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2015年河南省中考数学试题及答案解析(Word版)


2015 年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题

数 学(解析版)
注意事项: 1. 本试卷共 6 页,三个大题,满分 120 分,考试时间 100 分钟。 2. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答 在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 1. 下列各数中最大的数是( A. 5 B. 3 ) C. π D. -8

A【解析】本题考查实数的比较大小.∵ 3 ? 1.732,π≈3.14,∴5>π> 3 > ?8 ,∴最大的数 为 5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是( )

正面 第2题

A

B

C

D

B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断,俯视图是从上往下看得到的图形,从上面看 可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线,故 B 选项符合题意 . 3. 据统计, 2014 年我国高新技术产品出口总额达 40 570 亿元, 将数据 40 570 亿用科学记数 法表示为( A. 4.0570× 109 ) B. 0.40570× 1010 C. 40.570× 1011 D. 4.0570× 1012

D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1 亿=108 ,40570=4.057× 104,∴ 40570 亿=4.057× 104× 108=4.0570× 1012. 4. 如图,直线 a,b 被直线 e,d 所截,若∠1=∠2,∠3=125° ,则∠4 的度数为( A. 55° B. 60° )

c

d

C.70°

D. 75°

a

b 第4题

A 【 解 析 】 本 题 考 查 了 平 行 线 的 判 定 和 相 交 线 与 平 行 线 性 质 求 角 度 .∵∠1 = ∠2 , ∴a∥b.∴∠5=∠3=125° , ∴∠4=180° -∠5=180° -125° =55° . 5. 不等式组 ?

? x ? 5 ? 0, 的解集在数轴上表示为( ?3 ? x ? 1



-5 A

0

2

-5 B

0

2

-5 C

0

2

-5 D

0

2

C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式 x+5≥0,解得:x≥-5 ; 由不 等式 3-x>1,解得:x<2,则该不等式组的解集为-5≤x<2,故 C 选项符合. 6. 小王参加某企业招聘测试,他的笔试,面试、技能操作得分分别为 85 分,80 分,90 分, 若依次按照 2:3:5 的比例确定成绩,则小王的成绩是( A. 255 分 B. 84 分 C. 84.5 分


) D.86 分

C【解析】本题考查加权平均数的应用 .根据题意得 小王成绩为 86 分 .

x?

85 ? 2 ? 80 ? 3 ? 90 ? 5 ? 86 , ∴ 2?3?5

7. 如图, 在□ABCD 中, 用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E, 若 BF=6, AB=5, 则 AE 的长为( A. 4 B. 6 ) C. 8 D. 10

A

F

D

G B E 第7图 C

C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质,以及基本的尺规作图. 设 AE 与 BF 交于点 O,∵AF=AB,∠BAE= ∠FAE ,∴AE⊥BF,OB=

1 BF=3 在 Rt△AOB 中, 2

AO= 52-32 ? 4 ,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA,

∴∠BAE=∠BEA ,∴AB=BE,∴AE=2AO=8. 8. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆 O1,O2,O3,… 组成 一条平滑的曲线,点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 则第 2015 秒时,点 P 的坐标是( A.(2014,0) C. (2015,1) B.(2015,-1) D. (2016,0) )

? 个单位长度, 2

y P O2 O O1 O3 第8题 x

B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径 r=1,∴半圆长度=π, ∴第 2015 秒点 P 运动的路径长为: ∵

π × 2015, 2

π × 2015÷ π=1007…1,∴点 P 位于第 1008 个半圆的中点上,且这个半圆在 x 轴的下方. 2

∴此时点 P 的横坐标为:1008× 2-1=2015,纵坐标为-1,∴点 P(2015,-1) .

第 8 题解图 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9. 计算:(-3) +3 = 9.
0 -1

A D

.

4 4 1 1 0 ( ? 3) ? 1,3?1 ? ,∴原式=1+ = . 【解析】? 3 3 3 3
若 DB=4,DA=2,BE=3,则 EC= .

B

10. 如图,△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB,BC 上,DE//AC,

E 第 10 题

C

3 BD BE ? 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC,∴ , 2 DA EC DA ? BE 2 ? 3 3 ? ? . ∴EC= y BD 4 2 2 11. 如图,直线 y=kx 与双曲线 y ? ( x ? 0) 交于点 x
A(1,a),则 k= .

A

2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.

O 第 11 题

x

2 2 把点 A 坐标(1,a)代入 y= ,得 a= =2 x 1
∴点 A 的坐标为(1,2) ,再把点 A(1,2)代入 y=kx 中,得 k=2.

12. 已知点 A(4,y1) ,B( 2 ,y2) ,C(-2,y3)都在二次函数 y=(x-2)2-1 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 .

. y2 ? y1 ? y3 【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一:解:∵ A(4,y1) 、B( 2 ,

2 ?1 上,∴y1=3,y2=5-4 2 ,y3=15.∵5-4 2 <3< y2)C(-2,y3)在抛物线 y= (x-2)
15,∴y2<y1<y3 方法二:解:设点 A、B、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为 d1、d2、d3,∵y= (x ? 2)2 ?1 ∴对称轴为直线 x=2,∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4∵2- 2 <2<4,且 a=1>0,∴y2<y1<y3. 方法三:解:∵y=

(x ? 2)

2

? 1 ,∴对称轴为直线 x=2,∴点 A(4, y1)关于 x=2

的对称点是(0,y1).∵-2<0< 2 且 a=1>0,∴y2<y1<y3. 13. 现有四张分别标有数字 1,2,3,4 的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上 洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片 所标数字不同的概率是 .

5 【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列 表 如 下 : 8
1 1 2 2 3 ( 1,1 ) ( 2, 1) 2 ( 1, 2) ( 2,2 ) 2 ( 1, 2) ( 2, 2) ( 2,2 ) ( 3, 2) 3 ( 1, 3) ( 2, 3) ( 2, 3) ( 3,3 )

( 2, 1) ( 2, 2) ( 3, 1) ( 3, 2)

或画树状图如解图: 开始

第一次 第二次 1 2

1 23 12

2 2 3 1 2

2 23 1

3 2 2 3

第 13 题 解 图

由 列 表 或 树 状 图 可 得 所 有 等 可 能 的 情 况 有 16 种 , 其 中 两次抽出卡片所标数字不同 的 情 况 有 10 种 , 则 P =

10 5 ? . 16 8

B E

14. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90° ,点 C 为 OA 的中点, CE⊥OA 交 AB 于点 E,以点 O 为圆心,OC 的长为半径 作 CD 交 OB 于点 D,若 OA=2,则阴影部分的面积为 .

D

A

C 第 14 题

O

【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形,相到利用转化的思想,并作出必要的辅助 线,即连接 OE,得到 S阴影 ? S扇形OBE ? S?OCE ? S扇形COD ,再分别计算出各图形的面积即可求解.

π 3 ? 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图,连接 OE,∵点 C 是 OA 的中 12 2
点,∴OC=

1 1 OA=1,∵OE=OA=2,∴OC= OE. 2 2

∵CE⊥OA,∴∠OEC=30° ,∴∠COE =60° .在 Rt△OCE 中,CE= 3 ,∴S△OCE= ∴∠BOE =∠AOB-∠COE=30° ,∴S 扇形 OBE=

1 3 OC· CE= .∵∠AOB=90° , 2 2

30 π ? 22 π 90 π ?12 π = ,S扇形 COD= = , 3 4 360 360
π 3 ? ? 3 ? + - = . 3 2 4 12 2

∴[来 S阴影 ? S扇形OBE ? S?OCE ? S扇形COD =

E

B

D A C
第 14 题解图 15. 如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3, 点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点,把△EBF 沿

A E

D

O

B′

B

F 第 15 题

C

EF 折叠,点 B 落在 B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则 DB′的长为

.

【分析】若△CD B? 恰为等腰三角形,判断以 CD 为腰或为底边分为三种情况:①DB′=DC; ②CB′=CD;③CB′=DB′,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16 或 4 5 【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想 . 根据题意,若△CD B? 恰为等腰三角形需分三种情况讨论: (1)若 DB′=DC 时,则 DB′=16 (易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合) ; (2)当 CB′=CD 时,∵EB=EB′,CB=CB′∴ 点 E、C 在 BB′的垂直平分线上,∴EC 垂直平分 BB′,由折叠可知点 F 与点 C 重合,不符 合题意, 舍去; (3) 如解图, 当 CB′=DB′时, 作 BG⊥AB 与点 G, 交 CD 于点 H.∵AB∥CD, ∴B′H⊥CD,∵CB′=DB′,∴DH=

1 CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5,在 Rt△B′EG 2

中,由勾股定理得 B′G=12,∴B′H=GH-B′G=4.在 Rt△B′DH 中,由勾股定理得 DB′= 4 5 , 综上所述 DB′=16 或 4 5 .
A E G B' H D

B

F

C

第 15 题解图 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分)

a 2 ? 2ab ? b2 1 1 ? ( ? ) ,其中 a ? 5 ? 1 , b ? 5 ? 1 . 16.(8 分)先化简,再求值: 2a ? 2b b a
【分析】解答本题应从运算顺序入手,先将括号里通分,能因式分解的进行因式分解,然 后将除法变乘法,最后约分化简成最简分式后,将 a,b 的值代入求解. 解:原式=
2 (a ? b) a ?b ……………………………………………………(4 分) ? 2(a ? b) ab

a ? b ab ? 2 a ?b ab = .……………………………………………………(6 分) 2
= 当 a ? 5 ? 1, b ? 5 ?1 时,原式=

( 5 ?1 ) ( 5 ? 1) 5 ? 1 ? ? 2 .…………(8 分) 2 2

17.(9 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使 PC=PB,D 是 AC 的中点,连接 PD,PO. (1)求证:△CDP∽△POB; (2)填空: ① 若 AB=4,则四边形 AOPD 的最大面积为 ② 连接 OD,当∠PBA 的度数为 ;

时,四边形 BPDO 是菱形.

C

D

P

A

O 第 17 题

B

(1) 【分析】 要证△CDP≌△POB, 已知有一组对应边相等, 结合已知条件易得 DP 是△ACB 的中位线,进而可得出一组对应角和一组对应边相等,根据 SAS 即可得证. 解:∵点 D 是 AC 的中点,PC=PB,…………………………………………(3 分) ∴DP∥DB, DP ? ∵ OB ?
C

1 AB ,∴∠CPD=∠PBO. 2

1 AB ,∴DP=OB,∴△CDP≌△POB(SAS).………………………………(5 分) 2

P D

A

O

B

第 17 题解图 (2) 【分析】①易得四边形 AOPD 是平行四边形,由于 AO 是定值,要使四边形 AOPD 的 面积最大,就得使四边形 AOPD 底边 AO 上的高最大,即当 OP⊥OA 时面积最大;②易得 四边形 BPDO 是平行四边形,再根据菱形的判定得到△PBO 是等边三角形即可求解. 解: ① 4 ;………………………………………………………………………………(7 分) ② 60° .(注:若填为 60,不扣分)…………………………………………………(9 分)

【解法提示】①当 OP⊥OA 时四边形 AOPD 的面积最大,∵由(1)得 DP=AO,DP∥DB, ∴四边形 AOPD 是平行四边形,∵AB=4 ,∴AO=PO=2 ,∴四边形 AOPD 的面积最大 为,2× 2=4;②连接 OD,∵由(1)得 DP=AO=OB,DP∥DB,∴四边形 BPDO 是平行四边形, ∴当 OB=BP 时四边形 BPDO 是菱形,∵PO=BO,∴△PBO 是等边三角形,∴∠PBA=60° . 18.(9 分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调 查结果绘制了如下尚不完整的统计图。 调查结果扇形统计图
其它 报纸 9% 10% 电视 手机上网 40% 电脑上网 26%

人数 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

调查结果条形统计图 400 260 150 99

根据以上信息解答下列问题: (1)这次接受调查的市民总人数是

电脑上 手机上 网 网 ;

电视

报纸

其它

选项

(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是 (3)请补全条形统计图;



(4)若该市约有 80 万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途 径”的总人数. (1) 【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数,从扇形统计图得到“手机上网”所占 的百分比,相除即可得到本次调查的市名总人数. 解:1000.………………………………………………………………………………(2 分) 【解法提示】本次调查的市名总人数为:400÷ 40%=1000. (2)【分析】 根据扇形统计图可得:1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百 分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比,再乘以 360° 即可求解. 解:54° .(注:若填为 54,不扣分)………………………………………………(4 分) 【解法提示】 (1-9%-10%-26%-40%)× 360° =54° . (3)【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比,再乘以总人数即 可求解. 解:用“报纸”获取新闻的途径的人数为:10%× 1000=100, 补全条形统计图如解图:

调查结果条形统计图 人数 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 400

260 150 100 90

电脑上网手机上网 电视

报纸

其它

选项

第 18 题解图 ………………………………………………………………………………………………(4 分) (4) 【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比,再 乘以该市的人数即可求解. 解: 8 ?10000 ? ?26 0 0 ? 40 0 0 ? ? 52800 (人) 19.(9 分)已知关于 x 的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数 m,方程总有两个不想等的实数根; (2)若方程的一个根是 1,求 m 的值及方程的另一个根. (1) 【分析】先化简一元二次方程,列出根的判别式,再根据绝对值为非负数,得到根的 判别式与 0 的大小关系即可得证. 解:

(2) 【分析】当 x=1 时,代入原方程得到 m 的值,根据绝对值的非负性,得到 m 有两个值, 再分别代入原方程进行求解. 解:

20.(9 分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,他们在斜坡上 D 出测得大树顶端 B 的仰角是 48° . 若坡角∠FAE=30° ,求大树的高度. (结果保留整数, 参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11, 3 ≈1.73)

B

F D E
30° 48°

A 第 20 题

C

【分析】通过观察图形,要求大树的高度,需要构造直角三角形,将所求线段联系起来.结 合题目中的信息, 即要延长 BD 交 AE 于点 G, 并过点 D 作 DH⊥AE 于点 H, 分别在 Rt△GBC 和 Rt△ABC 中表示出 CG 和 AC 的长即可求解. 解:

第 20 题解图 21.(10 分)某游泳馆普通票价 20 元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡: ① 金卡售价 600 元/张,每次凭卡不再收费; ② 银卡售价 150 元/张,每次凭卡另收 10 元. 暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数. 设游泳 x 次时,所需 总费用为 y 元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点 A、B、 C 的坐标; (3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.

y 600 D C B A O 第 21 题
(1) 【分析】观察图象,结合题目中的信息,得到普通卡是正比例函数,分析次数 x 与 20 的关系,银卡为一次函数,分析出次数 x 与 10 的关系,从而即可求解 解:

x

(2)【分析】由(1)中银卡的函数关系式可得点 A 的坐标,观察图形,联立普卡和银卡的函 数关系式可求得点 B 的坐标,再将 y=600 代入银卡的函数关系式即可求解.

y 600 B A O
第 21 题解图 (3) 【分析】观察图象,应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论,依次 得到消费方案即可求解.

D

C

x

22.(10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B=90° ,BC=2AB=8,点 D,E 分别是边 BC,AC 的 中点,连接 DE. 将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为 α. (1)问题发现

AE ? __________ ___ ; BD AE ? __________ . ② 当 ? ? 180 ? 时, BD
① 当 ? ? 0? 时, (2)拓展探究 试判断:当 0°≤α<360° 时, (3)问题解决 当△EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.

AE 的大小有无变化?请仅就图 2 的情况给出证明. DB

A E B

A D

E

A

D (图 1)

C

B (图 2)

C

B (备用图)

C

(1) 【分析】①根据题意可得 DE 是三角形 ABC 的中位线和 BD 的长,根据中位线的性质 和勾股定理求得 AE 的长即可求解;②根据旋转 180° 的特性,结合①,分别得到 AC、CE、 BC 和 CD 的长即可求解. 解:①

5 ;……………………………………………………(1 分) 2



5 .……………………………………………………(2 分) 2

【解法提示】①当 α=0° ,如解图①,∵BC=2AB=8,∴AB=4,∵点 D,E 分别是边 BC, AC 的中点,∴DE=

1 AB ? 1 ,AE=EC,,∵∠B=90° , 2

∴ AC ? 82 ? 42 ? 4 5 ,∴AE=CE= 2 5 ,∴

AE 2 5 5 ? ? ; ②当 α=180 度, 如解图②, BD 4 2

由旋转性质可得 CE= 5 ,CD=2,∵AC= 2 5 ,BC=8,



AE AC ? CE 4 5 ? 2 5 5 ? ? ? BD BC ? CD 8? 4 2 .

(2) 【分析】在由解图①中,由平行线分线段成比例得到 绕点 C 的旋转过程,结合旋转的性质得到

CE CD ? ,再观察图②中△EDC CA CB

CE CD ? 任然成立,从而求得△ACE∽ CA CB

△BCD,利用其性质,结合题干求得 AC 的长即可得到结论.

第 22 题解图③ (3) 【分析】 解: 4 5或

12 5 . ………………………………………………………………………(10 分) 5

【解法提示】当△EDC 在 BC 上方,且 A,D,E 三点共线时,四边形 ABCD 为矩形, ∴BD=AC= 4 5 ;当△EDC 在 BC 下方,且 A,E,D 三点共线时,△ADC 为直角三角形,

由勾股定理可求得 AD=8,∴AE=6,根据

12 5 5 AE = 可求得 BD = . 5 BD 2

A

A

D

E
F B E D
图⑤

C

B
图④

C
第 22 题解图

23.(11 分)如图,边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上,以点 C 为顶点的抛物线经 过点 A, 点 P 是抛物线上点 A、 C 间的一个动点 (含端点) , 过点 P 作 PF⊥BC 于点 F. 点 D、E 的坐标分别为(0,6) , (-4,0) ,连接 PD,PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2) 小明探究点 P 的位置发现: 当点 P 与点 A 或点 C 重合时, PD 与 PF 的差为定值. 进 而猜想:对于任意一点 P,PD 与 PF 的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说 明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”,则 存在多个“好点”,且使△PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.

y B F P x C D B

y C D

A

E

O 图

A

E

O 备用图

x

(1) 【分析】由题意设抛物线解析式为 y ? ax ? c ,将 A、C 两点坐标代入即可.
2

解:抛物线的解析式为: y ? ?

1 2 x ? 8 .………………………………………………(3 分) 8
2

【解法提示】由题意设抛物线解析式为 y ? ax ? c ,∵的正方形 OABC 的边长为 8,∴点

1 ? ?0 ? a ? (?8) 2 ? c 1 2 ?a ? ? A(-8,0)、C(0,8),∴ ? ,解得 ? 8 ,抛物线解析式为 y ? ? x ? 8 . 8 ?8 ? c ? ?c ? 8
(2) 【分析】设 P 点坐标为 ? x, ?

? ?

1 2 ? x ? 8 ? ,表示出 PF 的长度,构造 PD 所在的直角三角 8 ?

形,表示 PD 的长度,通过求差法得到 PD-PF 的值. 解:

M

第 23 题解图

(3) 【分析】通过将△PDE 的面积进行转化,得到其面积的表达式,根据点 P 横坐标 m 的 取值范围, 确定面积为整数时“好点”的个数, 再把△PDE 周长的最小值转化成 PE+PF 的和 最小,进而知道当 P、E、F 三点共线时△PDE 周长的最小,确定点 P 的坐标.

解:好点共 11 个;] 在点 P 运动时,DE 的大小不变,∴PE 与 PD 的和最小时,△PDE 的周长最小, ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2, 当 P,E,F 三点共线时,PE+PF 最小, 此时,点 P,E 的横坐标为-4,将 x=-4 代入 y ? ?

1 2 x ? 8 ,得 y=6, 8

∴P(-4,6) ,此时△PDE 周长最小,且△PDE 的面积为 12,点 P 恰为“好点”. ∴△PDE 周长最小时点 P 的坐标为(-4,6). 【 解 法 提 示 】 △PDE 的 面 积 S = ?

1 2 1 x ? 3x ? 4 ? ? ( x ? 6) 2 ? 13. 由 于 -8≤x≤0 , 可 得 4 4

4≤S≤13,所以 S 的整数值为 10 个.由图象可知,当 S=12 时,对应的“好点”有 2 个,所以“好 点”共有 11 个.


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2015年河南省中考数学试卷(word版及答案)

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2015河南省中考数学试卷及答案(word版)

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河南省2015年中考数学试题(word解析版)

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2015年贵州省贵阳市中考数学试卷及答案解析(word版)

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2015年中考数学试卷及答案解析(word版)

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河南省2015年中考数学试题(word版含答案)

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