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高中数学椭圆练习题[1]


高中数学椭圆经典试题练习
1.在椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上取三点,其横坐标满足 x1 ? x3 ? 2 x2 ,三点与某一焦 a2 b2
)A B.

点的连线段长分别为 r1 , r2 , r3 ,则 r1 , r2 , r3 满足( A. r1 , r2 , r3 成等差数列 C. r1 , r2 , r3 成等比数列
2 2

1 1 2 ? ? r 1 r2 r3
D.以上结论全不对

2.曲线 (

x y 2 ? ? 1 的离心率 e 满足方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,则 m 的所有可能值的积为 4 m
B.-36
2

)C A.36
2

C.-192

D.-198

3.椭圆

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,过右焦点 F 作弦 AB,则以 AB 为直径的圆与椭圆右准线 l 2 a b
)B B.相离
2 2

的位置关系是( A.相交 4.设点 P 是椭圆

C.相切

D.不确定

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上异于顶点的任意点,作 ?PF F2 的旁切圆,与 x 1 2 a b

轴的切点为 D,则点 D ( ) A.在椭圆内 B.在椭圆外 C.在椭圆上 D.以上都有可能 5. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A

3

B

3 2

C

3 3

D 以上都不对

【答案】 C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? c 3 ? 2c 1 【解析】 由 ? ? ? ? 2 a 3 3 ? 2a ? c ? 2 2 1 x y 2 2 ? ? 1 上有两点 P、 ,O 为原点,若 OP、 斜率之积为 ? ,则 OP ? OQ 6. 椭圆 Q OQ 4 16 4
为 A. 4 【答案】: C B. 64 C. 20
2

D.
2

( 不确定

)

【解析】: 设直线方程为 y ? kx ,解出 OP ,写出 OQ
?

7. 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的 离心率为 A. 【答案】: D ( ) D.

2 3

B.

2 2

C.

1 2

2 3

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于 6 , 8.过原点的直线 l 与曲线 C: 3 则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是 ( ) ? 5? ? 2? ? 2? ? 3? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? A B C D. 6 6 6 3 3 3 4 4

【答案】: D 【解析】: 用弦长公式 9. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且

?BDB1 ? 90? ,则椭圆的离心率为
( A )

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

【答案】: B 10.椭圆 a 2 x 2 ? y 2 ? a 2 , (0 ? a ? 1) 上离顶点 A(0, a )最远点为 (0, ? a) 成立的充要条件为( ) A

0 ? a ?1

B

2 ? a ?1 2

C

2 ? a ?1 2

D. 0 ? a ?

2 2

【答案】: C【解析】: 构造二次函数.

b x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 , (c 为椭圆的半焦距),有四个不 2 2 a b 同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( ) 2 5 5 3 2 3 5 A ( B ( D (0, , ) C ( , ) , ) ) 5 5 5 5 5 5 5 b 【答案】: A【解析】: 解齐次不等式: b ? ? c ? a ,变形两边平方. 2 2 2 b?c x y 12.已知 c 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距,则 的取值范围是 ( ) a a b
11.若椭圆 A (1, +∞) B ( 2 , ? ?) C (1,

2)

D (1,

2]

【答案】: D 【解析】: 焦三角形 AFO,如图:

b?c ? sin ? ? cos? , ? 为锐角. a

转化为三角函数问题. 13.设椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点组成一个 正 三 角 形 , 焦 点 到 椭 圆 的 最 短 距 离 为

3 , 则 该 椭 圆 的 方 程 为

x y ? ?1 12 9
14.M 是椭圆

2

2

x2 y 2 ? ? 1 不在坐标轴上的点, F1 , F2 是它的两个焦点, I 是 ?MF1F2 的内 9 4

心, MI 的延长线交 F1F2 于 N ,则 15. F1 , F2 是椭圆 C :

MI NI

?

3 5

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点,直线 l 与椭圆 C 交于 P , P2 ,已 1 a 2 b2

知椭圆中心 O 关于直线 l 的对称点恰好落在椭圆 C 的左准线上, P2 F2 ? P F1 ? 且 1 椭圆 C 的方程为

10 a, 则 9

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 9 4 3 3 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 ? ?x? 5 5
16. (2000 全国高考) 椭圆 【解析】: 焦半径公式. 17. 圆心在 y 轴的正半轴上,过椭圆 为 x 2 ? ( y ? 2 6 ) 2 ? 25 18.已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 ?PF F2 : ?PF2 F1 : ?F1 PF2 ? 1 : 2 : 3 , 1 则此椭圆的离心率为 【解析】: 同填空(1) 19.如果 x, y 满足 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36, 则 2x ? 3 y ? 12 的最大值为 12? 6 2 20.已知椭圆的焦点是 F1 (0,?1), F2 (0,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程; ② 设点 P 在椭圆上,且 PF ? PF2 ? 1 ,求 ?F1 PF2 . 1 简解:① c ? 1,

x2 y2 ? ? 1 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程 5 4

3 ?1

a2 y2 x2 ? 4,? a ? 2,? ? ?1 . c 4 3

17 ? 2 2 ?m ? n ? ?? 2 ?4m n ? 15 ? 3 3 又 4 ? m 2 ? n 2 ? 2mncos?F1 PF2 ? cos ?P1 FP2 ? , ? ?P1 FP2 ? arccos 5 5

?m ? n ? 4 ②设 PF ? m, PF2 ? n 则 ? 1 ?m ? n ? 1

21.已知曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 按向量 a ? (2, 1) 平移后得到曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 D(0, 2)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之间,设

DM ? ? MN ,求实数 ? 的取值范围.
解: (1) 由已知设点 P( x0 , y 0 ) 满足

( x0 ? 2) 2 ? ( y 0 ? 1) 2 ? 1 ,点 P 的对应点 Q( x, y ) 2

? x ? x0 ? 2 则? ? y ? y0 ? 1

x2 y2 ? ? ?1 . 2 1
1 ; 2

(2)当直线的斜率不存在时, M (0,1), N (0,?1) ,此时 ? ?

2 2 当直线的斜率存在时,设l: y ? kx ? 2 代入椭圆方程得: (2k ? 1) x ? 8kx ? 6 ? 0

? ? 64k 2 ? 24(2k 2 ? 1) ? 0 得 k 2 ?

3 2
, ? DM ? ? MN

8k ? ? x1 ? x 2 ? ? 2k 2 ? 1 ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?

? x1 ? ? ( x2 ? x1 ) 又 x1 ? x2 ? ? ?

x1 x ? . , 则 1 ? x2 ? x1 x2 1 ? ?

?

x1 x2 ? 1? ? . ? ? ? x2 x1 1 ? ? ?
2 x1 x 2 x12 ? x 2 32k 2 ? ? ? ?2? x 2 x1 x1 x 2 3(2k 2 ? 1)

又?

?2 1 3(2 ? 2 ) k x x 32 16 3 10 2 ? ,即? 2 ? 1 ? 2 ? 由k ? ,得 4 ? 1 3 2 x2 x1 3 3( 2 ? 2 ) k ? 1 ? ? 10 1 ? ? 即? 2 ? ,又 ? ? 0 ? ? ? 1? ? ? 3 2 1 综上: ? ? [ , ? ?) 2
22.求中心在原点,一个焦点为 (0,5 2 ) 且被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦中点横坐标为 圆方程. (目标:能够用设而不解的方法解决中点弦问题)

32

1 的椭 2

1 1 y2 x2 【解析】 设椭圆方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,弦 AB, 中点 M ( ,? ) , A( x1 , y1 ) , 2 2 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 B( x2 , y2 ) ,则 a ( x1 ? x2 ) ? b ( y1 ? y2 ? 0 ,? a ? 2x0 ? b ? 2 y0 ? k ? 0

y2 x2 ? a ? 3b ,又 a ? b ? 50 , ? ? ? 1. 75 25
2 2 2 2

23.解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为
x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 1 c 1 x2 y2 由e ? , 得 ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 ,? 2 ? 2 ? 1. 2 a 2 4c 3c 1 3 将(2,3)代入,有 2 ? 2 ? 1, 解得:c ? 2,? 椭圆E的方程为 A c c x2 y 2 ? ? 1. 16 12 3 (?)由(?)知F1 (?2, 0), F2 (2, 0), 所以直线AF1的方程为y= ( x ? 2), 4 即3x ? 4 y ? 6 ? 0.直线AF2的方程为x ? 2. 由椭圆E的图形知,?F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正数。 设P(x,y)为?F1 AF2的角平分线所在直线上任一点,则有 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以,?F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 3x ? 4 y ? 6 5 若3 x ? 4 y ? 6 ? 5 x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0, 其斜率为负,不合题意,舍去。 ? x?2

(Ⅲ)不存在


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