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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 三角函数的图象与性质训练试题 文


常考问题 5 三角函数的图象与性质

(建议用时:50 分钟) π ? 1 ?π ? 1.(2013· 苏北四市模拟)若 sin? ?3+α?=3,则 sin?6+2α?=______. 解析 π ? ?π π ? sin? ?6+2α?=-cos?2+6+2α?

2π 7 2?π ? ? =-cos? ? 3 +2α?=2sin ?3+α?-1=-9. 7 答案 - 9 2.(2013· 浙江卷改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数” π 是“φ= ”的______条件. 2 π? π π 解析 φ= ?f(x)=Acos? ?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数,∴“f(x)是奇函数”是“φ=2” 2 的必要条件. π π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z)D/?φ= . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2 答案 必要不充分 π? 4 ? 7π? 3.(2013· 苏锡常镇模拟)已知 cos? ?α-6?+sin α=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值是________. π? 解析 cos? ?α-6?+sin α = 3 3 4 cos α+ sin α= 3, 2 2 5

1 3 4 ∴ cos α+ sin α= , 2 2 5 π? 4 即 sin? ?α+6?=5. 7π? 4 ? π? 故 sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. 4 答案 - 5 π? π 4.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?12?=0,则 ω 的最小值 3 为________.

1

π? π ?π ? 解析 由 f? ?12?=0 知?12,0?是 f(x)图象的一个对称中心,又 x=3是一条对称轴,所以 ω>0, ? ? 应有?2π ?π π ? 解得 ω≥2,即 ω 的最小值为 2. ? ω ≤4?3-12?, ? 答案 2 5.(2013· 湖北卷)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是________. π? π ? 解析 y= 3cos x+sin x=2sin? 向左平移 m 个单位长度后得到 y=2sin? ?x+3?, ?x+3+m?, π π π π 由它关于 y 轴对称可得 sin( +m)=± 1,∴ +m=kπ+ ,k∈Z,∴m=kπ+ ,k∈Z, 3 3 2 6 π 又 m>0,∴m 的最小值为 . 6 答案 π 6

π? ?π π? 6.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间? ?0,3?上单调递增,在区间?3,2?上单调递减,则 ω= ________. π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为直线 x= , 和它相邻的一个对称中心为原点, 则 f(x) 3 4π 3 的周期 T= ,从而 ω= . 3 2 答案 3 2

π 7.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若 x 6 π? ∈? ?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω=2,所

π? π π 5π ? π? 以 f(x)=3sin? ?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , 3 ? 1 π 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈? ?-2,3?. 2 6 3 ? 答案 ? ?-2,3? 8.给出下列说法: ①正切函数在定义域内是增函数; π? 3 π? ? ②函数 f(x)=2tan? ?x+4?的单调递增区间是?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z);

2

? ? ? π? π ? ? ③函数 y=2tan? ?2x+3?的定义域是 x?x≠12+kπ,k∈Z ; ? ?

π π - , ?上的最大值为 3+1,最小值为 0. ④函数 y=tan x+1 在? ? 4 3? 其中正确说法的序号是________. 解析 ①正切函数在定义域内不具有单调性,故错误; 3 π? π π π ②由 kπ- <x+ <kπ+ (k∈Z),解得 x∈? ?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z),故正确; 2 4 2 π π π kπ ③由 2x+ ≠ +kπ(k∈Z),解得 x≠ + (k∈Z),故错误; 3 2 12 2 π π? π ④因为函数 y=tan x+1 在? ?-4,3?上单调递增,所以 x=3时取得最大值为 3+1,x= π - 时取得最小值为 0,故正确,所以正确说法是②④. 4 答案 ②④ π 9.(2013· 西安五校二次模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象的一部分 2 如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 解 2π (1)由图象知 A=2,T=8= , ω

π π ? ∴ω= ,得 f(x)=2sin? ?4x+φ?. 4 π π π 由 ×1+φ=2kπ+ ?φ=2kπ+ , 4 2 4 π π? π π 又|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 2 4 π π? π π x+ +2sin? ?x+2?+ ? (2)y=2sin? 4 4 4 4? ? ? ? π π? π π x+ +2cos? x+ ?. =2sin? 4 4 ? ? ? 4 4? π π? π x+ =2 2cos x, =2 2sin? 4 2 ? ? 4

3

2? ∵x∈? ?-6,-3?, 3π π π - ,- ?, ∴ x∈? 6? 4 ? 2 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y 的最大值为 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y 的最小值为-2 2. 4 π ? ?π ? 10.(2013· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=sin? sin?4-x?+ 3sin xcos x(x∈R). ?4+x?· π? (1)求 f? ?6?的值; A? (2)在△ABC 中,若 f? ? 2 ?=1,求 sin B+sin C 的最大值. 解 π ? ?π ? π? 1 3 ? (1)f(x)=sin? ?4+x?sin?4-x?+ 3sin xcos x=2cos 2x+ 2 sin 2x=sin?2x+6?,所以

π? f? ?6?=1. A? ?A?=sin?A+π?=1,因为 0<A<π,所以 A+π=π,即 A=π. (2)由 f? = 1 ,有 f 2 ? ? ?2? ? 6? 6 2 3 2π 3 ? 3 ? π? sin B+sin C=sin B+sin? ? 3 -B?=2sin B+ 2 cos B= 3sin?B+3?. π? 2π π π 因为 0<B< ,所以 <B+ <π,0<sin? ?B+3?≤1, 3 3 3 所以 sin B+sin C 的最大值为 3. π π x x- ?+cosx- ,g(x)=2sin2 . 11.(2013· 湖南卷)已知函数 f(x)=sin? ? 6? 3 2 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 3 3 .求 g(α)的值; 5

(2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解 = π? ? π? f(x)=sin? ?x-6?+cos?x-3? 3 1 1 3 sin x- cos x+ cos x+ sin x= 3sin x, 2 2 2 2

x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= ,得 sin α= , 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1- = . 5 5 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x,
4

即 3sin x+cos x≥1. π? 1 于是 sin? ?x+6?≥2. π π 5π 从而 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ 备课札记: 2π ,k∈Z}. 3

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