围是( ln( x ? 1), x >0. ?
(B) (??, ?2) ? (1, ??) (D) (?2,1)



(A) (??, ?1) ? (2, ??) (C) (?1, 2)

7.已知函数 f ( x) ? 2

x ?1

,若 a ? f ? )

1? ? 1 ? ? ?, b ? f ?log2 3?, c ? f ? log3 ? ,则 2? ? ln 2 ? ?

a, b, c 的大小关系是(
A. b ? a ? c

B. a ? b ? c
2

C. a ? c ? b
3 0

D. b ? c ? a

8.若 f ? x ? 在 R 上可导, f ? x ? ? x ? 2 f ? ? 2? x ? 3 ,则 A.16 B.54 C.﹣24 D.﹣18

? f ? x ? dx ? (

)

9.已知函数 f ( x) ? x3 ? x, x ? R ,若当 0 ? ? ? 成立,则实数 m 的取值范围是( A. (0,1) B. (??,0) )

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒

C. ? ? ?, ?

? ?

1? 2?

D. (??,1)

10.已知 ?ABC 的内角

A,B, C满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?

1 2, 面积满足


1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式成立的是(
A. bc(b ? c) ? 8 B. ac(a ? c) ?16 2 C. 6 ? abc ? 12

D. 12 ? abc ? 24

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 11. “ c ? 0 ”是“实系数一元二次方程 x ? x ? c ? 0 有两异号实根”的

条件。 (填

“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或者“既不充分又不必要” )
? ? 12. sin15 ? sin 75 的值是

.

13.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上是单调递增,若 f ( ) ? 0 ,

1 2

?ABC 的内角 A 满足 f (cos A) ? 0 则 A 的取值范围是____.
14.设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0, 2? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2? x= 3
15.设函数 f ( x) ? ? x ? bx(b为常数), 若方程f ( x) ? 0 的根都在区间[-2,2]内,且
3

函数 f ( x ) 在区间(0,1)上单调递增,则 b 的取值范围是 16.下列说法: ①函数 f ( x) ? lnx ? 3 x ? 6 的零点只有 1 个且属于区间 ?1, 2 ? ;



②若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a ? ? 0,1? ;
2

③函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像有 3 个不同的交点; ④函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? [0, 正确的有

?
4

] 的最小值是 1.

. (请将你认为正确说法的序号都写上)

三、解答题(共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 17.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x , x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间; (2)求函数 f ( x) 在 ?0,

? ?? 上的最大值与最小值. ? 4? ?

2b ? 3c cos C ? a , b , c cos A . A , B , C ? ABC 3 a 18.在 中,角 的对边分别为 ,且
(1)求 A 的值;

B?
(2)若

? 6 , BC 边上的中线 AM

? 7 ,求 ?ABC 的面积.

19.已知函数 f ( x) ? ln( ax ? 1) ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

(2)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.
[来源:学科网]

20 . 已 知 函 数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的 导 函 数 f '( x) 为 偶 函 数 , 且 曲 线

y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .

(1)确定 a , b 的值; (2)若 c (3)若

? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;
[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.

高三年级理数半月考 参考答案
1.D 【解析】 试题分析: ∵ N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} , 又∵ M ? {0,1, 2} , ∴M ? N ?{ 1 ,2 } 考点:集合的交集运算. 2.A 【解析】 试题分析: 由已知, 命题 p 真, 命题 q 假, 所以 p ? q 真,p ? q 假,??p ? ? ??q ? 假,??p ? ? q 假. 考点:1.真值表;2.命题真假的判定 3.D 4.C 5.D 【解析】
[来源:学科网]



1 1 ? , 当 x ?0 时,f '( x) ? 0 ,f ( x ) 单调递减, 当 x ? (3, ??) 3 ) ( , 3 x 1 时,f '( x) ? 0 ,f ( x ) 单调递增,f (1) ? ? 0 , 且 f( , 因此 f ( x ) 在 区间 (0,1) 3 ) 1 ?n l3 ? 0? 3
试题分析: 由已知得 f '( x) ? 内无零点,在 区间 (1, ??) 内有零点,选 D. 考点:函数的零点. 6.D 【解析】 试题分析: 由于 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上是增函数, 在 (0, ??) 上也是增函数, 且知 0 ? ln(0 ? 1) ? 0 ,
3

所以可知函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,从而
2 2 2 不等式 f (2 ? x ) ? f ( x) ? 2 ? x ? x ,即 x ? x ? 2 ? 0

解得: ?2 ? x ? 1 故选 D.

考点:1.函数不等式;2.分段函数; 7.B 【解析】 试题分析:由函数图象可知函数 f ( x) ? 2 由于 c ? f ? log3 所以 1 ?
x ?1

在 (??,1] 是减函数,在 [1, ??) 上是增函数;

? ?

1? ? log3 2?1 log 2 ?1 log 2 ? 2 ?1 ?2 3 ?2 3 ? f (log3 2 ? 2) , ? ? f (? log3 2) ? 2 2?

1 ln e ? ? log 2 e ? log 2 3 ? 2 ? log 3 2 ? 2 ln 2 ln 2 1 1 ) ? f (log 2 3) ? f (log 3 ) ,即 a ? b ? c . 故 f( ln 2 2
故选 B. 考点:1.对数运算;2.运用函数的单调性比较大小. 8.D 【解析】 试题分析:由已知得到

f ? ? x? ? 2 x? 2 f? ? 2 ?

f ? ? 2? ? 4? 2f ? ? 2 ? ,解得 ,令 x ? 2 ,则

f ? ? 2? ? ?4



所以 f(x)= x 2 ? 8 x ? 3

所以

?

3

0

3 ?1 ? 3 f ? x ?dx ? ? ? x 2 ? 8x ? 3? dx ? ? x3 ? 4 x 2 ? 3x ? ? ?18 0 ?3 ? 0

故选 D. 考点:1.定积分、定积分的应用;2.导函数的概念. 9.D 【解析】 试题分析:由于函数 f ( x) ? x ? x, x ? R 是奇函数,且在 R 上是增函数;
3

所以不等式 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 ? f (m sin ? ) ? ? f (1 ? m) ? f (m ? 1)

? m sin ? ? m ? 1 ? m(1 ? sin ? ) ? 1
注意到 0 ? ? ?

?
2

时, 0 ? sin ? ? 1

当 sin ? ? 1 时,无论 m 为何值,不等式 m(1 ? sin ? ) ? 1 均成立; 当 0 ? sin ? ? 1 时, 1 ? sin ? ? 0 ,从而不等式 m(1 ? sin ? ) ? 1 等价于 m ? 所以 m ? (

1 ? ) min , ? ? [0, ) , 1 ? sin ? 2

1 , 1 ? sin ?

而(

1 ? ) min ? 1, ? ? [0, ) . 1 ? sin ? 2

所以实数 m 的取值范围是 (??,1) . 故选 D. 考点:1.函数性质的综合应用;2.不等式的恒成立. 10.C
[来源:学科网 ZXXK]

11.既不充分又不必要 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x2 ? x ? c ? 0 有 两 异 号 实 根 , 所 以

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 1 ? 2 所以 “c ? 0 ” 是 “实系数一元二次方程 x ? x ? c ? 0 有 ?0?c? , ? c 4 ? x1 x2 ? ? ? ?c ? 0 a ?
两异 号实根”的既不充分又不必要条件。 考点:充分必要条件. 12.

6 . 2
? ? ? ? ? 2? ? , ??? ,? ? ?3 2? ? 3 ?

13. ?

【解析 】

1 f( )?0 试题分析: 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且在区间 (0, ??) 上是单调递增,且 2 ,

1? ? 1? ? ??, ? ? ? ? 0, ? ? f ? x? ? 0 2 ? ? 2 ? ,而 A 为三角形内角,所以 f (cos A) ? 0 等 所以可得 的解集为 ?
1 1 ?1 ? c oAs ? ? 0 ? cos A ? 2 或 2 ,由余弦函数解得 A 的取值范围是 价 于

? ? ? ? ? 2? ? ,? ? ? , ??? ?3 2? ? 3 ?
考点:1.函数的奇偶性;2.余弦函数图象 14.
7π 3

【解析】

?? ? 试题分析: sin x ? 3 cos x ? a 的根为函数 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? 与函数 y ? a 的 3? ?

交 点 横 坐 标 , 根 据 函 数 图 像 可 知 要 满 足 有 三 个 交 点 , 需 a ? f ? 0? ?

3 ,此时 2

x1 ? 0 ,x 2 ?
15. ?3,4? 【解析】

?

7? x , 3? ? 2? x ? 1 x ? 2 x ?3 3 3

考点:1.函数与方程的转化;2.三角函数图像及性质

试题分析:因为函数 f ( x) ? ? x3 ? bx(b 为常数) ,所以 f ( x) ? ? x2 ? b x ? 0 的根都在区间 [-2,2]内,所以 b ? 2 ? b ? 4 ;又因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上单调递增, 所以 f ( x) ? ?3x ? b ? 0 在区间(0,1)上恒成立,所以 b ? 3
' 2

?

?

综上可得: 3 ? b ? 4 。 考点:导数的应用. 16.①④ 【解析】 试 题 分 析 : ① 函 数

f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 在

? 0, ?? ?

上 是 增 函 数 , 且

f ?1? ? ln1 ? 3 ?1 ? 6 ? ?3 ? 0 , f ? 2 ? ? ln 2 ? 3 ? 2 ? 6 ? ln 2 ? 0 .所以①正确.
②当 a ? 0 时原不等式变形为 1? 0 ,恒成立;当 a ? 0 时,要使关于 x 的不等式

ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 ? ? ? 2a ? ? 4a ?1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,综上可得关于 x 的不等式
2

ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立时 a ? ? 0,1? .故②不正确.
③由函数图像可知函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像只有一个交点,故③不正确.



1 ?? ? y ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? sin 2 x ? 2 sin ? x ? ? 2 4? ?



? ?? x ? ?0, ? ? 4?





? ?? ?? ? ?? ? ?? 2 x ? ? 0, ? , x ? ? ? , ? , 所 以 此 函 数 在 ?0, ? 上 单 调 递 增 . 所 以 4 ? 4 2? ? 2? ? 4?
1 ? ymin ? sin 0 ? 2 sin ? 1 .故④正确. 2 4
考点:函数的性质 17. (1) T ? ? ,增区间为 [k? ? 值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 .

?

?

, k? ? ], k ? Z ; (2)最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 ,最大 3 6

?

6

【解析】 试题分析:本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角

函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一 问,先利用 倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式,使之成为 的形式,利用 T ? f ( x) ? A s i n ? ( x ? ? ?) B

2? 计算周期,再利用 y ? sin x 的函数图象解不 |? |

等式,求出单调递增区间;第二问,将已知 x 的取值范围代入表达式,结合图象,求三角函 数的最值. 试题解析: f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2( (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

2π ? π. 2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z . 3 6 ? 1 ? ? ? 2? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? ,所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 4 2 6 6 6 3
于是 1 ? 2sin(2 x ?

?

?

?

6

) ? 2 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 .

当且仅当 x ? 0 时, f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 . 当且仅当 2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 .

?

6

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值. 18. (1) A ?

?
6

; (2) S? ? 3 .

【解析】 试题分析:本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特殊角的三角函数、三 角形的面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第 一问,先利用正弦定理将边转化成角,展开后,利用内角和定理转化 A+C,即可得到 cos A 的 值,再综合角 A 的范围,求出角 A;第二问,在 ?AMC 中,利用余弦定理解出 AC 的边长,最 后代入三角形面积公式中即可. 试题解析: (I)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 由正弦定理得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3 sin(A+C) . 因为 B=π -A-C,所以 sinB=sin(A+C) , 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B∈(0,π ) ,所以 sinB≠0,

所以

cos A ?

3 ? A? 6. 2 ,因为 0 ? A ? ? ,所以

(Ⅱ)由(I)知 设 AC ? x ,则

A? B?

π 2? C? 6 ,所以 AC ? BC , 3 .

MC ?

1 x 2 ,又 AM ? 7.

2 2 2 在△AMC 中,由余弦定理得 AC ? MC ? 2 AC ? MC cos C ? AM ,

x x 2? x2 ? ( )2 ? 2x ? ? cos ? ( 7)2 , 2 2 3 即 解得 x=2. 1 2 2? S?ABC ? x sin ? 3. 2 3 故

考点:正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特殊角的三角函数、三角形的面积公式. 19.试题分析: (Ⅰ)求导函数,可得 f ' ( x) ?

ax2 ? a ? 2 ,由于分母恒正,故由分子的 (ax ? 1)(1 ? x) 2

正负,确定函数的单调区间; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的讨论,分别可求得 f(x)的最小值,根据 f(x)的最小值为 1,可确定 a 的取值范围.

ax2 ? a ? 2 试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? , (ax ? 1)(1 ? x) 2
? x ? 0, a ? 0 ,

? ax ? 1 ? 0 .

①当 a ? 2 时,在区间 (0,??) 上, f ' ( x) ? 0,? f ( x) 的单调增区间为 (0,??) . ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f ' ( x) ? 0 解得 x ?

2?a ,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? a

2?a , a

? f ( x) 的单调减区间为 (0,

2?a 2?a ) ,单调增区间为 ( ,??) . a a

(Ⅱ)当 a ? 2 ,由(Ⅰ )①知, f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 ; 当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)②知, f ( x) 在 x ?

2?a 2?a ) 处取得最小值 f ( a a

? f (0) ? 1,
综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2,??) . 考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求闭区间上函数的最值. 20.(本题 10 分)
2x ?2 x 解: (Ⅰ)对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ? 2ae ? 2be ? c ,
[来源:学#科#网]

由 f ?( x ) 为偶函数,知 f ?(? x) ? f ?( x) ,即 2(a ? b)(e2 x ? e?2 x ) ? 0 , 因为 e
2x

? e?2 x ? 0 ,所以 a ? b ,

又 f ?(0) ? 2a ? 2b ? c ? 4 ? c ,故 a ? 1, b ? 1 (Ⅱ)当 c ? 3 时, f ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 3x ,那么

f ?( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 2 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 1 ? 0
故 f ( x ) 在 R 上为增函数。
2x (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ?( x) ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c ,而 2e2 x ?2e ? ?2 2 e2 x 2 ?e 2 ? x

? 4 ,当 x ? 0

时等号成立。 下面分三种情况进行讨论。 当 c ? 4 时,对任意 x ? R, f ?( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值; 当 c ? 4 时,对任意 x ? 0, f ?( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 4 ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值;

2 c ? c 2 ? 16 当 c ? 4 时,令 e ? t ,注意到方程 2t ? ? c ? 0 有两根 t1, 2 ? ? 0 ,即 t 4
2x

f ?( x ) ? 0 有两个根 x1 ?

1 1 ln t1 或 x2 ? ln t2 。 2 2

当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ;又当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 x ? x2 处取得极 小值; 综上,若 f ( x ) 有极值,则 c 的取值范围为 (4, ??) 。


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